【正文】 甲、乙、丙三人錢數(shù)各不相同，甲最多，他拿。弟弟把搶走的一半還給哥哥：搶走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就應(yīng)該是9+9=18，弟弟是179=8；3.2=14，弟弟是2614=12，然后來還原：1.哥哥不服，弟弟只好給哥哥5塊，這時(shí)哥哥比弟弟多挑2塊。哥哥看弟弟挑的太多，就搶過一半。有磚26塊，兄弟二人爭(zhēng)著去挑。66=1，這個(gè)數(shù)是1.2.某數(shù)加上6，乘以6，減去6，除以6，其結(jié)果等于6，則這個(gè)數(shù)是多少？現(xiàn)在從1號(hào)開始，每數(shù)到第3個(gè)人發(fā)一粒糖。按4個(gè)紅珠、3個(gè)白珠、2個(gè)黑珠的順序排列著。如果1940年是龍年，那么，1996年是什么年？科學(xué)家進(jìn)行一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，每隔6小時(shí)做一次記錄。有同樣大小的紅珠、白珠、黑珠共160個(gè)，按4個(gè)紅珠，3個(gè)白珠，2個(gè)黑珠的順序排列著。 答：2003年的1月1日是星期三。 本題一個(gè)周期的第一天是星期二，所以，余2天就是星期三。7=52（周）……2天每7天為一個(gè)星期，也就是為一個(gè)周期；從2002年1月1日到2002年12月31日為365天，到2003年1月1日是第366天。紅花有50朵，黃花有82朵，綠花有117朵。解：249247。27=9……6，所以，這249朵花中含有9個(gè)周期還余下6朵花。 有249朵花，按5朵紅花，9朵黃花，13朵綠花的順序輪流排列，最后一朵是什么顏色的花？這249朵花中，紅花、黃花、綠花各有多少朵？[思路點(diǎn)撥]這些花按5紅、9黃、13綠的順序輪流排列，它的一個(gè)周期內(nèi)有5+9+13=27（朵）花?！蟮穆肪€AP′B′走都比直線段APB′長(zhǎng)，所以折線APB是壁虎捕蛾的最短路線．　　由此例可以推廣到一般性的結(jié)論：想求相鄰兩個(gè)平面上的兩點(diǎn)之間的最短路線時(shí)，可以把不同平面轉(zhuǎn)成同一平面，此時(shí)，把處在同一平面上的兩點(diǎn)連起來，所得到的線段還原到原始的兩相鄰平面上，這條線段所構(gòu)成的折線，就是所求的最短路線．　　例3 長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′中，AB=4，A′A=2′，AD=1，有一只小蟲從頂點(diǎn)D′出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面爬到B點(diǎn)，問這只小蟲怎樣爬距離最短？（見圖（1））　　解：因?yàn)樾∠x是在長(zhǎng)方體的表面上爬行的，所以必需把含D′、B兩點(diǎn)的兩個(gè)相鄰的面“展開”在同一平面上，在這個(gè)“展開”后的平面上 D′B間的最短路線就是連結(jié)這兩點(diǎn)的直線段，這樣，從D′點(diǎn)出發(fā)，到B點(diǎn)共有六條路線供選擇．　?、購腄′點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)，將這兩個(gè)面攤開在一個(gè)平面上（上頁圖（2）），這時(shí)在這個(gè)平面上D′、B間的最短路線距離就是連接D′、B兩點(diǎn)的直線段，它是直角三角形ABD′的斜邊，根據(jù)勾股定理，　　D′B2=D′A2+AB2=（1+2）2＋42=25，∴D′B=5．　?、谌菀字?，從D′出發(fā)經(jīng)過后側(cè)面再進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離也是5．　　③從D′點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過左側(cè)面，然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)．將這兩個(gè)面攤開在同一平面上，同理求得在這個(gè)平面上D′、B兩點(diǎn)間的最短路線（上頁圖（3）），有：　　D′B2＝22+（1+4）2=29．　?、苋菀字?，從D′出發(fā)經(jīng)過后側(cè)面再進(jìn)入右側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離的平方也是29．　