20xx年山東省青島市中考數(shù)學(xué)試題解析版(參考版)
2024-08-28 10:57本頁面
【正文】 分析： （ 1）假設(shè) PQCM 為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到對邊平行，進(jìn)而得到 AP=AM，列出關(guān)于 t 的方程，求出方程的解得到滿足題意 t 的值； （ 2）過點 P作 PE 垂直 AC．由 PQ 運動的速度和時間 t可知 線段 BP=t，根據(jù) PQ∥ AC 可得 △ PBQ∽△ ABC，根據(jù)相似三角形的形狀必然相同可知三角形 BPQ 也為等腰三角形，即 BP=PQ=t，再由證得的相似三角形得底比底等于高比高，用含 t 的代數(shù)式就可以表示出 BF，進(jìn)而得到梯形的高 PE=DF=8﹣ t，又點 M 的運動速度和時間可知點 M 走過的路程 AM=2t，所以梯形的下底 CM=10﹣ 2t．最后根據(jù)梯形的面積公式即可得到 y 與 t 的關(guān)系式； （ 3）根據(jù)三角形的面積公式，先求出三角形 ABC 的面積，又根據(jù) S 四邊形PQCM= S△ ABC，求出四邊形 PQCM 的面積， 從而得到了 y 的值，代入第二問求出的 y 與 t 的解析式中求出 t 的值即可； （ 4）假設(shè)存在，則根據(jù)垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等即可得到MP=MC，過點 M 作 MH 垂直 AB，由一對公共角的相等和一對直角的相等即可得到 △ AHM∽△ ADB，由相似得到對應(yīng)邊成比例進(jìn)而用含 t 的代數(shù)式表示出 AH 和HM 的長，再由 AP 的長減 AH 的長表示出 PH 的長，從而在直角三角形 PHM 中根據(jù)勾股定理表示出 MP 的平方，再由 AC 的長減 AM 的長表示出 MC 的平方，根據(jù)兩者的相等列出關(guān)于 t 的方程進(jìn)而求出 t 的值． 解答： 解：（ 1）假設(shè)四邊形 PQCM 是平 行四邊形，則 PM∥ QC， ∴ AP=AM，即 10﹣ t=2t，解得 t= ， ∴ 當(dāng) t= s 時，四邊形 PQCM 是平行四邊形； （ 2）過 P 作 PE⊥ AC，交 AC 與 E，如圖所示： ∵ PQ∥ AC， ∴△ PBQ∽△ ABC， ∴△ PBQ 為等腰三角形， PQ=PB=t， ∴ = ，即 = ，解得 BF= t， ∴ FD=BD﹣ BF=8﹣ t，又 ∵ MC=AC﹣ AM=10﹣ 2t， ∴ y= （ PQ+MC） ?FD= （ t+10﹣ 2t）（ 8﹣ t） = t2﹣ 8t+40； （ 3） S△ ABC= AC?BD= 108=40， 當(dāng) y= S△ ABC= 40= 時，即 t2﹣ 8t+40= ， 解得： t1= ， t2= ； （ 4）假設(shè)存在某一時刻 t，使得 M 在線段 PC 的垂直平分線上，則 MP=MC， 過 M 作 MH⊥ AB，交 AB 與 H， ∵∠ A=∠ A， ∠ AHM=∠ ADB=90176。 分析： 類比應(yīng)用（ 1）首先得出 ﹣ = ，進(jìn)而比較得出大小關(guān)系； （ 2）由圖形表示出 M1=2（ a+b+c+b） =2a+4b+2c， N1=2（ a﹣ c+b+3c） =2a+2b+4c，利用兩者之差求出即可． 聯(lián)系拓廣：分別表示出圖 5 的捆綁繩長為 L1，則 L1=2a2+2b2+4c2=4a+4b+8c，圖 6 的捆綁繩長為 L2，則 L2=2a2+2b2+2c2=4a+4b+4c， 圖 7 的捆綁繩長為 L3，則 L3=3a2+2b2+3c2=6a+4b+6c，進(jìn)而表示出它們之間的差，即可得出大小關(guān)系． 解答： 解：類比應(yīng)用 （ 1） ﹣ = ， ∵ a、 b 是正數(shù)，且 a≠b， ∴ ＞ 0， ∴ ＞ ， ∴ 小麗所購買商品的平均 價格比小穎的高； （ 2）由圖知， M1=2（ a+b+c+b） =2a+4b+2c， N1=2（ a﹣ c+b+3c） =2a+2b+4c， M1﹣ N1=2a+4b+2c﹣（ 2a+2b+4c） =2（ b﹣ c）， ∵ b＞ c， ∴ 2（ b﹣ c）＞ 0， 即： M1﹣ N1＞ 0， ∴ M1＞ N1， ∴ 第一個矩形大于第二個矩形的周長． 聯(lián)系拓廣 設(shè)圖 5 的捆綁繩長為 L1，則 L1=2a2+2b2+4c2=4a+4b+8c， 設(shè)圖 6 的捆綁繩長為 L2，則 L2=2a2+2b2+2c2=4a+4b+4c， 設(shè)圖 7 的捆綁繩長為 L3，則 L3=3a2+2b2+3c2=6a+4b+6c， ∵ L1﹣ L2=4a+4b+8c﹣（ 4a+4b+4c） =4c＞ 0， ∴ L1＞ L2， ∵ L3﹣ L2=6a+4b+6c﹣（ 4a+4b+4c） =2a+2c＞ 0， ∴ L3﹣ L1=6a+4b+6c﹣（ 4a+4b+8c） =2（ a﹣ c）， ∵ a＞ c， ∴ 2（ a﹣ c）＞ 0， ∴ L3＞ L1． ∴ 第二種方法用繩最短，第三種方法用繩最長． 點評： 此題主要考查了整式的混合運算以及不等式的性質(zhì)，根據(jù)已知表示出繩長再利用繩長之差比較是解決問題的關(guān)鍵． 2 如圖，在 △ ABC 中， AB=AC=10cm， BD⊥ AC 于點 D，且 BD=8cm．點 M 從點A 出發(fā)，沿 AC 的方向勻速運動，速度為 2cm/s；同時直線 PQ 由點 B 出發(fā)，沿BA 的方向勻速運動，速度為 1cm/s，運動過程中始終保持 PQ∥ AC，直線 PQ 交AB 于點 P、交 BC 于點 Q、交 BD 于點 F．連接 PM，設(shè)運動時間為 ts（ 0＜ t＜ 5）． （ 1）當(dāng) t 為何值時，四邊形 PQCM 是平行四邊形？ （ 2）設(shè)四邊形 PQCM 的面積為 ycm2，求 y 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式； （ 3）是否存在某一時刻 t，使 S 四邊形 PQCM= S△ ABC？若存在，求出 t 的值；若不 存在，說明理由； （ 4）連接 PC，是否存在某一時刻 t，使點 M 在線段 PC 的垂直平分線上？若存在，求出此時 t 的值；若不存在，說明理由． 考點 ：相似三角形的判定與性質(zhì)；一元二次方程的應(yīng)用；線段垂直平分線的性
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