【正文】 ； 若 △ PAD 是等腰三角形，當 PA=PD 時，此時 P 位于四邊形 ABCD 的中心， 過點 P 作 PE⊥ AD 于 E，作 PM⊥ AB 于 M，則四邊形 EAMP 是正方形， ∴ PM=PE= AB=2， ∵ PM2=AM?BM=4， ∵ AM+BM=4， ∴ AM=2， ∴ PA=2 ， 當 PD=DA 時，以點 D 為圓心， DA 為半徑作圓與弧 AB 的交點為點 P． 連 PD，令 AB 中點為 O，再連 DO， PO， DO 交 AP 于點 G，則 △ ADO≌△ PDO， ∴ DO⊥ AP， AG=PG， ∴ AP=2AG，又 ∵ DA=2AO， ∠ ADG=∠ GAO， ∴ = = ， ∴ AG=2OG，設(shè) AG 為 2x， OG 為 x， ∴ （ 2x） 2+x2=4， ∴ x= ∴ AG=2x= ， ∴ AP=.∴ 當 PA 的長度等于 2 或 時， △ PAD 是等腰三角形； （ 2）過點 P 分別作 PE⊥ AB， PF⊥ AD，垂足分別為 E， F 延長 FP 交 BC 于點 G，則 PG⊥ BC， 。 則在 Rt△ PAB 中， PA=cos30176。需 ∠ PAB=30176。如果 PF=AD，則有 ： （ m+ ）﹣（ m2+ ） =，解得 m1=0（不符合題意舍去）， m2= ． ∴ 當 m= 時， PF=AD，存在四邊形 ADFP 是平行四邊形．當 m= 時， m+ = ， ∴ P 點的坐標是（ ， ）． 12 12 34 【點評】考查待定系數(shù)求拋物線解析式，折疊圖形的對稱問題，輔助線的作法也很獨特，考查的知識點很全面，是一道綜合性題型． 變式練習： 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形．【專題】幾何綜合題；數(shù)形結(jié)合；方程思想． 【分析】（ 1）由 AB 是直徑，可得 ∠ APB=90176。點的坐標為（ 1， ）． ∵ 當 x=1 時，代入 y= x2+ 得y= ， ∴ B39。是矩形． ∵ CB39。=CB=OA． 又 CA= =2， ∴ AB= =1， ∴ AB39。 方法二：設(shè)過點 A、 B、 C 的拋物線的關(guān)系式為： y=a（ x+1）（ x﹣ 4）將 C 點的坐標代入得：a=，所以這個二次函數(shù)的表達式為：。時，過點 D 作平行于 PC 的直線 DQ，假設(shè)直線 DQ 交拋物線于另﹣點 Q， ∵ 點 P（ 3， 0）， C（ 0， 3）， ∴ 直線 PC 的方程為 y=﹣ x+3，將直線 PC 向上平移 2 個單位與直線 DQ 重合， ∴ 直線 DQ 的方程為 y=﹣ x+5． 由 ，得 或 ．又點 D（ 4， 1）， ∴ Q（﹣ 1， 6），故該拋物線上存在兩點 Q（ 0， 3），（﹣ 1， 6）滿足條件． 【點評】本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形翻折變換、三角形相似等重要知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法． 32 變式練習： 【考點】二次函數(shù)綜合題；二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；兩點間的距離；三角形的面積；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】壓軸題． 【分析】（ 1）由 Rt△ABC 中， CO⊥ AB 可證 △AOC∽△ COB，由相似比得 OC2=OA?OB，設(shè) OA 的長為 x，則 OB=5﹣ x，代入可求 OA， OB 的長，確定 A， B， C 三點坐標，求拋物線解析式；（ 2）根據(jù) △BDE 為等腰三角形，分為 DE=EB， EB=BD， DE=BD 三種情況，分別求 E 點坐標；（ 3）作輔助線，將求 △CDP 的面積問題轉(zhuǎn)化．方法一：如圖 1，連接 OP，根據(jù) S△CDP=S 四邊 形 CODP﹣ S△COD=S△COP+S△ODP﹣ S△COD，表示 △CDP 的面積；方法二：過點P 作 PE⊥ x 軸于點 F，則 S△CDP=S 梯形 COFP﹣ S△COD﹣ S△DFP，表示 △CDP 的面積；再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出 △CDP 的最大面積和此時點 P 的坐標． 【解答】解：（ 1）設(shè) OA 的長為 x，則 OB=5﹣ x； ∵ OC=2， AB=5， ∠ BOC=∠ AOC=90176。時，由題意可知 ∠ DPC=90176。 ∴∠ OPC=∠ ADP． ∴ Rt△POC∽ Rt△DAP． ∴ 即。 ∴∠ OPC+∠ APD=90176。