【正文】 以點 Pn 為圓心的圓 Pn 與 x 軸都相切，且圓 Pn 與圓 Pn+1 又彼此相外切。 答案：由 (1)知 22)1(1)()(,1 212121 ???????? fxfxfyyxx 而 Sn )()1()3()2()1(nnfnnfnfnfnf ??????? ? )()1()3()2()1( nnfnfnnfnnfnnfS n ????????? ? 兩式相加，得 ,223)22(21)1(2 ???????? nnS n 所以 Sn 223???n (3)記 Tn為數(shù)列???????????? ? )2)(2( 1 1nn SS的前 n項和，若 Tn＜ a 第 17 頁 （Ⅱ）求數(shù)列 {xn}的通項公式； （Ⅲ）比較 2|PPn|2與 4k2|PP1|2+5 的大小 . [考場錯解 ]證明：設(shè)點 Pn 的坐標(biāo)是（ xn,yn） ,由已知條件得點 Qn、 Pn+1 的坐標(biāo)分別是：?????? ??????? ? ? 2121,2121, 1 nnnn xaxx .由 Pn+1 在直線 l1 上，得 2121 ?nx = kxn+1+ 21 （ xn1） =k(xn+11).即xn+11=k21（ xn1） ,n∈ N*. (Ⅱ )由（Ⅰ）知 ???? 111nnxx k21，故 {xn1}是等比數(shù)列，且首項 x11=k1，公比為k21.從而求得 xn=12 (k21)n,n∈ N*. [專家把脈 ] （ Ⅱ）問中對于 xn+11=k21(xn1)先應(yīng)考慮 xn1能否為 0，繼而可求 . [對癥下藥 ]（Ⅰ）同錯解中（Ⅰ） . （ Ⅱ）解法：由題設(shè)知 x1=1k1,x11=k1≠ 0,又由（Ⅰ）知 xn+11=k21(xn1), 所以數(shù)列 {xn1}是首項為 x11,公比為k21的等比數(shù)列 .從而 xn1=k1 (k21)n1,即 xn=12 (k21)n,n∈ N*. （Ⅲ）解法：由????? ?? ??? ,2121,1xykkxy 得點 P 的坐標(biāo)為（ 1， 1） .所以 2|PPn|2=2(xn1)2+2(kxn+1k1)2=8(k21)2n+2(2k21)2n2,4k2|PP1|2＋ 5＝ 4k2[(1k11)2(01)2]+5=4k2+9. （ i）當(dāng) |k|＞21，即 k＜ 21或 k＞21時， 4k2 |PP1|2+5＞ 1+9= 而此時 0＜ |k21|＜ 1，所以 2|PPn|2＜ 8 1+2=10,故 2|PPn|2＜ 4k2|PP1|2+5. (ii)當(dāng) 0＜ |k|＜21，即 k∈（ 21， 0）∪（ 0，21）時， 4k2|PP1|2+5＜ 1+9= |k21|＞ 1，所以 2|PPN|2＞ 8 1+2= 2|PPn|2＞ 4k2|PP1|2+5. 3.（典型例題）已知函數(shù) f(x)= ).1(13 ???? xxx設(shè)數(shù)列 {an}滿足 a1=1,an+1=f(an),數(shù)列 {bn}滿足 bn=|an 3 |，Sn=b1+b2+? +bn(n∈ N*). 第 18 頁 （Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明 bn≤12 )13( ??n n； （Ⅱ）證明 Sn＜332. [考場錯解 ](Ⅰ )bn=|an 3 |,又∵ an=1+121??na， an+1=121??na(n≥ 2),∴ a2=2,a3=35,a4=2.?∴ an≥= 323122321221??????????nn aa=?由疊代 法 .bn≤12 )13( ??n n. （Ⅱ） Sn=b1+b2+? +bn＜ ( 3 1)+2131)2 13(1)13(2 )13(2 2)13( 12 ??????????? ?nnn? ＜332. [專家把脈 ]運用疊代法時并不能化簡成12 )13( ??n n. [對癥下藥 ](Ⅰ )證明：當(dāng) x≥ 0 時 ,f(x)=1+12?x≥ a1=1,所以 an≥ 1(n∈ N*).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 bn≤12 )13( ??n n. (1)當(dāng) n=1 時， b1= 3 1,不等式成立，（ 2）假設(shè)當(dāng) n=k 時，不等式成立，即 bk≤12 )13( ??k k.那么bk1=|ak+1 3 |=kkkk baa2 )13(2 1313)13( 1???????? ?.所以，當(dāng) n=k+1時，不等式也成立 .根據(jù)（ 1）和（ 2），可知不等式對任意 n∈ N*都成立 . ( Ⅱ ) 證 明 ： 由 （ Ⅰ ） 知 ， bn ≤12 )13( ??n n. 所以 Sn=b1+b2+ ? +bn ≤( 3 1)+2131)2 13(1)13(2 )13(2 )13( 12 ??????????? ?n n? ＜（ 3 1）數(shù)列 {bn}是以 q(q＞ 0)為公比的等比數(shù)列，且 b1=f(q11),b3=f(q1+1). 