[理學]東南大學高數(shù)習題(參考版)
2024-12-11 00:46本頁面
【正文】 39。39。439。 再以 xt ln? ， xee xt ?? ln 代入上式， 即得原方程的通解 ： 4ln2)ln( 21 ???? xxxCCy 。 2 2 1 0rr? ? ? 121 ?? rr其特征方程為 ，其根為 設方程（※）的特解為 1AtAy ??? ? ，代入方程（※）得 tAtAA 22 1 ???? ?? ，比較系數(shù)得： ?????????????4202211 AAAAA ??? ，故 42 ??? ty 。 在求出這個常系數(shù)線性微分 方程的解后 ， 把 xt ln 換成 ， 即得原方程的解。2teydtdydtydydtdydtdydtydxt????????5253 ,ln2222則原方程化為令? ?xxcxcxetctcey tt81))ln2s i n()ln2c o s ((1 812s i n2c o s2121??????? ?解 teYirr81,21 052r *2,12 ??????? 特解形如 )(1)1(11)( xfyayxayxayx nnnnnn ?????? ??? ? ① 的方程稱為 n 階 歐拉方程 ，其中 ) , ,2 ,1( nia i ?? 為常數(shù)。339。39。為了使 的表達式??y 中不出現(xiàn) )( )( 21 xCxC 和 的二階導數(shù)，可設 0)()()()( 2211 ???? xyxCxyxC ， ④從而 )()()()( 2211 xyxCxyxCy ?????? ， )()()()()()()()( 22112211 xyxCxyxCxyxCxyxCy ??????????????將 ?? ??? yyy , , 代入 方程 )( xfcyybya ?????? ，得 )]()()()[()]()()()([ 11112211 xcyxybxyaxCxyxCxyxCa ???????????)()]()()()[( 2222 xfxcyxybxyaxC ??????? ∴ 0)()()( 111 ?????? xcyxybxya ， 0)()()( 222 ?????? xcyxybxya ， ∴ )(1)()()()( 2211 xfaxyxCxyxC ?????? ， ⑤ ∵ )( ),( 21 xyxy 為 齊次方程 0?????? cyybya 的解， 把 ④式和 ⑤式聯(lián)立得方程組 ???????????????).(1)()()()( ,0)()()()(22112211xfaxyxCxyxCxyxCxyxC 五 .歐拉 (Euler)方程 二階 Euler方程 : )()(22tefcydtdyabdtyda ????)(ln)(39。 設非 齊次方程為 )( xfcyybya ?????? ① 齊次方程為 0?????? cyybya ② )( ),( 21 xyxy 為方程 ② 的兩個線性無關的解， 則方程 ② 的通解為 )()( 2211 xyCxyCy ?? ， 將任意常數(shù) 21 , CC 換成待定函數(shù) )( ),( 21 xCxC ， 使 對③式求導，得)()()()()()()()( 22112211 xyxCxyxCxyxCxyxCy ??????????為方程 ①的解。 這種方法也適用于高階線性微分方程。 xDxCy c oss i n)( ????? ， xDxCy s i nc os)( ?????? ，代入原方程得 xxDxC s i ns i n3c o s3 ?? ， 0?C ， 31?D ， ∴ xy s i n312 ?? ， 從而原方程的特解為 xxy s i n314141 ???? ， 故原方程的通解為 ?????? ? xxYyy s i n314141xCxC 2s i n2c o s 21 ? 。 自由項 xxxfxfxf s i n)1()()()( 21 ????? ， 令方程①為： 14 ????? xyy ， 方程②為： xyy s i n4 ???? ， 分別求方程①與②的特解 ?? 21 yy 與 。 例 7 ．求方程 xxyy s i n14 ?????? 的通解。 ∴設特解 )s i nc o s( xDxCxy ??? ， 則有 )s i nc os(s i nc os)( xCxDxxDxCy ?????? ， )s i nc os(s i n2c os2)( xDxCxxCxDy ??????? ， ∵自由項 xxf s i n)( ? 屬于 ]s i n)(c o s)([ xxPxxPe nmx ???? 型的函數(shù)，且 ii ????? 0 是特征方程的根， ∴ 原方程的特解為 xxy c o s21??? ， 故原方程的通解為 xCxCxxy s i nc o sc o s2121 ???? 。 解：先寫出特征方程： 012 ??r ， ir ?? 。 解：先寫出特征方程： 0132 ??? rr ， 且 ii 21 ????? 不是特征方程的根， ∴設特解 )2s i n2c o s( xDxCey x ??? ， 則有 ]2s i n)2(2c os)2[()( xCDxDCey x ?????? ， ]2s i n)34(2c os)34[()( xDCxCDey x ???????? ， ∵ xexf x 2c o s)( ? ，屬于 )s i nc o s( xBxAe x ???? 型的函數(shù)， 故所求特解 )2s i n101102c o s1011( xxey x ???? 。 由于中的)( xf第二項()
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