空間向量法解決立體幾何問(wèn)題全面總結(jié)(參考版)
2024-11-28 22:52本頁(yè)面
【正文】 。 2+68=0，故 PC∥ 面 BED, ? ∴ PC到面 BED的距離就是 P到面 BED的距離 , ? ∵ ? ∴ . 3 33),2,32,2(),2,0,4( ???? DEBE得取得 ,2,232,02322024 ??????????????????? zzyzxzyxzx)4,32,2( ??PC3?PC)2,0,0(?EP2431 4|| || ?????? n nEPd? 空間向量理論引入立體幾何中，通常涉及到夾角、平行、垂直、距離等問(wèn)題，其方法是不必添加繁雜的輔助線(xiàn)，只要 建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量運(yùn)算解決立體幾何問(wèn)題 。 , ? 求 B1到面 A1BC的距離 . 2z x y C C1 A1 B1 A B ? 解 :以 C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 Cxyz ,則 C(0,0,0),A1(1,0, ),B(0,1,0),B1(0,1, ). 設(shè)面 A1BC的法向量 n=(x,y,z),由 得 ? n=( ,0,1). ? ? ∵ , ? ∴ ? 或 ∵ , ? ∴ ? 或 ∵ , ? ∴ ? 可見(jiàn) ,選擇平面內(nèi)外兩點(diǎn)的向量時(shí) ,與平面內(nèi)的點(diǎn)選擇無(wú)關(guān) . 2 2),0,1,0(),2,0,1(1 ?? CBCA得取得 ,1,0 2,0 02 ???? ?????? ? ?? zy zxy zx)2,0,0(1 ?BB2363212|200||| 1 ????????nnBBd)0,1,1(11 ??BA363212|002||| 11 ????????nnBAd)2,1,0(1 ?CB363212|200||| 1 ????????nnCBd? 會(huì)求了點(diǎn)到平面的距離 ,直線(xiàn)到平面、平面到平面間的距離都可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離來(lái)求 . ? 例 10四棱錐 PABCD的底面 ACBD是菱形 ,AB= 4, ∠ ABC=60176。 . 2a a23 a22a 2a)2,0,0(),0,2 3,2( 1 aAAaaAB ?????????????0200232azayxa?????03zyx3 3)2,0,(1 aaAC ??21332320219|003|c o s|si n22 ????????????aaaaa??.30 ???? （ 3）二面角 ? 設(shè) n1 、 n2分別是二面角兩個(gè)半平面 α、 β的法向量，由幾何知識(shí)可知，二面角 αLβ的大小與法向量 n1 、 n2夾角相等（選取法向量豎坐標(biāo) z同號(hào)時(shí)相等）或互補(bǔ)（選取法向量豎坐標(biāo)z異號(hào)時(shí)互補(bǔ)），于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面法向量的夾角，這樣可避免了二面角的平面角的作圖麻煩 . n1 n2 α β n1 n2 ? 例 7 在四棱錐 SABCD中 ∠ DAB=∠ ABC=90176。n 2 = 2+0+2=0 ?同理可得平面 A1FD的法向量為 n2=(2,0,1) ?取 z=2得 n1=(1,0,2) 解得：
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