【正文】 qtqtttu ?? ????? ?????? ?11。 ARMA模型 1. 自回歸模型 AR(p) p 階自回歸模型記作 AR(p)， 滿足下面的方程： () 其中：參數(shù) c 為常數(shù)； ?1 , ?2 ,… , ?p 是自回歸模型系數(shù)；p為自回歸模型階數(shù)； ?t 是均值為 0， 方差為 ? 2 的白噪聲序列 。一般所說的“平穩(wěn)性”含義就是上述的弱平穩(wěn)定義。 167。橫截面數(shù)據(jù)中的隨機(jī)變量可以非常方便地通過其均值、方差或生成數(shù)據(jù)的概率分布加以描述，但是在時(shí)間序列中這種描述很不清楚。 經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列不同于橫截面數(shù)據(jù)存在重復(fù)抽樣的情況，它是一個(gè)隨機(jī)事件的惟一記錄，如中國(guó)1980年～ 2020年的進(jìn)出口總額是惟一的實(shí)際發(fā)生的歷史記錄。 在現(xiàn)實(shí)中很多問題 ， 如利率波動(dòng) 、 收益率變化及匯率變化等通常是一個(gè)平穩(wěn)序列 ， 或者通過差分等變換可以化成一個(gè)平穩(wěn)序列 。 例如：將例 ， 估計(jì)如下帶有附加修正項(xiàng) AR(3)的非線性方程： tcttt uGDPCSccCS ???? ? 2110 用公式法輸入： cs=c(1)+gdp^c(2)+c(3)*cs(1)+[ar(1)=c(4), ar(2)=c(5), ar(3)=c(6)] ttttt uuuu ???? ???? ??? 332211 輸出結(jié)果顯示為： 167。如果存在虛根，根的模應(yīng)該小于 1。 一般 AR(p)平穩(wěn)條件是：滯后算子多項(xiàng)式的根的倒數(shù)在單位圓內(nèi) 。 i?????? 對(duì)于簡(jiǎn)單 AR(1)模型 ， 是無條件殘差 的序列相關(guān)系數(shù) 。 對(duì)于含有 AR項(xiàng)的模型 ， 基于殘差的回歸統(tǒng)計(jì)量 ， 如 R2 (回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差 )和 DW值都是以一期向前預(yù)測(cè)誤差 為基礎(chǔ)的 。 第二種殘差是估計(jì)的 一期向前預(yù)測(cè)誤差 。 要理解這些差別 ， 記住一個(gè)含有 AR項(xiàng)的模型有兩種殘差： 第一種是 無條件殘差 bxyu ttt ???? 通過原始變量以及估計(jì)參數(shù) ? 算出。 含有 AR項(xiàng)模型的估計(jì)輸出 當(dāng)估計(jì)某個(gè)含有 AR項(xiàng)的模型時(shí) ， 在解釋結(jié)果時(shí)一定要小心 。 而且從相關(guān)圖看到 ， 可以采用 AR(3) 模型來修正回歸方程的自相關(guān)性 。因此，用 AR(1)模型修正后的回歸方程的估計(jì)結(jié)果是有效的。 tttt uuu ??? ??? ?? 4422 例 用 AR(p)模型修正回歸方程殘差序列的自相關(guān) （ 1） 例 關(guān) 。 針對(duì)例 ： 需要注意的是 ， 輸入的 ar(1) ar(2) ar(3) 分別代表 3個(gè)滯后項(xiàng)的系數(shù) ， 因此 ， 如果我們認(rèn)為擾動(dòng)項(xiàng)僅僅在滯后 2階和滯后 4階存在自相關(guān) ， 其他滯后項(xiàng)不存在自相關(guān) ， 即 則估計(jì)時(shí)應(yīng)輸入： cs c gdp cs(1) ar(2) ar(4) EViews在消除序列相關(guān)時(shí)給予很大靈活性 ， 可以輸入模型中想包括的各個(gè)自回歸項(xiàng) 。 我們可以將上述討論引申到更一般的情形：對(duì)于非線性形式為 f (xt , ? )的非線性模型， xt = {1, x1t , x2t ,…, xkt} ，? = {?0 , ?1 ,…, ?k }，若擾動(dòng)項(xiàng)序列存在 p階序列相關(guān)， () () 也可用類似方法轉(zhuǎn)換成誤差項(xiàng) ?t為白噪聲序列的非線性回歸方程 ， 以 p = 1為例 ， () 使用 GaussNewton算法來估計(jì)參數(shù) 。 例如 ， 仍討論一元線性回歸模型 ， 并且擾動(dòng)項(xiàng)序列具有 3階序列相關(guān)的情形 ， 即 p = 3的情形： ttt uxy ??? 10 ??ttttt uuuu ???? ???? ??? 332211() () 按照上面處理 AR(1) 的方法 ， 把擾動(dòng)項(xiàng)的滯后項(xiàng)代入原方程中去 ， 得到如下表達(dá)式： tttttttttxyxyxyxy??????????????????????????????)()()(31033210221101110() 通過一系列的化簡(jiǎn)后 ， 仍然可以得到參數(shù)為非線性 ， 誤差項(xiàng) ?t 為白噪聲序列的回歸方程 。 11011 ??? ??? ttt xyu ??ttttt xxyy ?????? ?????? ?? )()1( 11011*1* , ?? ???? tttttt xxxyyy ??ttt xy ???? ???? *10* )1( 2． 