【正文】 。從這個模擬中，幾乎不能提煉出增長率的微線性模型。然而，當L足夠大時，波數(shù)2πL變成在圖1a的波峰的左側(cè)，最快的增長率可能不再對應于波長為L的波。在這個解離散系統(tǒng)方程的數(shù)值方法中，我們不僅可以看到周期盒子尺寸和波長一樣的擾動的演化過程，還可以觀察到一些高次諧波。結果，我們可以觀察任意時刻在整個色譜上不同波數(shù)分布的結果。7. 附錄圖1a中的實線是通過謹慎的線性穩(wěn)定性分析得到的，這一方法專注于特殊波數(shù)的擾動。6. 鳴謝作者感謝單小文博士分享他關于從連續(xù)波爾茲曼方程和離散波爾茲曼方程中推導奈維斯托克方程和能量方程的注解。應用反射的方法，我們可以使之適用于無相對運動的邊界條件中，這一方法在單相流中得到了很好的驗證。基于這一研究的進一步努力方向是(b)完善動力學理論閉包和(b)評估格子玻爾茲曼方法在模擬復雜幾何體內(nèi)復雜的分散流時潛在的優(yōu)勢。我們展示了通過格子波爾茲曼方法可以捕獲高密度流化床和低密度流化床中的時空結構，本文描述的格子玻爾茲曼方法很容易編譯，并且在本地計算機上并行很容易。38,57圖4導致二維塊和光帶的空隙度場時空演變的灰度圖，100100算機節(jié)點的格子玻爾茲曼模擬，?0=，無因次變量的值與圖1a的值是一樣的，kx=ky=。圖3 導致二維氣泡空隙的空隙度場時空演變的灰度圖，6464計算機節(jié)點的格子玻爾茲曼模擬，?0=，無因次變量的值與圖1a的值是一樣的，kx=ky=。圖3展示了正方形結構中均一結構的發(fā)展，這個結構可以讓二維結構在里面發(fā)展（周期盒子的寬度和橫向?qū)挾纫粯娱L）。正如圖中所見的那樣，基態(tài)的?d=?0=，它給一維的行進波讓路（插圖中的點），波的振幅開始時候是指數(shù)的增長，然后達到完全形成的狀態(tài)，這與格拉瑟的發(fā)現(xiàn)是相符的。次時間和空間位置。(b,下) 一維擾動無因次增長率vs無因次垂直波數(shù)ky，當?0=（格拉瑟）線性穩(wěn)定性的對比，無因次變量組的取值與圖1a的相同，實線表示雙流體模型的線性穩(wěn)定分析的結果，圈是4855計算機節(jié)點的格子玻爾茲曼的模擬結果。（附錄里講了為了格子玻爾茲曼方法只能用于圖一中峰值右邊的點）圖1b是通過不同的均一流化床（?d=?0=）的數(shù)據(jù)獲得的，再一次的與格拉瑟的吻合，證明了格子玻爾茲曼方法對于密度高的還是密度低的流化床懸濁液均是適用的。然后通過改變LB，我們可以發(fā)現(xiàn)不同波數(shù)的增長率（用這種方法只能發(fā)現(xiàn)圖1a峰值右邊的增長率）。特別地，這個模擬是在4LB大小的格子里進行的。與格拉瑟的一樣，這個格子玻爾茲曼模擬是在二維周期域內(nèi)完成的。格拉瑟等人的分析是在周期域內(nèi)進行的，通過將fασ周期化很容易地使得其能過在格子玻爾茲曼方法中實施。在這里，LB是格子玻爾茲曼模擬中的計算節(jié)點數(shù)。我們用文中介紹的格子玻爾茲曼方法再現(xiàn)那個結果，為了和格拉瑟的結果相對應，上述的無因次組必須與我們的格子玻爾茲曼模擬方法相匹配。）用這個模型，他們確定了強加在不同波數(shù)的特定粒子體積分率上的均一流化態(tài)的一維擾動的增長率。他們用特征密度ρd，速度vt和長度L=Avtρdg使得雙流體模型無因次化。通過現(xiàn)在提出的格子玻爾茲曼方法，我們得到了與他們相同的結果。為了驗證上面提出的計算機計算方法的正確性，我們再現(xiàn)了格拉瑟等人56早期發(fā)表的對于氣體粒子流的一些結果。5. 當fασ在速度空間上連續(xù)運動的時候，使用方程5355就可以得到例如?