求數(shù)列 {an}{bn}的通項公式； 答案：解設(shè) f(x)=a(x2)2 ∵過點 (1,1),∴ f(x)=(x2)2 122212221323213122132321)33()33()33()31(,33,0)3111(:)11()11(,)31()11(341)3(42)3()1(,2)1()1(,)3()1(???????????????????????????????????????????nnnbqbqqqqqqbbqqfbqqfbnadadddddaaddfaddfa又得又得 4 知定義在 R 上的函數(shù) f(x)和數(shù)列 {an}滿足下列條件 ,a1=a,an=f(an1)(n=2,3,4,?),a 2 ≠a1,f(an)f(an1)=k(anan1)(n=2,3,4,?) 其中 a為常數(shù)， k為非零常數(shù) . (1)令 bn=aa+1an(n∈ N+),證明：數(shù)列 {bn}是等比數(shù)列； 答案：證明 :由 .0)()()(,0 1212232121 ?????????? aakafafaabaab 可得 第 15 頁 的等比數(shù)列是一個公比為數(shù)列因此時當(dāng)由題設(shè)條件由數(shù)學(xué)歸納法可證kbkaa aakaa afafaa abbnnaabnnnnnnnnnnnnnnnnn}{,)()()(2,)(011111111???????????????????????? (2)求數(shù)列 {an}的通項公式； 答案：解 。等比數(shù)列 {bn}的首項為 b,公比為 a,其中 a,b∈ N+,且 a1＜ b1＜ a2＜ b2＜ a3. (Ⅰ )求 a的值 。a 4 ∴ (a1+d)2=a1(a1+3d).∴ d=a1,∴ an===3d.∴13da=3=q.∴ dka nkn ?. .11 dka nkn ??? ∴nnkk kkaann 11 ???=q=3.∴ {kn}是公比為 3的等比數(shù)列 .∴ kn=1( 41)na. 3.(典 型例題 )如圖，△ OBC的三個頂點坐標(biāo)分別為（ 0， 0）、（ 1， 0）、（ 0， 2），設(shè) P1為線段 BC 的中點， P2為線段 CO的中點， P3為線段 OP1的中點，對于每一個正整數(shù) n,Pn+3為線段 PnPn+1的中點，令 Pn的坐標(biāo)為（ xn,yn） ,an=21yn+yn+1+yn+2. (Ⅰ )求 a1,a2,a3及 an。( 41)na=54a(54+n)( 41)na ② ① ② 有 ：45Tn=a+(41)a+(41)2a+(41)3a+? (41)n1an( 41)2a+3( 41)2a+?+n (Ⅱ )求和 Tn=a1+2a4+3a7+?+na 3n2. [考場錯解 ] (Ⅰ )由 a1,2a7,3a4 成等差數(shù)列 .得 4a7=a1+3a4,4aq6=a+ q3=41,或 q3=q3=41時，3612SS=161，6 612SSS ?=q6=161.故 12S3， S6， S12S6成等比數(shù)列 .當(dāng) q3=1 時 ,3612SS=61，6 612SSS ?=q6=1.故 12S3,S6,S12S6不成等比數(shù)列 . [專家把脈 ]本題條件中已規(guī)定 q≠ q=1時舍去 . [對癥 下藥 ](Ⅰ )證明 :由 a1,2a7,3a4成等差數(shù)列 .得 4a7=a1+3a4,即 4aq6=a+ (4q3+1)(q31)=0,所以 q3=41或 q3=1(舍去 )由 3612SS= ,1611211)1(121)1(33161???????qqqaqqa6 612SSS ?= ???????? 11)1(1)1(1 61121612qqaqqaSS 1+q61=q6= 161 , 得3612SS=6 612SSS ?. 所以 第 12 頁 12S3,S6,S12S6成等比數(shù)列 . ( Ⅱ ) 解法 :Tn=a1+2a4+3a7+?+na3 a2=a+2aq3+3aq6+?+naq 3(n2), 即Tn=a+2(21)n+1]a[2+(21)n2]+b[2n(21)n2]=(bnba)y n,其中 {xn}為等差數(shù)列， {yn}為等比數(shù)列 D． an=xn 答案：當(dāng) n≥ 2時， 2an=3Sn4+2 ,22125243)(2,25 1111 ???????? ???? nnnnnnn SSSSSSS 得到即 又 ? ?.21211121 1,21,21,21,1,2 ???? ???? ???? nnnnn nnnn aaaaaSS SSaaaa 得的等比數(shù)列是公比為所以數(shù)列而則有 (2)證明21(log2Sn+log2Sn+2)＜ log2Sn+1。 答案： bn+1=an+2nnnnnnnn baaaaa 31)21(31)21(3121)21(3121 11211 ????????? ????? ????? 若 bn=0,則 an+1= 1)21(312121 ???? nnnn aaa nna )21(3??? 為等比數(shù)列即不滿足條件故 }{,31,23 11 nnn bbba ??? ? b1=a29121)21(3121 1211 ???? aaa 1)31( ??? nnb 第 10 頁 (2)求 {bn}的通項公式 。 3 已知數(shù)列 {an}的首項為 a1,公比為 q(q≠ 1),用 mnS? 表示這個數(shù)列的第 n 項到第 m 項共 mn+1 項的和 .(Ⅰ) 計算 976431 , ??? SSS ,并證明它們?nèi)猿傻缺葦?shù)列 。)81( n分析：略。a n=ap (Ⅱ )bn+1=a2n+1414 22 212 41121 ???? ?????nnnnnn a