【正文】 如果不設(shè)定因果性，那么普遍來(lái)講，對(duì)收斂域和系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)將會(huì)有很多不同的結(jié)果。而它并沒有很明確的闡明系統(tǒng)的收斂域。特別的，對(duì)等式 (19)的兩邊施加 Z 變換。事實(shí)上，它還描述一個(gè)計(jì)算輸出的明確算法，但其結(jié)果并不是一個(gè)簡(jiǎn)便的解析式。其中 z1? 表示一個(gè)單位延時(shí)。特別的，我們可以將等式 (29)寫成： a0 y(n)= )(0 knxMk kb ??? )(1 knyNk ka ??? (30) 由于我們?cè)O(shè)想系統(tǒng)是線性的因果的，當(dāng) nn0時(shí)， x(n)=0；則 nn0， y(n)=0。即使在這些限制條件下，系統(tǒng)也未必是因果的。等式 (29)僅當(dāng)有齊次解的時(shí)候代表一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)。 等式 (27)為變換輸出的綜合方程，如： y(n)= dzzXzHj c nz? ?1)()(21? (27) 等式 (28)與 Z變換的卷積相一致。由于等式 (17)或 (21)與把 X(n)看做是一系列復(fù)雜指數(shù)函數(shù)的線性組合的結(jié)論相一致。 特征函數(shù)大體上直接遵循卷積和，用 x(n)= zn 來(lái)描述，輸出 17 y(n) = H(z) zn (25) 這里 H(z)= ??????knzkh )( (26) 系統(tǒng)函數(shù) H(z)與特 征函數(shù) zn 相關(guān)的特征值，而且，從式 (26)中可以看出， H(z)是單位抽樣響應(yīng)的 Z變換。如果又是時(shí)不變系統(tǒng)，那么復(fù)雜指數(shù)函數(shù)將是本征函數(shù)。 在 節(jié)中，我們回顧了：將信號(hào)描述為一系列復(fù)雜的或更加寬泛的指數(shù)函數(shù)的疊加形式。大多數(shù)的 FFT 算法是基于這種簡(jiǎn)單的規(guī)律： N 點(diǎn)的 DFT 可通過(guò)兩個(gè) N/2 點(diǎn)的 DFT，或三個(gè) N/3 點(diǎn)的DFT等等。直接計(jì)算 N 點(diǎn)的 DFT 或 DFT 的逆變換需要 N2次算術(shù)運(yùn)算 (加法 和乘法 )。盡管它們被排除在 0≦ k≦ N1的范圍之外，但事實(shí)上它們應(yīng)該強(qiáng)調(diào)而不是附加性的說(shuō)明。有限長(zhǎng)序列的復(fù)氏變換表達(dá)可以由復(fù)氏變換求得。 在 ，討論周期序列的響應(yīng)。 16 如果 x(n)是左邊序列，若圓 │z│=r0中的在 ROC 內(nèi)，那么對(duì)于滿足 0│z│r0的所有 Z值，都將在 ROC內(nèi)。 對(duì)于有理 Z變換， ROC不含任何極點(diǎn)，而且是有界的。 有許多關(guān)于收斂性的一些隱含的屬性。當(dāng) x(z)是 Z 的有理函數(shù)時(shí)，將 x(z)展開的一個(gè)典型的方法是用部分分式法。對(duì)于等式為由 X(z)得到 x(n)提供一種正式的途徑，它的積分就需曲線積分。例如對(duì)于兩個(gè)序列 )(nuan 和 )1( ??? nuan ， 它們?cè)诖鷶?shù)上有相同的 Z變換，但是 僅在收斂域上有不同。我們將在后面總結(jié)有關(guān) ROC的更多特征。 等式 (22)僅僅對(duì)于一部分 Z值收斂。 復(fù)氏變換的普遍化，即 Z變換，認(rèn)為更加廣泛的信號(hào)響應(yīng)是一系列復(fù)雜的指數(shù)函數(shù)的線性組合，對(duì)它們來(lái)說(shuō)，量值可能不唯一。 合成方程： x(n)= ??? ?? ? dX e nj?? )(21 (17) 分解方程： X(ω)= ??????rnjenx ?)( (18) 為了聯(lián)立離散復(fù)氏變換和離散復(fù)氏級(jí)數(shù)，考慮一個(gè)穩(wěn)定序列 x(n)和周期信號(hào) )(1nx ，如果： ?)(1 nx ????? ?r rNnx )( (19) 那么 )(1nx 的 DFS系數(shù)是抽樣間隔 2π/N成常系數(shù)比的復(fù)氏變換 x(n)。對(duì) 于一個(gè)周期穩(wěn)定序列。 離散時(shí)間復(fù)氏變換 任何穩(wěn)定序列 X(N)如：一個(gè)絕對(duì)可和的序列。不影響等式 (15)周期性的重復(fù)序列。 合成方程： )(~nx = ???10~ )/2()(1 NnnkNjekXN ? (15) 分解方程： )(~ kX = e nkNjNn nxN)/2(10~ )(1 ????? (16) 這個(gè)合成方程將周期序列表達(dá)為一系列有序相關(guān)復(fù)雜的指數(shù)函數(shù)的線性組合。 14 任意周期序列 x(n)。最后對(duì)于有限擴(kuò)展序列用離散的復(fù)氏變換。首先對(duì)于周期的序列，用離散序列得到級(jí)數(shù)。一個(gè)線性系統(tǒng)是因果的充分必要條件是它的單位沖擊響應(yīng) h(n)在 n0時(shí)，輸出為 0，對(duì)于一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)， 因果性： h(n)=0 n0 (14) 因?yàn)榈仁?(14)，當(dāng) n0時(shí)，輸出值為 0的連續(xù)性通常稱為因果連 續(xù)性。 對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō) , 穩(wěn)定性： ???????n nh )( (13) 由于等式 (13)， 一個(gè)絕對(duì)可和的連續(xù)性通常是一個(gè)穩(wěn)定的連續(xù)性。一個(gè)系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)有限的輸入導(dǎo)致一個(gè)有限的輸出時(shí)，才被認(rèn)為在有限輸入 ——有限輸出意義下是穩(wěn)定的。