16733解對初值的連續(xù)性和可微性定理(參考版)
2024-09-05 14:17本頁面
【正文】 II. 是 (1)滿足 的解 ,定義 區(qū)間為 [a,b]. 0? ? ?? ? ?( , , )ab0???結(jié)論 : 對 , 使得當(dāng) 00?? ( , , )y x x y00( , )xy0 0 0 0? ? ?? ? ? ?( , , ) ( , , ) , .x x y x x y a x b時(shí) ,方程 (1)過點(diǎn) 的解 在 [a,b]上也有 定義 ,且 2 1? ? ?( , ) , ( ) ), (dy f x y x y G Rdx方程 xy0 00( , )p x ya bm in ( , / 2 )? ? ??0x0y0y0xGD思路分析： 記積分曲線段 S： 顯然 S是 xy平面上的有界閉集 . 00??? ? ?( , , ) ( ) , [ , ]y x x y x x a b第一步 :找區(qū)域 D,使 ,且 在 D上滿足 . SD? ( , )f x yy x G 00( , )xy00: ( , , )S y x x y??iC(見下圖 ) 由已知條件 ,對 ,存在以它為中心的圓 ,使 在其內(nèi) 滿足 ,利普希茨常數(shù)為 .根據(jù)有限 覆蓋定理 ,存在 N,當(dāng) 時(shí) ,有 ??( , )x y S iCG?( , )f x y iL1NiiGC?? S G G??對 ,記 0???? ?( , ) , m in , / 2d G S? ? ? ?? ? ?則以 為半徑的圓 ,當(dāng)其圓心從 S的 左端點(diǎn)沿 S 運(yùn)動到右端點(diǎn)時(shí) ,掃過 的區(qū)域即為符合條件的要找區(qū)域 D ?? ?1m a x , , NL L L? Gb a xy0 00( , )p x ya bm in( , / 2)? ? ??0x0yGDxy0 00( , )p x ya bm in ( , / 2 )? ? ??0x0y0y0xGD第二步 :證明 在 [a,b]上有定義 . 00( ) ( , , )x x x y?? ?dc假定 利用引理 2及 的連續(xù)性可得 : ()x??[ , ] [ , ]c d a b? ? ?? ? ? ?( ) ( ) , ( * )x x c x d000( ) ( ) ( ) ( )L x xx x x x e? ? ? ? ?? ? ?00 0 0 0( ( ) ( ) ( ) ( ) )L x xx x x x e? ? ? ? ?? ? ? ?)(0000 ))()((abLexxyy ????? ??)(1 )( abLe ??? ?? )(12 abLe ?? ? ?? ??10202)(1 )()(,21 ??????? ?????? ?? xxxxe abL 時(shí)當(dāng)對},m i n {0,)()(: 2122020 ???? ?????? yyxxRRyx ?? ),( 00第三步 :證明 ? ? ?? ? ? ?( ) ( ) ,x x a x b在不等式 (*)中將區(qū)間 [c,d] 換成 [a,b]即得 . ? 連續(xù)由于 )( x?根據(jù)上面定理及方程的解關(guān)于自變量的連續(xù)性 ,顯然有 : 3 定理 2 (解對初值的連續(xù)性定理 ) y( , )f x y條件 : 在 G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于 滿足局部 。 xx ?? ?))(,())(,(( xxfxxf ?? ?))(
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