【正文】 ﹣ α， ∴ β=∠ 90176。（用含 α的代數(shù)式表示）時，點 B′恰好落在 CA 的延長線上； （ 2）如圖 ③，連接 BB′、 CC′， CC′的延長線交斜邊 AB 于點 E，交 BB′于點 F．請寫出圖中兩對相似三角形 △ ABB′∽△ ACC′ ， ②△ ACE∽△ FBE （不含全等三角形），并選一對證明． 【分析】 （ 1）先求出 ∠ BAC 的度數(shù)，然后 180176。 ∴△ AEF∽△ ABE， ∴△ ABE∽△ ECF∽△ AEF． 【點評】 本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟 練掌握正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定方法，運用勾股定理進行計算是解決（ 2）的關鍵． 25．如圖，在 Rt△ ACB 中， AC=8m， BC=6m，點 P、 Q 同時由 C、 B 兩點出發(fā)分別沿 CA、 BC 向點 A、 C勻速移動，它們的速度分別是 2 米 /秒、 1 米 /秒，問幾秒后 △ PCQ 與 △ ACB 相似？ 【分析】 設 x 秒后 △ PCQ 與 △ ACB 相似；則 CP=2x， BQ=x， CQ=6﹣ x．當 ，或 時， △PCQ 與 △ ACB 相似，解方程即可． 【解答】 解：設 x 秒后 △ PCQ 與 △ ACB 相似． 由題知， CP=2x， BQ=x， CQ=6﹣ x． ∵∠ C=∠ C， 當 ，或 ， △ PCQ 與 △ ACB 相似． ∴ ，或 ， 解得： x= ，或 x= ； ∴ 秒或 秒后 △ PCQ 與 △ ACB 相似． 【點評】 本題考查了相似三角形的判定；熟練掌握相似三角形的判定方法，由兩邊成比例得出方程是解決問題的關鍵． 26．如圖，巳知 AB 丄 BD， CD 丄 BD． （ 1）若 AB=9， CD=4， BD=10，請問在 BD 上是否存在 P 點，使以 P、 A、 B 三點為頂點的三角形與以 P、C、 D 三點為頂點的三角形相似？若存在，求 BP 的長；若不存在．請說明理由； （ 2）若 AB=9， CD=4， BD=12，請問在 BD 上存在多 少個 P 點，使以 P、 A、 B 三點為頂點的三角形與以P、 C、 D 三點為頂點的三角形相似？并求 BP 的長． 【分析】 （ 1）設 BP=x，則 PD=10﹣ x，由于 ∠ B=∠ D，根據(jù)兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，則當 = 時， △ ABP∽△ PDC，即 = ，當 = 時， △ ABP∽△ CDP，即 = ，然后分別解方程求出 x 的值即可得到 BP 的長； （ 2）設 BP=x，則 PD=12﹣ x，與（ 1）解答一樣，易得 = 或 = ，然后分別解方程求出 x的值即可得到 BP 的長． 【解答】 解：（ 1）存在． 設 BP=x，則 PD=10﹣ x， ∵∠ B=∠ D， ∴ 當 = 時， △ ABP∽△ PDC，即 = ， 整理得 x2﹣ 10x+36=0，此方程沒有實數(shù)解； 當 = 時， △ ABP∽△ CDP，即 = ，即解得 x= ， 即 BP 的長為 ； （ 2）存在 2 個 P 點． 設 BP=x，則 PD=12﹣ x， ∵∠ B=∠ D， ∴ 當 = 時， △ ABP∽△ PDC，即 = ， 整理得 x2﹣ 12x+36=0，解得 x1=x2=6； 當 = 時， △ ABP∽△ CDP，即 = ，即解得 x= ， 即 BP 的長為 6 或 ． 【點評】 本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等 的兩個三角形相似．注意分類討論思想的運用． 27． 如圖，在平面直角坐標系中，已知 OA=6 厘米， OB=8 厘米．點 P 從點 B 開始沿 BA 邊向終點 A 以 1厘米 /秒的速度移動；點 Q 從點 A 開始沿 AO 邊向終點 O 以 1 厘米 /秒的速度移動．若 P、 Q 同時出發(fā)，運動時間為 t（ s）． （ 1）當 t 為何值時， △ APQ 與 △ AOB 相似？ （ 2）當 t 為何值時， △ APQ 的面積為 8cm2？ 【分析】 （ 1）利用勾股定理列式求出 AB，再表示出 AP、 AQ，然后分 ∠ APQ 和 ∠ AQP 是直角兩種情況，利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可； （ 2）過點 P 作 PC⊥ OA 于 C，利用 ∠ OAB 的正弦求出 PC，然后根據(jù)三角形的面積公式列出方程求解即可． 