修正高階序列相關(guān) 通常如果殘差序列存在 p階序列相關(guān) ， 誤差形式可以由 AR(p)過程給出 。 為了便于理解 ， 先討論一元線性回歸模型 ， 并且具有一階序列相關(guān)的情形 ， 即 p = 1的情形： () () ttt uxy ??? 10 ??ttt uu ?? ?? ? 1把式 （ ） 帶入式 （ ） 中得到 () tttt uxy ???? ???? ? 110然而 ， 由式 （ ） 可得 () 再把式 （ ） 代入式 （ ） 中 ， 并整理 () 令 ， 代入式 （ ） 中有 () 如果已知 ? 的具體值 ， 可以直接使用 OLS方法進(jìn)行估計(jì) 。 下面將討論如何利用 AR(p) 模型修正擾動(dòng)項(xiàng)的序列相關(guān) ， 以及用什么方法來估計(jì)消除擾動(dòng)項(xiàng)后方程的未知參數(shù) 。 通常可以用 AR(p) 模型來描述一個(gè)平穩(wěn)序列的自相關(guān)的結(jié)構(gòu) ， 定義如下： () () tktkttt uxxxy ?????? ???? ?22110tptpttt uuuu ???? ????? ??? ?2211 其中： ut 是無條件擾動(dòng)項(xiàng) ， 它是回歸方程 （ ）的擾動(dòng)項(xiàng) ， 參數(shù) ?0， ?1， ?2， ?， ?k 是回歸模型的系數(shù) 。 擾動(dòng)項(xiàng)存在序列相關(guān)的 線性回歸方程的估計(jì)與修正 線性回歸模型擾動(dòng)項(xiàng)序列相關(guān)的存在 ， 會(huì)導(dǎo)致模型估計(jì)結(jié)果的失真 。各階滯后的 Q統(tǒng)計(jì)量的 P值都小于 5%，說明在 5%的顯著性水平下，拒絕原假設(shè)，殘差序列存在序列相關(guān)。這里采用 LM 統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn) (p=2)， 得到結(jié)果如下 ： LM統(tǒng)計(jì)量顯示 ， 回歸方程的殘差序列存在明顯的序列相關(guān)性 。 但是 ， 由于方程的解釋變量存在被解釋變量的一階滯后項(xiàng) ， 那么 作為判斷回歸方程的殘差是否存在序列相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn) ， 如果殘差序列存在序列相關(guān) ， 那么 ， 顯著性水平 、 擬合優(yōu)度和 F統(tǒng)計(jì)量將不再可信 。因此，回歸方程的估計(jì)結(jié)果不再有效，必須采取相應(yīng)的方式修正殘差的自相關(guān)性。 在滯后定義對(duì)話框 ， 輸入要檢驗(yàn)序列的最高階數(shù) 。 ktktttt xxxye ???? ???? 22110 ?????? ?tptpttt veee ????? ?? ??? ?11X 在給定的顯著性水平下 ， 如果這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量小于設(shè)定顯著性水平下的臨界值 ， 說明序列在設(shè)定的顯著性水平下不存在序列相關(guān)；反之 ， 如果這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量大于設(shè)定顯著性水平下的臨界值 ， 則說明序列存在序列相關(guān)性 。 T R2統(tǒng)計(jì)量是 LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，是觀測(cè)值個(gè)數(shù) T 乘以回歸方程（ ）的 R2。LM檢驗(yàn)通常給出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量： F統(tǒng)計(jì)量和 T R2統(tǒng)計(jì)量 。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由如下輔助回歸計(jì)算。 選擇 View/Residual test/CorrelogramQstatistice會(huì)產(chǎn)生如下結(jié)果： 3 . 序列相關(guān)的 LM檢驗(yàn) 與 不同， BreushGodfrey LM檢驗(yàn)（ Lagrange multiplier，即拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)）也可應(yīng)用于檢驗(yàn)回歸方程的殘差序列是否存在高階自相關(guān)，而且在方程中存在滯后因變量的情況下， LM檢驗(yàn)仍然有效。 本例 1階的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)都超出了虛線，說明存在 1階序列相關(guān)。樣本區(qū)間： 1963年～ 1984年，建立如下線性回歸方程： t = 1, 2, ?, T tttt ugnpri n v ??? ? )l n ()l n ( 211 ??應(yīng)用最小二乘法得到的