【正文】 * *2* * * *( 1 ) ( 1 )( , , , ) l n( 2 ) l n( )22( 1 ) l n | | ( 1 ) l n | |2( ) , ( )( , , | , , ) ( ) ( ) ( )vvvNNT T TN T N TLT A T Bw he re A I W B I WW I B I A I B? ? ? ? ????????? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?βeeee β y X y X βMaximum Likelihood Estimation Random Effects ? LogLikelihood Function 2239。~ ( , ) ,TNu T v T T T TN??? ? ? ? ? ?? ? ? ?e i u v 0 Ω Ω IJ I J i i22~ ( , ) , ~ ( , ) ,v N T u NN N t?? ?v 0 I u 0 IT??e i u + vMaximum Likelihood Estimation Fixed Effects ? LogLikelihood Function 222( , , , ) l n( 2 ) l n( )2239。 39。 ) /( 39。 ) /( 39。 ) /( 39。 ) / ( 1 )( 39。 ) /( 39。 ) / ( 1 )( 39。 /? ?? ? ? ?( ) , ( )TF E F E i ittvuu T v T N u T v T Nv v TN T N??? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??δ Z Z Z y v y Z δv v v vΩ J I I Ω J I ISpatial Error Model Estimation ? The Model: SPAR(1) ? Fixed Effects ? Random Effects ()TTWi???? ? ?? ? ?yX βεε I ε ee u v2 2 2 2 211(,( ) ,v u vT T N T NV a r T? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?11e ) Q I J I Q J I2( ) ( ) v NTV a r V a r ???e v I11( ) ( ) ( ) ( ) 39。 , , /? ? ? ?? ?39。 )V a r? ? ? ? ???δ Z Ω ZZ Ω y δ Z Ω Z11222 2 1 2 2? ?? ? ? ? ?( 39。 ) 39。 ) 39。? ?( ) ( 39。??Z H H H H Z2( | ) 0 , ( , ) 0, TE C o vw h e re W????? ? ???v H Z HH X W X W X W ISpatial Lag Model Estimation ? Random Effects 22( ) ( )Tu T v T NV ar ????? ? ?? ? ? ?yZ δεε i u vε Ω J I I2 2 2 2 211 ,( ) ,v u vT T N T NTw h e r e? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?11Ω Q I J I Q J ISpatial Lag Model Estimation Random Effects: IV/GLS ? Instrumental Variables ? TwoStage Generalized Least Squares 1 1 111? ? ?( 39。 / ( 1 ) ,vvVarNT??????? ? ? ?δ Z Z Z y δ ZZv v v y Z δ1? ( 39。 , ( ) ( 39。T W????? ? ?Z I y XδβyZ δεSpatial Lag Model Estimation ? Fixed Effects 2 2( ) ( ) ()Tv N T vV a r V a r V a r? ?? ? ? ? ?? ????????? ?? ?? ?yZ δ i u v yZ δvε v I vQ,()T T Nw h e r e? ? ?y = Q y Z = Q Z v = Q vQ I J ISpatial Lag Model Estimation Fixed Effects: IV or 2SLS ? Instrumental Variables ? TwoStage Least Squares 1 2 12? ? ?? ? ?( 39。 )u T v TV a r WBB?? ?? ? ?εXJI( | , ) 0EW ?εXSpatial Panel Data Models Example: U. S. Productivity (48 States, 17 Years) ? Panel Data Model ? ln(GSP) = b0 + b1 ln(Public) + b2ln(Private) + b3ln(Labor) + b4(Unemp) + ? ? ? ? i?u + v ? Spatial Lag Model ? ln(GSP) = b0 + b1 ln(Public) + b2ln(Private) + b3ln(Labor)+ b4(Unemp) + λW ln(GSP) + ? ? ? ? i?u + v ? Spatial Error Model ? ln(GSP) = b0 + b1 ln(Public) + b2ln(Private) + b3ln(Labor) + b4(Unemp) + ? ? ? ? ? W? ? e , e ? i?u + v ? Spatial Mixed Model ? ln(GSP) = b0 + b1 ln(Public) + b2ln(Private) + b3ln(Labor) + b4(Unemp) + λW ln(GSP) + ? ? ? ? ? W? ? e , e ? i?u + v Model Estimation ? Based on panel data models (pooled, fixed effects, random effects), we consider: ? Spatial Error Model ? Spatial Lag Model ? Spatial Mixed Model ? Model Estimation ? Generalized Least Squares (IV/GLS) ? Generalized Method of Moments (GMM/GLS) ? Maximum Likelihood Estimation Spatial Lag Model Estimation ? The Model: SPLAG(1) ? OLS is biased and inconsistent. ()( ( ) , ) 0TTTWCov W?? ? ? ?? ? ???y I y X βεε i u vIy ε? ?? ?()39。 ) ( ) ]vvvL M L a g Q W J W bb T t ra c e WW W WQ W W J W WQ W W J W??????????????? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?ε yyyA X X AA X yHypothesis Testing Example ?