【正文】 21 , 1 1 , 121 , 1d( 1 ) ( 1 )d( 3) ( 1 ) nnn n nn n nnn n n nnA n B n C ntA n B n Cn?? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??103 輻射場(chǎng)的平均光子數(shù)及其隨時(shí)間的變化為 ( 5 .2 4 )( 5 ., d d dd25)ln n n nnnlnnnnnntntnn?????????把 ()式代入 ()式右端 ， 并利用 ()式 ， 可得 2d ( ) [ 2 1 ]dn A C n A B n nt ? ? ? ? ? ?104 在激光器中 ， 當(dāng)泵浦速率超過(guò)閥值時(shí) ， 腔內(nèi)光子數(shù)急劇增加 ， 使得 n2遠(yuǎn)大于 n， 于是上式可簡(jiǎn)化為 2 ( 5 . 2 6d ( ) d ) n A C n A B nt ? ? ? ?由于光強(qiáng) In與平均光子數(shù) n成正比 ， 上式可與半經(jīng)典理論中得到的單模場(chǎng)運(yùn)動(dòng)方程相比較
。 21 , 1 1 , 121 , 1d( 1 ) ( 1 )d( 3) ( 1 ) nnn n nn n nnn n n nnA n B n C ntA n B n Cn?? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??101 ?系數(shù) C跟單位時(shí)間內(nèi)注入的損耗原子數(shù) λb成正比 ， ()式第 3項(xiàng)和第 6項(xiàng)表示在場(chǎng)的作用下 ， 損耗原子對(duì)場(chǎng)的線性損耗作用 ， 其中第 3項(xiàng)表示處于態(tài) |n+1的光場(chǎng) ， 由于損耗原子受激吸收而躍遷到態(tài) |n， 使得場(chǎng)處于態(tài) |n的幾率 ρnn增加 (故第 3項(xiàng)為正 )， 此貢獻(xiàn)與場(chǎng)處于初態(tài) |n+1的幾率 ρn+1,n+1成正比 ， 這是因?yàn)閾p耗原子受激吸收幾率與外場(chǎng)光子數(shù)成正比； 21 , 1 1 , 121 , 1d( 1 ) ( 1 )d( 3) ( 1 ) nnn n nn n nnn n n nnA n B n C ntA n B n Cn?? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??102 第 6項(xiàng)表示處于態(tài) |n的光場(chǎng) ， 由于損耗原子受激吸收而躍遷到態(tài) |n1， 使得場(chǎng)處于態(tài) |n的幾率 ρnn減小 (故第 6項(xiàng)為負(fù) )， 此貢獻(xiàn)與場(chǎng)處于初態(tài) |n的幾率 ρnn成正比 ， 這是因?yàn)閾p耗原子受激吸收幾率與外場(chǎng)光子數(shù)成正比 。 接近增益飽和時(shí) ， 原來(lái)處于上能級(jí)的增益原子 ， 紛紛躍遷為處于下能級(jí)的損耗原子 ， 所以非線性損耗與初始的增益原子數(shù)成正比 。n=0時(shí) ， 第 4項(xiàng)不等于零 ， 表示處于真空態(tài)|0的場(chǎng) ， 由于增益原子自發(fā)發(fā)射而躍遷到態(tài) |1， 因此 系數(shù) A是與自發(fā)發(fā)射有關(guān)的量 。 有了這些準(zhǔn)備 ， 我們來(lái)分析 ()或 ()’式右邊各項(xiàng)的物理意義 。 11[ 1 ( 1 ) ] 1 ( 1 ) [ 1 ] 1n B A n B An B A n B A??? ? ? ? ?? ? ?95 () 式描述場(chǎng)處于態(tài) |n上的幾率變化，它可以重新表達(dá)為 21 , 1 1 , 121 , 1d]d[ ( 5.( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 23] ) [nn n n n n nnnn nn n nA n B n CntA n B n C n?? ? ?? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ??21 , 1 1 , 121 , 1d( 1 ) ( 1 )d( 3) ( 1 ) nnn n nn n nnn n n nnA n B n C ntA n B n Cn?? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??