五、習(xí)題選解(參考版)
2024-10-16 12:35本頁(yè)面
【正文】 = cos x， 于是，得到 u = sin x + C. 代入 y = ux2，得到 y = x2sin x + Cx2 是非齊次方程的通解 . 將初始條件代入通解， 2 2 2π π π4 4 4C ?? ，得 C = 0，原微分方程在給定初始條件下的特解是 y = x2 sin x. 14. 已知某產(chǎn)品的利潤(rùn) L 是廣告支出的函數(shù)，且滿足 d ( ) ( 0 0 )dL b a L x a bx ? ? ? ? ?， ， 常 數(shù)當(dāng) x = 0 時(shí)， L(0) = L0 ，求利潤(rùn)函數(shù) L(x). 解 原方程變形為 dd L a L b a xx ? ? ? ，這是一個(gè)一階線性微分方程，由通解公式得 dde ( ( ) e d )e ( ( e e ) d )e e d ea x a xax ax axax ax axL b ax x Cb ax x Cbax x Ca??????? ? ?? ? ?? ? ????其中第二個(gè)積分用分部積分法求 e d dee e d1e e .ax axax axax axax x xxxxCa???? ? ????于是 代入初始條件 L(0) = L0 得 1 x Caa ?? ? ? ?01bCLa??? ，所以特解是 011( ) e .axbbL x Laa ???? ? ? ?。 – 2y = 0， 分離變量得 d 2 dyxyx? ，兩邊同時(shí)積分 ln y = 2 lnx + C1， 得到 y = Cx2 . 設(shè) y = ux2 是原非齊次方程的解，代入原方程 xu180。五、習(xí)題選解 4. 求下列不定積分： 21 l n l n( 9) dxx xx???解 221 l n l n 1 l n l nd d d dx x x xx x x xx x x x?? ? ? ?? ? ? ?223l n | | l n d ( l n
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