【解答】 解：（ 1） ∵ 點 A（ 0， 6）， B（ 8， 0）， ∴ AO=6， BO=8， ∴ AB= = =10， ∵ 點 P 的速度是每秒 1 個單位，點 Q 的速度是每秒 1 個單位， ∴ AQ=t， AP=10﹣ t， ①∠ APQ 是直角時， △ APQ∽△ AOB， ∴ ， 即 ， 解得 t= ＞ 6，舍去； ②∠ AQP 是直角時， △ AQP∽△ AOB， ∴ ， 即 ， 解得 t= ， 綜上所述， t= 秒時， △ APQ 與 △ AOB 相似； （ 2）如圖，過點 P 作 PC⊥ OA 于點 C， 則 PC=AP?sin∠ OAB=（ 10﹣ t） = （ 10﹣ t）， ∴△ APQ 的面積 = t （ 10﹣ t） =8， 整理，得： t2﹣ 10t+20=0， 解得： t=5+ ＞ 6（舍去），或 t=5﹣ ， 故當 t=5﹣ s 時， △ APQ 的面積為 8cm2． 【點評】 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積以及一元二次方程的應用能力，根據(jù)對應邊成比例兩相似三角形的判定分類討論是解題的關鍵． 28． 如圖 ①， △ ABC 中， ∠ ACB=90176。 ∴∠ AEB+∠ CEF=90176。 AB=BC=CD=AD， ∴∠ BAE+∠ AEB=90176。 AB=BC=CD=AD，由角的互余關系得出 ∠ BAE=∠ CEF，即可證出 △ ABE∽△ ECF； （ 2）由（ 1）的結論和已知條件得出 BE=CE=2CF，設 CF=a，則 BE=CE=2a， AB=BC=CD=AD=4a， DF=3a，由勾股定理和勾股定理的逆定理得出 △ AEF 是直角三角形， ∠ AEF=90176。 如下圖所示易知 AD⊥ BC， DE⊥ AC，且 AD=DC．由等腰三角形的 三線合一可知： AE=CE= AC=1． 【點評】 熟練運用等腰直角三角形的性質(zhì)，特別注意第二問要分情況進行討論解題． 22．如圖，在 △ ABC 中， AB=8cm， BC=16cm，動點 P 從點 A 開始沿 AB 邊運動，速度為 2cm/s；動點 Q從點 B 開始沿 BC 邊運動，速度為 4cm/s；如果 P、 Q 兩動點同時運動，那么何時 △ QBP 與 △ ABC 相似？ 【分析】 設經(jīng)過 t 秒時，以 △ QBC 與 △ ABC 相似，則 AP=2t， BP=8﹣ 2t， BQ=4t，利用兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似進行分類討論： = 時， △ BPQ∽△ BAC，即 = ；當= 時， △ BPQ∽△ BCA，即 = ，然后方程解方程即可． 【解答】 解：設經(jīng)過 t 秒時，以 △ QBC 與 △ ABC 相似，則 AP=2t， BP=8﹣ 2t， BQ=4t， ∵∠ PBQ=∠ ABC， ∴ 當 = 時， △ BPQ∽△ BAC，即 = ，解得 t=2（ s）； 當 = 時， △ BPQ∽△ BCA，即 = ，解得 t=（ s）； 即經(jīng)過 2 秒或 秒時， △ QBC 與 △ ABC 相似． 【點評】 本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似．利用時間表示相應線段長和利用相似比列 方程是解決此題的關鍵． 23．如圖，四邊形 ABCD 和 ACED 都是平行四邊形， B， C， E 在一條直線上，點 R 為 DE 的中點， BR 分別交 AC， CD 于點 P， Q． （ 1）則圖中相似三角形（相似比為 1 除外）共有 3 對； （ 2）求線段 BP： PQ： QR，并說明理由． 【分析】 此題的圖形比較復雜，需要仔細分析圖形． （ 1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得到角相等． ∠ BPC=∠ BRE， ∠ BCP=∠ E，可得 △ BCP∽△ BER； （ 2）根據(jù) AB∥ CD、 AC∥ DE，可得出 △ PCQ∽△ PAB， △ PCQ∽△ RDQ， △ PAB∽△ RDQ． 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對應邊成比例即可得出所求線段的比例關系． 【解答】 解：（ 1） ∵ 四邊形 ACED 是平行四邊形， ∴∠ BPC=∠ BRE， ∠ BCP=∠ E， ∴△ BCP∽△ BER； 同理可得 ∠ CDE=∠ ACD， ∠ PQC=∠ DQR， ∴△ PCQ∽△ RDQ； ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴∠ BAP=∠ PCQ， ∵∠ APB=∠ CPQ， ∴△ PCQ∽△ PAB； ∵△ PCQ∽△ RDQ， △ PCQ∽△ PAB， ∴△ PAB∽△ RDQ． 綜上所述，圖中相似三角形（相似比為 1 除外）共有 4 對． 故答案是： 4． （ 2） ∵ 四邊形 ABCD 和四邊形 ACED 都是平行四邊形， ∴ BC=AD=CE， ∵ AC∥ DE， ∴ BC： CE=BP： PR，