或 96 由于 ρnn代表場(chǎng)處于態(tài) |n上的幾率 ， ()式右邊的正數(shù)項(xiàng) ， 讓場(chǎng)處于態(tài) |n的幾率增加 ， 表示光場(chǎng)由其他態(tài)向態(tài) |n躍遷的過(guò)程；負(fù)數(shù)項(xiàng)讓場(chǎng)處于態(tài) |n的幾率減小 ， 表示光場(chǎng)由態(tài) |n向其他態(tài)躍遷的過(guò)程 。嚴(yán)格的解析解，即非微擾的強(qiáng)信號(hào)解，前人也已經(jīng)給出，即 94 1 , 11 , 1d ( 1 )d 1 ( 1 ) 1( ) ( 1 ) nnnn nnnn n nnAnAt n B A nB AC n C n??????????? ? ?? ? ?? ? ?當(dāng) nB/A1時(shí)，對(duì) ()式取近似 則 ()式變成 ()式。這種近似帶來(lái)方便，但是不能描述場(chǎng)的某些噪音。 假設(shè)λa和 λb分別代表單位時(shí)間內(nèi)注入到相互作用區(qū)域中的增益原子和損耗原子數(shù)量 。 從 t=t0到 t=t0+τ時(shí)刻 ，增益使得輻射場(chǎng)密度算符的增量 f G a a f 0 a f 0 (5? ? ?( .1) tr [ ( ) ( ) ] 2) tt? ? ? ? ?? ? ?83 4()a f 0 a f 00( 0 )a f 0 a f 0? ?( ) ( )? ?( ) ( )iitttt? ? ? ?? ? ???? ? ????????其中對(duì)原子－輻射場(chǎng)系統(tǒng)的總密度算符 ， 計(jì)算近似到四級(jí) （ 考慮增益飽和非線性 ） ， 即取 于是把上式代入 ()式，得 4()f G a a f 01? ?( ) tr [ ( ) ]iit? ? ? ?????84 最后一式中的 （ t=t0+τ ）由書(shū)上 ()給出。 82 實(shí)例：對(duì)于初始時(shí)刻 t0泵浦到上能級(jí) |a的 激活原子 ,假定它的壽命為 τ， 即平均來(lái)說(shuō)大約經(jīng)過(guò)時(shí)間 τ之后 ， 原子躍遷到下能級(jí) |b， 并發(fā)射一個(gè)光子到輻射場(chǎng)中 ， 使得原來(lái)的輻射場(chǎng)獲得了增益 。 可看出偶次近似的非對(duì)角元為零 ， 奇次近似的對(duì)角元為零 。dinger圖像下的表達(dá)式是一樣的 ，下面符號(hào)表達(dá)上已經(jīng)去掉上標(biāo) I） 總密度算符的求解 ? ?af ??0?(? ? ? ?[ ] 7 5.0)?aH g a a ga????? ? ? ????78 原子的一般狀態(tài) |φ用它的能量本征態(tài) |a和|b展開(kāi)為 原子的密度算符為 22( ) , 1101 0 , 0 101aa b a bbCt C a C b C CCa a b b a b???? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?2a 2? a a baabb b a bC C CCCCC C C C? ? ???????????? ? ????? ??79 增益原子初始時(shí)刻處于上能級(jí) ， 即有 |φ(t0) =|a， 因此初始時(shí)刻的密度算符為 ? ?a0 1 1 0? ( ) 1 ( 5 .8 )0 0 0 0t a a? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?于是初始時(shí)刻場(chǎng)與原子整體系統(tǒng)的密度算符為 f0a f 0 f 0 a 0? ( ) 0? ? ? ( 5 .9( ) ( ) ( )) 00tt t t?? ? ? ???? ????80 于是把 ()和 ()式代入 ()式 ， 可以求出各級(jí)近似 。 下面只考慮共振場(chǎng)情形 （ 即 Ω=ω0=ωaωb） 。若光場(chǎng)和原子兩個(gè)系統(tǒng)獨(dú)立 ， 則總系統(tǒng)的密度算符 ， 等于兩個(gè)系統(tǒng)各自的密度算符之積： a f a f? ? ?? ? ??此時(shí)上述約化密度算符 ， 就等于光場(chǎng)的密度算符 。以 {|am, fn }為基矢組，則一個(gè) 只與場(chǎng)相關(guān)的算符 平均值為 75 其中注意到與場(chǎng)相關(guān)的算符只作用于場(chǎng)的本征態(tài) ， 因而可以與原子的本征態(tài)互換位置 。此種求解方法只適用于微擾情形，故被稱為“微擾方法”。dinger圖像下的密度算符方程變換到相互作用圖象下的密度算符方程，有 afa f a f?d ??i [ , ( 5 . 