【正文】 。 【 解 】 ： N= 3 ； 第一步：計(jì)算 k k kh , ,?? ： 第二步：對(duì)應(yīng)于不同的邊界條件，求出三次樣條。 Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 多項(xiàng)式插值 樣條函數(shù)插值 具體步驟 如下： 第一步 ：推導(dǎo) ()Sx 用iM表示的形式 由于 ()Sx 是三次多項(xiàng)式，因此可以設(shè) 1111() iii i ii i i ix x x xS x M Mx x x x???????? ???? 對(duì)上式兩次積分，并利用插值條件可以確定出兩個(gè)積分常數(shù)，可得用iM表示的三次樣條插值函數(shù) 33 221 1 111( ) ( )( ) ( ) ( )6 6 6 6i i i i i ii i i i i i ii i i ix x x x M x x M x xS x M M y h y hh h h h? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 多項(xiàng)式插值 樣條函數(shù)插值 第二步 ：導(dǎo)出含iM的 n+ 1 階的線性方程組 利用1( ) , ( )iiS x S x?? ?的 表 達(dá) 式 以 及 它 們 在 節(jié) 點(diǎn)ix處 的 連 續(xù) 性 條 件1( 0 ) ( 0 )i i i iS x S x??? ? ? ?，可以得到線性方程組 112 , 1 , 2 , .. ., 1i i i i i iM M M f i n????? ? ? ? ?1 1 11 1 16, 1 , ( )i i i i ii i i ii i i i i ih y y y yfh h h h h h? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ? ???其中 Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 邊界條件 1 （壓緊樣條）：00( ) , ( )nnS x m S x m?? ??已知。 第三步 ：將求得的 im 代入每個(gè) ()iSx ，可得到相應(yīng)的三次樣條插值函數(shù)。 只需要在端點(diǎn)曲率調(diào)整的三對(duì)角方程組中將0 , nMM均設(shè)置為 0 即可。 Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 多項(xiàng)式插值 樣條函數(shù)插值 邊界條件 2( 端點(diǎn)曲率調(diào)整樣條 ) ：00( ) , ( )nnS x M S x M?? ????已知。 Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 多項(xiàng)式插值 樣條函數(shù)插值 因此構(gòu)造節(jié)點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)表示的三次樣條插值函數(shù)可以分成以下 三個(gè)步驟 ： 【 S t e p1 】 ：寫出用 ()Sx 用im表示的形式，依據(jù)是兩點(diǎn)三次 He r m ite 插值多項(xiàng)式； 【 S t e p2 】 ：導(dǎo)出含im的 n +1 階線性方程組，依據(jù)是 ()Sx?? 的連續(xù)性和邊界條件； 【 S t e p3 】 ：求解線性方程組得到im，代入 ()Sx 得到三次樣條插值函數(shù)。下面分別用節(jié)點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)表示的兩種三次樣條插值函數(shù)方式推導(dǎo) ()Sx 。 由此看到針對(duì)不同類型問題，補(bǔ)充相應(yīng)邊界條件后完全可以求得三次樣條插值函數(shù)()Sx。 邊界條件 5 （拋物線終結(jié)（ P ar abo li cal ly T er min at ed ）樣條） 在區(qū)間01[ , ]xx內(nèi)( ) 0Sx ??? ?，在區(qū)間1[ , ]nnxx ?內(nèi)( ) 0Sx ??? ?。 邊界條件 4 （周期樣條） 當(dāng)()fx為周期函數(shù)， 且0( ) ( )nf x f x?，此時(shí)00( ) ( ) ( )nS x S x f x??，且0( 0 ) ( 0 )nS x S x?? ? ? ?，0( ) ( 0 )nS x S x?? ??? ? ?。 邊界條件 2( 端點(diǎn)曲率調(diào)整（ En d poi nt Cu rva tu re ad jus ted ）樣條 ) 00( ) , ( )nnS x M S x M?? ????已知。 【 例 1 】 設(shè)3232, 0 1()2 , 1 2x x xSxx ax bx c x? ? ? ??? ?? ? ? ? ??? 是以 0 ， 1 ， 2 為節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)，則 ,a b c 應(yīng)取何值 ? Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 多項(xiàng)式插值 樣條函數(shù)插值 2. 確定三次樣條插值函數(shù)的條件 由 【 定義 1 】 可知()Sx在每個(gè)小區(qū)間1[ , ]iixx ?上是三次多項(xiàng)式，它有四個(gè)待定系數(shù)，[ , ]ab中共有 n 個(gè)小區(qū)間，故待定的系數(shù)為 4n 個(gè)，而由定義給出的條件 2( ) [ , ]S x C a b?，在1 2 1, , .. ., nx x x ?這 (n 1) 個(gè)內(nèi)點(diǎn)上應(yīng)滿足 ( 0 ) ( 0 )( 0 ) ( 0 ) , 1 , 2, ..., 1( 0 ) ( 0 )iiiiiiS x S xS x S x i nS x S x? ? ????? ? ? ? ? ????? ??? ? ?? 它給出了 3 (n 1) 個(gè)條件，此外由插值條件 【定義 1 】 ( 3 ) 給出了 (n +1 ) 個(gè)條件，共有 (4n 2)個(gè)條件，求三次樣條插值函數(shù)()Sx尚缺兩個(gè)條件 。 改進(jìn)方法： 利用分段三次樣條插值：分段三次多項(xiàng)式，連續(xù)，光滑，曲率連續(xù)變化，多項(xiàng)式的次數(shù)較低。 分類： （ 1）、分段線性插值 優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單； 缺點(diǎn)：連續(xù)但不光滑，曲率不連續(xù)變化。 )(lim 10 xLh ? )(xf?若 f(x)在 [a,b]上連續(xù)，則 Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 多項(xiàng)式插值 Hermite插值 考慮只有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值問題 1010 ,)( yyxxxf 處的函數(shù)值為在節(jié)點(diǎn)設(shè)1010 , yyxx ??處的的一階導(dǎo)數(shù)值為在節(jié)點(diǎn)作為插值函數(shù)多項(xiàng)式次兩個(gè)節(jié)點(diǎn)最高可以用 )(3 3 xHH e r m i t e應(yīng)滿足插值條件)(3 xH003 )( yxH ? 113 )( yxH ?003 )( yxH ??? 113 )( yxH ???3 ()Hx 是 否 可 用 四 個(gè) 插 值 基 函 數(shù) 表 示 ？如何選擇基函數(shù) Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 多項(xiàng)式插值 Hermite插值 希望插值系數(shù)與 Lagrange插值一樣簡(jiǎn)單，假設(shè) )()()()()( 110011003 xyxyxyxyxH ???? ??????其中 1)( 00 ?x?0)( 00 ?x? 1)( 00 ?? x?)()()()()( 110011003 xyxyxyxyxH ???? ???????????0)( 10 ?x?0)( 01 ?x? 1)( 11 ?x?0)( 10 ?x?0)( 01 ?x? 0)( 11 ?x?0)( 00 ?? x? 0)( 10 ?? x?0)( 01 ?? x? 0)( 11 ?? x?0)( 10 ?? x?0)( 01 ?? x? 1)( 11 ?? x?Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 多項(xiàng)式插值 Hermite插值 可知 即可假設(shè)的二重零點(diǎn)是 ,)(01 xx ? )()()( 210 baxxxx ????1)( 00 ?x? 0)( 00 ?? x?由 可得 310 )(2xxa ??? 3100210 )(2)(1xxxxxb ????)()()( 210 baxxxx ????21 )( xx ?? ?????? 310 )(2xxx???????? 3100210 )(2)(1xxxxx21021)()(xxxx????????? 102xxx?????? 10021xxx????????????01021xxxx2101??????????xxxx )())(21( 201 xlxl ???Lagrange 插值基函數(shù) Computational Methods 西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)基礎(chǔ)課部 數(shù)學(xué)教研室 2022年 )(1 x? )())(21( 210 xlxl ???類似可得 )(0 x? )()( 200 xlxx ???)(1 x? )()( 211 xlxx ???????????????10121xxxx2010??????????xxxx? ?0xx ?? 2101?????????