σρσ，uσ，θσ等流體力學的數(shù)值。3. 確定?σρσ，uσ，θσ的初始值，然后用fασ=fασ0?σρσ，uσ，θσ求出fασ的值，這就確定了零時刻的值。這種方法的總結如下：1. 確定匹配的無因次組。第三個任務包括fασ的初始化，最簡單的初始化的方法是指派這些變量的均衡值。盡管網(wǎng)格解析度或者是計算機網(wǎng)格數(shù)是一個關鍵量，但是，問題的關鍵是確定晶格長度的尺度，這將會被用于到格子結果的轉(zhuǎn)化中。然后通過無因次組的轉(zhuǎn)化將其轉(zhuǎn)化成物理單位。因此，我們的第一個任務就是分析手頭的第一個實際的情況并且辨認出重要的無因次組。因此，為了比較格子玻爾茲曼方法的結果和實際問題的結果，將格子玻爾茲曼的結果轉(zhuǎn)化為合適的無量綱形式（通過與格子單元的晶格數(shù)的結合）是十分重要的。這將可以被更為經(jīng)濟地應用到更大的尺度上。方程47可以被改成下面的形式fασx+ξα，t+1=τσ12τσ+12fασx，t+12τσ+12fασ0x+ξα，t+1+fασ0x，t+12τστσ+12qσDρσ?σθσfασ0x+ξα，t+1+fασ0x，tc2θσD (56)從上式，我們可以看出這個數(shù)值方法對所有當τσ0的情況都是穩(wěn)定的，這就將確保(τσ12)(τσ+12)1。當使用顯示的格子玻爾茲曼方法12來模擬單相流(近似滿足奈維斯托克方程)，這種方法的一個很大的限制是這種方法在科朗弗里德里希斯路易條件下的數(shù)值穩(wěn)定性的問題53，54。具體細節(jié)就不在此贅述了。在本部分，我們使得波爾茲曼方程離散化，從而得到了格子玻爾茲曼BGK方程?！?,177?！? α=16 177?！?,0,0,0,177。．格子波爾茲曼——BGK模型的推導計算機模擬連續(xù)波爾茲曼方程的第一步是使之離散化，在這一部分我們從連續(xù)性波爾茲曼方程中推出了離散化的波爾茲曼方程，離散化后導致格子玻爾茲曼BGK模型(LBMBGK)適用于規(guī)則的網(wǎng)格。從上面的分析中很容易看出，方程9等號右邊第二項的引入在本文中是一個關鍵點，這一項使得方程9變成如同我們所感興趣的雙流體模型的形式。對比在這一部分推導出的連續(xù)介質(zhì)模型和第二部分提出的模型，我們很容易可以發(fā)現(xiàn)除了連續(xù)相的能量波動方程(方程43)外，其他的方程是一致的。 qd=ΓslipJcollJvis (39)此處F, pd, μbd, Γslip, Jcoll和Jvis（它們的定義詳見第二部分）是由用戶提供的，正如是在第二部分中強調(diào)的那樣，將方程3739帶入方程3235，我們得到ρd?d?ud?t+ud??ud=?d??πc+??πd+F+?dρdg (40) ρc?c?uc?t+uc??uc=?c??πcF+?CρCg (41)D2ρd?d?θd?t+ud??θd=??Qd+πd:?ud+ΓslipJcollJvis (42)D2ρc?c?θc?t+uc??θc=??Qc+πc:?uc (43)此處的πd正如方程9中的一樣，通過將τd表述成?d（或者其他變量）的函數(shù)，我們可以調(diào)整離散相的有效粘度使之與第二部分的雙流體模型相匹配。 μd=ρd?dτdθd。運用較早提到的方程式（方程1417），我們可以得到以下的關于壓力張量和能量通量的方程：Pijσ1=τσθσ?ukσ?xlfσ0ckclc2Dδklcicjdc=2τσρσ?σθσΛijσδijD?ujσ?xi (28)Siσ1=τσθσ?θσ?xjfσ0c22θσD+22δklc2cicjdc=D+2τσρσ?σθσ?θσ?xi (29)