1 )] dIIIHt???其中相互作用圖像下的相互作用能量算符由()給出，即為 00? ?af i ( ) i ( )? ? ? ? ?( ) [ ]eeI ttH t g a a? ? ? ??? ? ? ???其中 Ω是光場(chǎng)頻率， ω0=ωaωb是原子的中心頻率， ?ωa和 ?ωb對(duì)應(yīng)原子的上下能級(jí)能量。dinger圖像下的運(yùn)動(dòng)方程： 場(chǎng)與物質(zhì)密度算符的運(yùn)動(dòng)方程 a f a f?? ?i d d [ , ]S S StH???其中在 Schr246。因而庫(kù)可以等效地由位于上能級(jí)的激活原子和位于下能級(jí)的損耗原子組成，前者模擬激光振蕩中的增益機(jī)制，其中包含了外界泵浦的作用；后者模擬激光振蕩中的損耗機(jī)制，把一切損耗都等效為損耗原子對(duì)激光的吸收作用 。 64 激光器的庫(kù)理論 本節(jié)將講述激光器的全量子理論。 上述解是 ()式的嚴(yán)格解析解，適用于任何情形，而前面的微擾解只適用于弱信號(hào)情形，這里的解可用于分析拉比強(qiáng)信號(hào)解，其中的常數(shù) A, B由系統(tǒng)的初始條件確定。先考慮 ()式的第一個(gè)方程，其特征方程的根是： 58 201 , 22204 i ( )i22( ) 4 ( 1 ) 2p p qsxx g n????? ? ? ? ??? ? ????? ? ? ??于是 ()式的第一個(gè)方程的通解為 1, 1 1 2 21 2 002 1 2( ) e xp ( ) e xp ( )[ e xp ( i ) e xp ( i ) ] e xp [ i ( ) 2][ si n c os ] e x i (p[ i ( ) 2) ],anC t F s t F s tF x t F x t tA x t B x tF F BtA F F??????? ? ? ? ?????????其 中59 同理，對(duì)于 ()式的第二個(gè)方程，只需把上面特征方程中的 p=i(Ωω0)換成 p=i(Ωω0)，其他求解過(guò)程完全一樣，總之 ()式的兩個(gè)方程的通解為： ,0, 1 0( ) [ s in c o s ] e x p [ i ( ) 2 ]( ) [ s in c o s ] e x p [ ( i ( ) 2 ]( 3 . 1 0 ) anbnC t A x t B x t tC t C x t D x t t?????? ? ? ???? ? ? ???()式把 ()式中四個(gè)系數(shù) A,B,C,D聯(lián)系起來(lái)。當(dāng)相互作用項(xiàng)很強(qiáng)時(shí)，就只能用非微擾方法求解。 體積 V內(nèi)從頻率 Ω～ (Ω+dΩ)之間的光頻范圍內(nèi)的模式數(shù)為 （ 已考慮到兩種偏振狀態(tài) ） 323 2 332d4 π dddd ( ) 2(2 π ) πk k kkcV k VNc???? ??? ?????? ?52 所有模式上總的自發(fā)發(fā)射幾率為 2( 1 )sp, tot a l ,sp2 222 02 2 30222002 3 20002( ) d ( )si n [ ( ) 2] d[ ( ) 2] πsi n [ ( ) 2]2d [ ( ) 2]π [ ( ) 2]antP C t Nt VgttctVg ttct ???? ??????? ? ???????????????????53 令 x=(Ωω0)t/2，考慮到被積函數(shù)中 (sinx/x)2是一個(gè)在 x=0 (即 Ω=ω0)附近的尖峰函數(shù)，且被積函數(shù)在 Ωω0的區(qū)域上積分貢獻(xiàn)近似為零，因此對(duì)被積函數(shù)中的 Ω2項(xiàng)取近共振近似 Ω=ω0并提出積分號(hào)之外。 51 3. 自發(fā)發(fā)射 ()式的第二式表達(dá)的是一個(gè)模式上的自發(fā)發(fā)射幾率 。自發(fā)發(fā)射在全量子理論中完全是自然出現(xiàn)的，這是因?yàn)榱孔訄?chǎng)存在真空起伏，從而存在零點(diǎn)能，零點(diǎn)能對(duì)處于上能級(jí)的原子產(chǎn)生干擾，使其產(chǎn)生向下能級(jí)的躍遷，這個(gè)過(guò)程中能量守恒（反之不存在“自發(fā)吸收”過(guò)程，因?yàn)檫`背能量守恒）。 2. 受激發(fā)射幾率和自發(fā)發(fā)射幾率 假定系統(tǒng)在初始 t=0時(shí)刻處在 |a, n 的狀態(tài)，即原子處于上能級(jí)而光場(chǎng)有 n個(gè)光子的狀態(tài) , , 1(