對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)，卷積和除了在分析線性和時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)很重要，在實(shí)現(xiàn)一種特殊的線性和時(shí)不變系統(tǒng)即有限沖擊響應(yīng)系統(tǒng)時(shí)，也因?yàn)槠淝逦母拍铒@得很重要。 由于是連續(xù)時(shí)間卷積，這個(gè)卷積運(yùn)算等式 (9)具有交換律，結(jié)合律，分配律的性質(zhì)。線性時(shí)不變有獨(dú)立的特性的特征，例如一個(gè)系統(tǒng)可能有這個(gè)特征但不具備另一個(gè)特征，或兼而有之或都不具備。幸運(yùn)的是，許多系統(tǒng)在實(shí)際中能夠用一個(gè)線性的，時(shí)不變的系統(tǒng)逼近。 如果對(duì)于一個(gè)特定的系統(tǒng)輸入有特定的輸出，無(wú)法推出與之不同輸入有著相同的輸出的結(jié)果。一個(gè)規(guī)則的正弦曲線序列能被表達(dá)為： x(n)=Acos( 0w n +Φ) (6) A為幅度， 0w 為頻率， Φ為相位，與連續(xù)的正弦時(shí)間信號(hào)相比， 離散時(shí)間正弦信號(hào)不必是周期性的，如果是，也只有在 2π/ 0w 是一個(gè)整數(shù)時(shí)，周期才為 2π/ 0w ，對(duì)于連續(xù)和離散時(shí)間信號(hào)，正弦信號(hào)的重要性在于這樣一個(gè)事實(shí)：大量的信號(hào)族能被這樣的正弦信號(hào)線性組合，同時(shí)正弦信號(hào)通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)的響應(yīng)是一個(gè)正弦的，它們有相同的頻率，僅僅只是在幅度和相位上有改變。特別的，它們是離散時(shí)間線性系統(tǒng)的表征函數(shù)，也由于此，構(gòu)成變換分析技術(shù)的基礎(chǔ)。 它們概括如下： δ(n)=1 n=0 δ(n)=0 (1) 序列 δ(n)扮演的角色如同沖擊函數(shù)在模擬系統(tǒng)分析中的一樣。例如 X(n)代表 ：對(duì)于給定一個(gè)特征值 n,離散函數(shù)或函數(shù)值 x,這兩者之間的區(qū)別將在此中得到說(shuō)明。盡管不是在每一個(gè)領(lǐng)域都是十分精確，離散時(shí)間信號(hào)處理通常被認(rèn)為是數(shù)字信號(hào)處理過(guò)程。離散時(shí)間信號(hào)與連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣信號(hào)有著密切的聯(lián)系。1 外 文 資料 Signals and System Signals are scalarvalued functions of one or more independent variables. Often for convenience, when the signals are onedimensional, the independent variable is referred to as ―time‖ The independent variable may be continues or discrete. Signals that are continuous in both amplitude and time (often referred to as continuous time or analog signals) are the most monly encountered in signal processing contexts. Discretetime signals are typically associated with sampling of continuoustime signals. In a digital implementation of signal processing system, quantization of signal amplitude is also required . Although not precisely Correct in every context, discretetime signal processing is often referred to as digital signal processing. Discretetime signals, also referred to as sequences, are denoted by functions whose arguments are integers. For example , x(n) represents a sequence that is defined for integer values of n and undefined for noninteger value of n . The notation x(n) refers to the discrete time function x or to the value of function x at a specific value of n .The distinction between these two will be obvious from the contest . Some sequences and classes of sequences play a particularly important role in discretetime signal processing .These are summarized below. The unit sample sequence, denoted by δ(n)=1 ,n=0 ， δ(n)=0,otherwise (1) The sequence δ(n) play a role similar to an impulse function in analog analysis . The unit step sequence ,denoted by u(n), is defined as U(n)=1 , n≧ 0 u(n)=0 ,otherwise (2) Exponential sequences of the form X(n)=