【正文】 因此，在實(shí)際建模中，可以借助 ARMA(p,q)模型去擬合一些具有平穩(wěn)性的經(jīng)濟(jì)變量的變化規(guī)律。建模得到 t = () () R2= .= tttt uC P IC P IC P I 21 ??? ?? ???圖 左邊是 CPI序列的實(shí)際值和擬合值，右邊是殘差序列 由 圖 AR(1) 模型比較好的擬合了 CPI序列，回歸方程的殘差序列基本上也是一個零均值的平穩(wěn)序列。 首先觀察 ?CPI序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的圖形 : 圖 ?CPI序列的相關(guān)圖 從圖 ?CPI序列的自相關(guān)系數(shù)是拖尾的，偏自相關(guān)系數(shù)在 2階截尾。 例 利用消費(fèi)價格指數(shù)研究模型識別和建模 本例將用 ARMA模型模擬我國 1983年 1月～ 2020年 8月的居民消費(fèi)價格指數(shù) CPI（ 上年同月 =100） 的變化規(guī)律 。 因此 ， 在實(shí)際的模型識別中 ， 自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)只能作為模型識別過程中的一個參考 ， 并不能通過它們準(zhǔn)確的識別模型的具體形式 。 4. 模型的識別與建立 我們引入了自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)這兩個統(tǒng)計量來識別 ARMA(p,q) 模型的系數(shù)特點(diǎn)和模型的階數(shù) 。 且對于一個 AR(p) 模型 ， ?k,k 的最高階數(shù)為 p， 也即 AR(p) 模型的偏自相關(guān)系數(shù)是 p 階截尾的 。 對于一個 AR(p)模型 ， tptpttt uuuu ???? ????? ??? ?2211() 將式 （ ） 兩邊同時乘以 utk ( k = 1, 2 , … , p) ， 再對方程兩邊取期望值并除以序列 ut的方差得到如下關(guān)于系數(shù) ?1 , ?2 , … , ?p的線性方程組： ???????????????????????pppppppprrrrrrrrr?????????????22112221111121() 其中： r1 , r2 , … , rp分別為序列 ut 的 1 , 2 , … , p階自相關(guān)系數(shù) 。 所以 ， 可以考慮使用偏自相關(guān)系數(shù)?k,k， 以便更加全面的描述自相關(guān)過程 AR(p)的統(tǒng)計特征 。 因此 ， 可以通過自相關(guān)系數(shù)來獲得一些有關(guān) AR(p) 模型的信息 ， 如低階 AR(p) 模型系數(shù)符號的信息 。 由此可知 ， AR(p) 模型的自相關(guān)系數(shù)會由于 g1 , g2 , … , gp及 k取值的不同 ， 呈現(xiàn)出不同的衰減形式 ， 可能是指數(shù)式的衰減 ， 也可能是符號交替的震蕩式的衰減 。 故可以通過識別一個序列的偏自相關(guān)系數(shù)的拖尾形式 ， 大致確定它應(yīng)該服從一個 MA(q) 過程 。 ?????????????????????qkqkkrqqkqkkkk00101221110 ??????????? MA(q) 的偏自相關(guān)系數(shù)的具體形式隨著 q 的增加變得越來越復(fù)雜 ， 很難給出一個關(guān)于 q 的一般表達(dá)式 ， 但是 ， 一個 MA(q) 模型對應(yīng)于一個AR(∞) 模型 。 ut與 ut+k 不相關(guān) ， 這種性質(zhì)通常稱為截尾 。因此，如果我們能求出關(guān)于 ? k , k的估計值，并檢驗(yàn)其顯著性水平，就能夠確定時間序列 ut 的自相關(guān)的階數(shù)。如果 rk 在小的滯后階數(shù)下趨于零，表明序列 ut 服從低階移動平均過程 如果這種自相關(guān)的形式可由滯后小于 k階的自相關(guān)表示，那么偏相關(guān)在 k期滯后下的值趨于零。