?、輳腄′點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過左側(cè)面，然后進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn)，將這兩個(gè)平面攤開在同一平面上，同理可求得在這個(gè)平面上D′、B兩點(diǎn)間的最短路線（見圖），　　D′B2=（2+4）2+12=37．　　⑥容易知道，從D′出發(fā)經(jīng)過上側(cè)面再進(jìn)入右側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離的平方也是37．　　比較六條路線，顯然情形①、②中的路線最短，所以小蟲從D′點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)（上頁圖（2）），或者經(jīng)過后側(cè)面然后進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn)的路線是最短路線，它的長(zhǎng)度是5個(gè)單位長(zhǎng)度．　　利用例例3中求相鄰兩個(gè)平面上兩點(diǎn)間最短距離的旋轉(zhuǎn)、翻折的方法，可以解決一些類似的問題，例如求六棱柱兩個(gè)不相鄰的側(cè)面上A和B兩點(diǎn)之間的最短路線問題（下左圖），同樣可以把A、B兩點(diǎn)所在平面及與這兩個(gè)平面都相鄰的平面展開成同一個(gè)平面（下右圖），連接A、B成線段AP1P2B，PP2是線段AB與兩條側(cè)棱線的交點(diǎn)，則折線AP1P2B就是AB間的最短路線．　　圓柱表面的最短路線是一條曲線，“展開”后也是直線，這條曲線稱為螺旋線．因?yàn)樗哂凶疃痰男再|(zhì)，所以在生產(chǎn)和生活中有著很廣泛的應(yīng)用．如：螺釘上的螺紋，螺旋輸粉機(jī)的螺旋道，旋風(fēng)除塵器的導(dǎo)灰槽，槍膛里的螺紋等都是螺旋線，看下面例題．　　例4 景泰藍(lán)廠的工人師傅要給一個(gè)圓柱型的制品嵌金線，如下左圖，如果將金線的起點(diǎn)固定在A點(diǎn)，繞一周之后終點(diǎn)為B點(diǎn)，問沿什么線路嵌金線才能使金線的用量最少？　　解：將上左圖中圓柱面沿母線AB剪開，展開成平面圖形如上頁右圖（把圖中的長(zhǎng)方形卷成上頁左圖中的圓柱面時(shí)，A′、B′分別與A、B重合），連接AB′，再將上頁右圖還原成上頁左圖的形狀，則AB′在圓柱面上形成的曲線就是連接AB且繞一周的最短線路．　　圓錐表面的最短路線也是一條曲線，展開后也是直線．請(qǐng)看下面例題．　　例5 有一圓錐如下圖，A、B在同一母線上，B為AO的中點(diǎn)，試求以A為起點(diǎn)，以B為終點(diǎn)且繞圓錐側(cè)面一周的最短路線．　　解：將圓錐面沿母線AO剪開，展開如下圖（把右圖中的扇形卷成上圖中的圓錐面時(shí)，A′、B′分別與A、B重合），在扇形中連AB′，則將扇形還原成圓錐之后，AB′所成的曲線為所求．　　例6 如下圖，在圓柱形的桶外，有一只螞蟻要從桶外的A點(diǎn)爬到桶內(nèi)的B點(diǎn)去尋找食物，已知A點(diǎn)沿母線到桶口C點(diǎn)的距離是12厘米， B點(diǎn)沿母線到桶口 D點(diǎn)的距離是8厘米，而C、D兩點(diǎn)之間的（桶口）弧長(zhǎng)是15厘米．如果螞蟻爬行的是最短路線，應(yīng)該怎么走？路程總長(zhǎng)是多少？　　分析 我們首先想到將桶的圓柱面展開成矩形平面圖（下圖），由于B點(diǎn)在里面，不便于作圖，設(shè)想將BD延長(zhǎng)到F，使DF＝BD，即以直線CD為對(duì)稱軸，作出點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)F，用F代替B，即可找出最短路線了．　　解：將圓柱面展成平面圖形（上圖），延長(zhǎng)BD到F，使DF=BD，即作點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)F，連結(jié)AF，交桶口沿線CD于O．　　因?yàn)橥翱谘鼐€CD是 B、F的對(duì)稱軸，所以O(shè)B＝OF，而A、F之間的最短線路是直線段AF，又AF=AO＋OF，那么A、B之間的最短距離就是AO＋OB，故螞蟻應(yīng)該在桶外爬到O點(diǎn)后，轉(zhuǎn)向桶內(nèi)B點(diǎn)爬去．　　