且 C 在拋物線上，因此 C與 Q 重合， Q 點的坐標即為 C 點的坐標． ②當 DQ 是另一條直角邊，即 ∠ PDQ=90176。由此不難得出 Rt△POC∽ Rt△DAP，可根據(jù)線段 OC、 OP、PA、 AD 的比例關(guān)系，得出關(guān)于 x， y 的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)關(guān)系式即可得出 y 的最大值以及對應的 x 的值．（ 3）可分兩種情況進行討論： ①當 PQ 是另一條直角邊，即 ∠ DPQ=90176。時， △QOA≌△ OQC. ∴ AQ=CO= .由得：，解得： . ∵ ， ∴ ， . ∴ 點 Q 坐標為（ 1，） . （ Ⅱ ）當 ∠ OQC=90176。或 ∠ OQC=90176。即 QA⊥ x 軸 .∵ b＞ 2， ∴ AB＞ OA. ∴∠ QOA＞ ∠ QBA， ∴∠ QOA=∠ AQB，此時 ∠ OQB =90176。.∵△ PBC 是等腰直角三角形， ∴ PC=PB， ∠ BPC=90176。 過 P 作 PD⊥ x 軸， PE⊥ y 軸，垂足分別為 D、 E， ∴∠ PEO=∠ EOD=∠ ODP=90176。 面積與相似： 解： ⑴ B（ b， 0）， C（ 0，）； ⑵ 假設(shè)存在這樣的點 P，使得四邊形 PCOB 的面積等于 2b，且 △PBC 是以點 P 為直角頂點 30 的等腰直角三角形 。 ∴ 四邊形 ODEP 是矩形． ∴ DE=OP=t， DE∥ OP． ∴∠ BED=∠ BAO=45176。 ∴△ OPE∽△ BCO． ∴ = ． ∴ = ． ∴ OE= t． ∵ OE+BE=OB=2 ， ∴ t+ t=2 ．解得： t= ． ∴ OP= ， OE= ． ∴ PE= = ． ∴ 點 E 的坐標為（ ， ）． ③當 ∠ DBE=90176。時，如圖 3． ∵∠ DBE=OBC， ∠ DEB=∠ BCO=90176。． ∴ BR2=OB2﹣ OR2=BG2﹣ RG2． ∴ （ 2 ） 2﹣ x2=（ 2 ） 2﹣（ 2 ﹣ x） 2．解得： x= ． ∴ BR2=OB2﹣ OR2=（ 2 ） 2﹣（ ） 2= ． ∴ BR= ．在 Rt△ORB 中， sin∠ BOR= = = ．故答案為： ． （ 3） ①當 ∠ BDE=90176。 ∴ BD2=BH2+DH2． ∴ （ 2r） 2=42+（ 2r﹣ 4） 2．解得： r=2． ∴ DH=0，即點 D 與點 H 重合． ∴ BD⊥ 0A， BD=AD． ∵ BD 是 ⊙ M 的直徑， ∴∠ BGD=90176。 ∠ BAO=45176。）討論，然后運用相似三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)等知識建立關(guān)于 t 的方程就可解決問題． 【解答】解：（ 1）過點 B 作 BH⊥ OA 于 H，如圖 1（ 1），則有 ∠ BHA=90176。 ②∠ BED=90176。 ∴ QN=3 ，BN=3， ON=10，此時點 Q（ 10， ），如果 AB=AQ，由對稱性知 Q（﹣ 2， ） ②當點 Q 在 x 軸下方時， △QAB 就是 △ACB，此時點 Q 的坐標是（ 4， ）， 經(jīng)檢驗，點（ 10， ）與（﹣ 2， ）都在拋物線上 。 ①當點 Q 在 x 軸上方時，過 Q 作 QN⊥ x 軸于 N 如果 AB=BQ，由 △ABC∽△ ABQ 有 BQ=6， ∠ ABQ=120176。 ∵ PM∥ OD， ∴∠ BPM=∠ BDO，又 ∵∠ PBM=∠ DBO， ∴△ BPM∽△ BDO， ∴，∴，∴ 點 P 的坐標為（ 4， ） （ 3）由（ 1）知點 C（ 4， ），又 ∵ AM=3， ∴ 在 Rt△AMC 中， cos∠ ACM= ， ∴∠ ACM=60176。 ∴ 當點 P 在線段DB 上時 PA+PD 取得最小值 ， ∴ DB 與對稱軸的交點即為所求點 P。 ∴ A1O1∥ y 軸時， B1O1∥ x 軸，設(shè)點 A1 的橫坐標為 x， ①如圖 1，點 O B1 在拋物線上時，點 O1 的橫坐標為 x，點 B1 的橫坐標為 x+1， ∴ x2﹣ x﹣ 1= （ x+1） 2﹣ （ x+1）﹣ 1，解得 x= ， ②如圖 2，點 A B1 在拋物線上時，點 B1 的橫坐標為 x+1，點 A1 的縱坐標比點 B1 的縱坐標大 ， ∴ x2﹣ x﹣ 1= （ x+1） 2﹣ （ x+1）﹣ 1+ ，解得 x=﹣ ， 綜上所述，點 A1 的橫坐標為 或﹣ ． 蘇州中考題：（略） 例 3. 【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題． 