如果 r1 ? 0 ，意味著序列 ut 是一階自相關(guān)。 通常的， AR(p) 模型的自相關(guān)系數(shù)是隨著滯后階數(shù) k的增加而呈現(xiàn)指數(shù)衰減或者震蕩式的衰減，具體的衰減形式取決于 AR(p) 模型滯后項(xiàng)的系數(shù)。在實(shí)際研究中，所能獲得的只是經(jīng)濟(jì)指標(biāo)時間序列 ut 的數(shù)據(jù)，根據(jù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的樣本特征，來推斷其總體（真實(shí)）特征。 這樣 ， 下面兩種定義將有同樣規(guī)格的系數(shù)： Y c X ma(2) ma(1) sma(4) ar(1) Y sma(4 ) c ar(1) ma(2) X ma(1) 167。 為適當(dāng)?shù)卦O(shè)置初值 ， 需對 EViews如何為 ARMA設(shè)置系數(shù)多些了解 。 在這個選項(xiàng)下 ， EViews使用系數(shù)向量 C中的值 。 可以選擇 、 、 以將所有初值設(shè)為零 。 EViews缺省方法是 OLS/TSLS，這種方法先進(jìn)行沒有 ARMA項(xiàng)的預(yù)備估計 ， 再從這些值開始非線性估計 。 為控制 ARMA估計初值 ， 在方程定義對話框單擊Options。從前一步初值重新開始，使方程從中止處開始而不是從開始處開始。 EViews自行確定初值。 注意：非線性最小二乘估計漸進(jìn)等于極大似然估計且漸進(jìn)有效 。 tt LcuL ?)()( ???? 4. ARMA(p,q)模型的估計選擇 EViews估計 AR模型采用非線性回歸方法 ， 對于 MA模型采取回推技術(shù) (Box and Jenkins,1976)。 我們利用滯后算子多項(xiàng)式寫一般的 ARMA模型： 如果 AR模型滯后多項(xiàng)式有實(shí)根或一對復(fù)根的倒數(shù)在單位圓外（即 絕對值大于 1，或 模大于 1），這意味著自回歸過程是 發(fā)散 的。 一般 AR(p) 模型平穩(wěn)條件是：滯后算子多項(xiàng)式的根的倒數(shù)在單位圓內(nèi)。在輸出表中 ?1用 AR(1)表示， MA(1) 模型的系數(shù) ?1用 MA(1)表示。含有 AR項(xiàng)的模型獨(dú)有的統(tǒng)計量是估計的 AR系數(shù)。 實(shí)際上 ， 通過利用滯后殘差的預(yù)測能力 ， 改善了無條件預(yù)測和殘差 。 建立方程 ， 輸入 LS c ar(1) ma(1) tt ucLS ??11 ?? ??? tttt uu ????估計輸出顯示： 11111111)()(??????????????????????????????ttttttttttSLSLucSL????????估計方程可寫為： t = () t = () （ ） R2= . = 也可寫為： tt uSL ?0 1 8 ??11 ?? ???? tttt uu ?? 2. ARMA(p,q)模型的輸出形式 一個含有 AR項(xiàng)的模型有兩種殘差：第一種是無條件殘差 ， 第二種殘差是估計的一期向前預(yù)測誤差 。 擬合曲線基本代表了這一時期的均值 。 建立如下模型： t = 1, 2, ? , T 估計輸出結(jié)果顯示為： ttt usrcsr ??? ? 1?圖 藍(lán)線是上證股價指數(shù)變化率序列 sr，紅線是 AR(1)模型的擬合值 從圖 1991年～ 1994年之間變化很大 ， 而后逐漸變小 ， 基本在 3%上下波動 。 一般來講 ， 股價指數(shù)序列并不是一個平穩(wěn)的序列 ， 而通過變換后的變化率數(shù)據(jù) ，是一個平穩(wěn)序列 ， 可以作為我們研究 、 建模的對象 。 ARMA(p,q)模型的估計 1. ARMA(p,q)模型的輸入形式 例