延長(zhǎng)AC到E，使CE=DF，易知△AEF是直角三角形，AF是斜邊，EF=CD，根據(jù)勾股定理，　　AF2=（AC+CE）2+EF2　　 ＝（12＋8）2＋152＝625=252，解得AF=25．　　即螞蟻爬行的最短路程是25厘米．　　例7 A、B兩個(gè)村子，中間隔了一條小河（如下圖），現(xiàn)在要在小河上架一座小木橋，使它垂直于河岸．請(qǐng)你在河的兩岸選擇合適的架橋地點(diǎn)，使A、B兩個(gè)村子之間路程最短．　　　分析 因?yàn)闃虼怪庇诤影叮宰疃搪肪€必然是條折線，直接找出這條折線很困難，于是想到要把折線化為直線．由于橋的長(zhǎng)度相當(dāng)于河寬，而河寬是定值，所以橋長(zhǎng)是定值．因此，從A點(diǎn)作河岸的垂線，并在垂線上取AC等于河寬，就相當(dāng)于把河寬預(yù)先扣除，找出B、C兩點(diǎn)之間的最短路線，問題就可以解決．　　解：如上圖，過A點(diǎn)作河岸的垂線，在垂線上截取AC的長(zhǎng)為河寬，連結(jié)BC交河岸于D點(diǎn)，作DE垂直于河岸，交對(duì)岸于E點(diǎn)，D、E兩點(diǎn)就是使兩村行程最短的架橋地點(diǎn)．即兩村的最短路程是AE＋ED＋DB．　　例8 在河中有A、B兩島（如下圖），六年級(jí)一班組織一次劃船比賽，規(guī)則要求船從A島出發(fā)，必須先劃到甲岸，又到乙岸，再到B島，最后回到A島，試問應(yīng)選擇怎樣的路線才能使路程最短？　　解：如上圖，分別作A、B關(guān)于甲岸線、乙岸線的對(duì)稱點(diǎn)A′和B′，連結(jié)A′、B′分別交甲岸線、乙岸線于E、F兩點(diǎn)，則A→E→F→B→A是最短路線，即最短路程為：AE＋EF＋FB＋BA．　　證明：由對(duì)稱性可知路線A→E→F→B的長(zhǎng)度恰等于線段A′B′的長(zhǎng)度．而從A島到甲岸，又到乙岸，再到B島的任意的另一條路線，利用對(duì)稱方法都可以化成一條連接A′、B′之間的折線，它們的長(zhǎng)度都大于線段 A′B′，例如上圖中用“問：繩子有多長(zhǎng)？圓柱的周長(zhǎng)是多少？第三講 最短路線問題　　通常最短路線問題是以“平面內(nèi)連結(jié)兩點(diǎn)的線中，直線段最短”為原則引申出來的．人們?cè)谏a(chǎn)、生活實(shí)踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題．　　在本講所舉的例中，如果研究問題的限制條件允許已知的兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)，那么所求的最短路線是線段；如果它們位于凸多面體的不同平面上，而允許走的路程限于凸多面體表面，那么所求的最短路線是折線段；如果它們位于圓柱和圓錐面上，那么所求的最短路線是曲線段；但允許上述哪種情況，它們都有一個(gè)共同點(diǎn)：當(dāng)研究曲面僅限于可展開為平面的曲面時(shí)，例如圓柱面、圓錐面和棱柱面等，將它們展開在一個(gè)平面上，兩點(diǎn)間的最短路線則是連結(jié)兩點(diǎn)的直線段．　　這里還想指出的是，我們常遇到的球面是不能展成一個(gè)平面的．例如，在地球（近似看成圓球）上A、B二點(diǎn)之間的最短路線如何求呢？我們用過A、B兩點(diǎn)及地球球心O的平面截地球，在地球表面留下的截痕為圓周（稱大圓），在這個(gè)大圓周上A、B兩點(diǎn)之間不超過半個(gè)圓周的弧線就是所求的A、B兩點(diǎn)間的最短路線，航海上叫短程線．關(guān)于這個(gè)問題本講不做研究，以后中學(xué)會(huì)詳講．　　在求最短路線時(shí)，一般我們先用“對(duì)稱”的方法化成兩點(diǎn)之間的最短距離問題，而兩點(diǎn)之間直線段最短，從而找到所需的最短路線．像這樣將一個(gè)問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)和它等價(jià)的問題，再設(shè)法解決，是數(shù)學(xué)中一種常用的重要思想方法．　　例1 如下圖，偵察員騎馬從A地出發(fā)，去B地取情報(bào)．在去B地之前需要先飲一次馬，如果途中沒有重要障礙物，那么偵察員選擇怎樣的路線最節(jié)省時(shí)間，請(qǐng)你在圖中標(biāo)出來．　　