27 【分析】（ 1）已知了頂點的橫坐標，可用頂點式來設(shè)二次函數(shù)的解析式如： y=a（ x﹣ 4） 2+k，根據(jù)二次函數(shù)過點（ 0， ），可得出 =16a+k；由于 A、 B 關(guān)于 x=4 對稱，且 AB=6，不難得出 A、 B 的坐標為（ 1， 0），（ 7， 0），可將它們的坐標代入解析式中即可求出 a、 k 的值．（ 2）本題的關(guān)鍵是確定 P 的位置，由于對稱軸垂直平分 AB，因此 P 不論在對稱軸的什么位置都有 PA=PB，連接 DB，如果 P 是交點時， PA+PD 的長就是 BD 的長，兩點之間線段最短，因此要想 PA+PD 最小， P 必為 DB 與對稱軸的交點．可根據(jù) B、 D 的坐標求出 BD所在直線的解析式，然后求出與拋物線對稱軸的交點．即可得出 P 點的坐標．（ 3）由于三角形 ABC 是等腰三角形，要想使 QAB 與三 角形 ABC 相似，三角形 QAB 必須為等腰三角形．要分兩種情況進行討論： ①當 Q 在 x 軸下方時， Q， C 重合， Q 點的坐標就是 C 點的坐標． ②當 Q 在 x 軸上方時，應該有兩個符合條件的點，拋物線的對稱軸左右兩側(cè)各一個，且這兩點關(guān)于拋物線的對稱軸相對稱．因此只需求出一點的坐標即可．以 AQ=AB 為例：可過 Q 作 x 軸的垂線，在構(gòu)建的直角三角形中，根據(jù) BQ 即 AB 的長以及 ∠ QBx 的度數(shù)來求出 Q 的坐標．然后根據(jù)對稱性求出另外一點 Q 的坐標． 【解答】解：（ 1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為： y=a（ x﹣ h） 2+k ∵ 頂點 C 的橫坐標為 4，且過點（ 0， ） ∴ y=a（ x﹣ 4） 2+k， =16a+k① 又 ∵ 對稱軸為直線 x=4，圖象在 x 軸上截得的線段長為 6， ∴ A（ 1， 0）， B（ 7， 0） ∴ 0=9a+k②。= t． S= t2， ②當 2＜ t≤3，設(shè) PQ 交 AB 于點 G，作 GH⊥ x 軸于點 H， ∠ OPQ=∠ QOP=45176。在 Rt△OPQ 中， OP=t， ∠ OPQ=∠ QOP=45176。 ∴∠ COB=60176。． ∵ OM∥ AD， ①當 AD=OP 時，四邊形 DAOP 是平行四邊形， ∴ OP=6， ∴ t=6． ②當 DP⊥ OM 時，四邊形 DAOP 是直角梯形，過 O 作 OH⊥ AD 于 H， AO=2，則 AH=1（如果沒求出 ∠ DAO=60176。 當 x=0 時， EF 最大 =1，即點 E 的坐標是（ 0，﹣ 2），當線段 EF 取得最大值時，點 E 的坐標是（ 0，﹣ 2）． 【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，利用了直線與拋物線相切，利用了一元二次方程的判別式，兩點間的距離公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強． 變式練習： 【考點】二次函數(shù)綜合題 。 ，點 P 在 x 軸上， ⊙ P與 l 相切，當 P 在線段 OA 上運動時，使得 ⊙ P 成為整圓的點 P 個數(shù)是（ ） A． 6 B． 8 C． 10 D． 12。至 AC，若拋物線 y=﹣ x2+bx+2 經(jīng)過點 C． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）如圖，將拋物線平移，當頂點至原點時，過 Q（ 0，﹣ 2）作不平行于 x 軸的直線交拋物線于 E、 F 兩點，問在 y 軸的正半軸上是否存在一點 P，使 △PEF 的內(nèi)心在 y 軸上？若存在，求出點 P 的坐標；若不存在，說明理由． （ 3）在拋物線上是否存在一點 M，使得以 M 為圓心，以 為半徑的圓與直線 BC 相切？若存在，請求出點 M 的坐標；若不存在，請說明理由． 18 九、與圓有關(guān)的二次函數(shù)綜合題： 例 9. 如圖，已知二次函數(shù) y=﹣ x2+bx+c 的圖象與 x 軸交于點 A、 B，與 y 軸交于點 C，其頂點為 D，且直線 DC 的解析式為 y=x+3． （ 1）求二次函數(shù)的解析式； （ 2）求 △ ABC 外接圓的半徑及外心的坐標； （ 3）若點 P 是第一象限內(nèi)拋物線上一動點，求四邊形 ACPB 的面積最大值． 變式練習： 如圖，已知拋物線 y=a（ x﹣ 2） 2+1 與 x 軸從左到右依次交于 A、 B 兩點，與 y軸交于點 C，點 B 的坐標為（ 3， 0），連接 AC、 BC． （ 1）求此拋物線的解析式； （ 2）若 P 為拋物線的對稱軸上的一個動點，連接 PA、 PB、 PC，設(shè)點 P 的縱坐標表示為 m． 試探究 ： ①當 m 為何值時， 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