20xx中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克協(xié)作體夏令營(yíng)測(cè)試題20xx-8-7(參考版)
2024-08-26 12:27本頁(yè)面
【正文】 故所求答案為 25。 將全班成績(jī)由好到壞編號(hào)為 1,2, ,30 ，將這些號(hào)碼列成一張 65? 的數(shù)表（如圖） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 假定某兩個(gè)學(xué)生是一對(duì)朋友，只要他們的號(hào)碼在表中屬于如下 3 種情況：（ 1）處于相鄰的行，但位于不同列； （ 2）處于同一列，其中一者位于最下端的行中； （ 3）同在最上面一行中。由此可得 x≤ 28 kk+1 +1 ① 另一方面，班內(nèi)比最差的“好學(xué)生”成績(jī)還差的學(xué)生不多于 30x? 個(gè)，因此，又有 1 302k x? ?? ② ①的右邊是 k 的增函數(shù)，而 ②等價(jià)于 59 2kx?? ③ 綜合①，③可得 x≤ 28 59– 2x60– 2x +1：，即 2 59 856 0xx? ? ? ④ 滿足 ④ 和條件 30x? 的最大整數(shù)為 25x? ，所以好學(xué)生的個(gè)數(shù)不超過(guò) 25。班上最好的學(xué)生，在 k 個(gè)“朋友對(duì)”中都是成績(jī)好的，而其余每個(gè)“好學(xué)生”則都至少在 1[ ] 122kk??? 個(gè)“朋友對(duì)”中是成績(jī)好的，因此“好學(xué)生”們至少一共在 ( 1)( 1)2xkk ??? 個(gè)“朋友中國(guó)奧博教育 浙江奧數(shù)網(wǎng) ADD：浙江省杭州市學(xué)院路 146 號(hào)第一教學(xué)樓 507 室 TEL： 0571— 85028528 FAX： 0571— 85028578 11 對(duì)”中是成績(jī)好的。故，對(duì)所有實(shí)數(shù) x，都有 f=g– 1。下面我們中國(guó)奧博教育 浙江奧數(shù)網(wǎng) ADD：浙江省杭州市學(xué)院路 146 號(hào)第一教學(xué)樓 507 室 TEL： 0571— 85028528 FAX： 0571— 85028578 9 證明更一般的結(jié)論：對(duì)于任何遞增的雙射 g:R→ R，函數(shù) f:R→ R 對(duì)所有 x?R滿足： f(g(x))≤ x≤ g(f(x)) 的充要條件是 f=g– 1。 2020 中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克協(xié)作體夏令營(yíng)測(cè)試題 （ A 水平）第二天 答案 4．解：存在（而且唯一）。如果一個(gè)學(xué)生的所有朋友中，有超過(guò)一半朋友的成績(jī)低于該學(xué)生，則稱該學(xué)生為“好 學(xué)生”。 中國(guó)奧博教育 浙江奧數(shù)網(wǎng) ADD：浙江省杭州市學(xué)院路 146 號(hào)第一教學(xué)樓 507 室 TEL： 0571— 85028528 FAX： 0571— 85028578 8 求證：存在惟一的正整數(shù)列 1 2 3, , ,a a a 使得 21 2 1 13 21 , 1 , ( 1 ) 111nnnnnnaaa a a a aa ????? ? ? ? ???（ n=1,2,3,? ） 理科實(shí)驗(yàn)班共 30 名學(xué)生，每一名學(xué)生在班內(nèi)均有同樣多的朋友（朋友是相互的）。 2020 中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克協(xié)作體夏令營(yíng) 測(cè)試題 （ A 水平）第一天 答案 證明：（向量法）設(shè)∠ BAC=θ ， BC=a， CA=b， AB=c， A X P C B 中國(guó)奧博教育 浙江奧數(shù)網(wǎng) ADD：浙江省杭州市學(xué)院路 146 號(hào)第一教學(xué)樓 507 室 TEL： 0571— 85028528 FAX： 0571— 85028578 4 設(shè) A X P C YC kA B B C C A? ? ?， 則 (1 )X Y X A A Y k A B k A C? ? ? ? ?， (1 )P T P B B T k C B B T? ? ? ? ?， ∴ XYPT 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )k k A B C B k A B B T k A C C B k A C B T? ? ? ? ? ? ? 2( 1 ) c o s ( 1 ) c o s ( 1 ) ( )22k k a c k a b k A B B T k A C B C C T? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? 2( 1 ) s in ( 1 ) s in ( 1 ) s in 02 2 2k k a c k a b k a b? ? ?? ? ? ? ? ? ? ∴ XY⊥ PT 證明：∵ 1 6 6 7a b b c c a b cb b b ca a a??? ? ? ? ? ?， 同理： 1 67 abc c abc? ? ? ?， 1 67 aba a bcc? ? ? ? ∴ 1 1 16 6 6 8 ( ) ( )b c c a a bb c a a b ca b c a b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2( ) 36( ) 3
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