解：要選擇最節(jié)省時(shí)間的路線就是要選擇最短路線．　　作點(diǎn)A關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn) A′，即作 AA′垂直于河岸，與河岸交于點(diǎn)C，且使AC=A′C，連接A′B交河岸于一點(diǎn)P，這時(shí) P點(diǎn)就是飲馬的最好位置，連接 PA，此時(shí) PA＋PB就是偵察員應(yīng)選擇的最短路線．　　證明：設(shè)河岸上還有異于P點(diǎn)的另一點(diǎn)P′，連接P′A，P′B， P′A′．　　∵P′A+P′B＝P′A′+P′B＞A′B=PA′+PB=PA+PB，而這里不等式 P′A′＋P′B＞A′B成立的理由是連接兩點(diǎn)的折線段大于直線段，所以PA+PB是最短路線．　　此例利用對(duì)稱性把折線APB化成了易求的另一條最短路線即直線段A′B，所以這種方法也叫做化直法，其他還有旋轉(zhuǎn)法、翻折法等．看下面例題．　　例2 如圖一只壁虎要從一面墻壁α上A點(diǎn)，爬到鄰近的另一面墻壁β上的B點(diǎn)捕蛾，它可以沿許多路徑到達(dá)，但哪一條是最近的路線呢？　　解：我們假想把含B點(diǎn)的墻β順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。體育老師原來身邊有多少元？（４） 全班同學(xué)去劃船，如果減少一條船，那么每條船正好坐9人；如果增加一條船，那么每條船正好坐6人。這個(gè)學(xué)校有多少間宿舍？要安排多少個(gè)新生？（３） 體育老師和一個(gè)朋友一起上街買足球。［綜合練習(xí)］（1） 小朋友分糖果，若每人分4粒則多9粒；若每人分5粒則少6粒。解： 24247。我們?nèi)匀豢梢园从潌栴}的思路來思考。這道題目是盈虧問題中的一種特例。 某校在植樹活動(dòng)中，把一批樹苗分給各班，如果每班分18棵，就會(huì)余下24棵；如果每班分20棵，正好分完。 430+45=140（塊）答：搬磚的學(xué)生有30人，這批磚共有140塊。 =30247。（5－4）每人搬磚數(shù)相差5－4=1（塊），搬磚的總數(shù)就相差（45）+（52）=30（塊）所以，搬磚的學(xué)生數(shù)是30＋1=30（人），磚的總數(shù)是430+20=140（塊）。 就有兩人沒有搬 5塊 ………… 余下的還需要5人搬一次 4塊 4塊我們知道磚的總數(shù)相等，學(xué)生的人數(shù)也是相等的。例題2：學(xué)生搬一批磚，每人搬4塊，其中5人要搬兩次；如果每人搬5塊，就有兩人沒有磚可搬。2（5－3）兩次分得的差 = 人數(shù)解：2=15（人），這批糖果的總數(shù)是315+17=62（粒）或515－13=62（粒）?！?缺少13粒 ………… 5粒 5粒 5粒 余17粒 3粒我們知道糖果的總數(shù)相等，小朋友的人數(shù)也是相等的。A、B兩地相距多少千米？『第二講』盈虧問題例題1：將一些糖果分給幼兒園小班的小朋友，如果每人分3粒，就會(huì)余下糖果17粒；如果每人分5粒，就會(huì)缺少糖果13粒。求小明上、下山的平均速度？ （３）一輛汽車從甲地開往300千米處的乙地去，在開始的120千米內(nèi)平均速度為每小時(shí)40千米，要想使這輛汽車從甲地到達(dá)乙地的平均速度為每小時(shí)50千米，剩下的路程應(yīng)以什么速度行駛？（４）甲、乙兩人同時(shí)、同地、同向而行，甲騎車每小時(shí)行15千米，乙步行每小時(shí)行5千米，甲行了120千米時(shí)，轉(zhuǎn)身返回，與乙相遇，求相遇時(shí)兩人各行了多少千米？（５）甲、乙兩人同時(shí)從A、B（6+4）]=1010=100（千米）答：這只狗一共跑了100千米。 分步解答（1）甲、乙兩人多少小時(shí)相遇？100247。解要求狗跑的路程，就要求出狗跑的時(shí)間，而狗跑的時(shí)間正好就是甲、乙兩人跑的時(shí)間。分析：如果想分段算出狗跑的路程，再求出這些路段的和，將很難算出結(jié)果來。這只狗同甲一起出發(fā)，碰到乙的時(shí)候，它就掉頭朝甲這邊走，碰到甲時(shí)又往乙那邊走，直到兩人相遇。甲每小時(shí)行6千米，乙每小時(shí)行4千米。例３.－280247。2－）－280247。2247。=40（千米）（4） 原來每小時(shí)行多少千米？280247。2=4（時(shí)）（2） 還剩下多少小時(shí)？8－4－=（時(shí)）