【正文】 43|k|4k2+1=43k2(k2+1)4k2+1.所以△OMN的面積S=12|MN|1=23k2(k2+1)4k2+1.令t=4k2+1,則t1,k2=t14,所以S=23t14t14+1t2=32(t1)(t+3)t2=32t2+2t3t2=323t2+2t+1=321t132+49.當t=3,即4k2+1=3,即k=177。1,因為點M28k21+4k2,4k1+4k2,N2k28k2+4,4kk2+4,所以kMN=4k1+4k2+4kk2+428k21+4k22k28k2+4=5k44k2,所以直線MN的方程為y4k1+4k2=5k44k2x28k21+=0,得x=65.所以直線MN過x軸上的點65,0.綜上所述,直線MN過x軸上的定點65,0.解題心得在圓錐曲線問題中,常設(shè)出直線與圓錐曲線的兩個交點坐標,聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程,消元得到一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,大大降低了運算量,體現(xiàn)了整體思想.技巧四　巧妙“換元”減少運算量【例4】如圖,已知橢圓C的離心率為32,A,B,F分別為橢圓的右頂點、上頂點和右焦點,且S△ABF=132.(1)求橢圓C的方程。若不過定點,請說明理由.解(1)當直線AM的斜率為1時,直線AM的方程為y=x+2,代入橢圓方程并化簡得5x2+16x+12=0,解得x1=2,x2=,45.(2)由題意可知直線AM,AN的斜率存在,且不為0.設(shè)直線AM的斜率為k(k≠0),直線AM的方程為y=k(x+2),直線AN的方程為y=1k(x+2).由y=k(x+2),x24+y2=1,化簡得(1+4k2)x2+16k2x+16k24=0,則xA+xM=16k21+4k2.又xA=2,所以xM=xA16k21+4k2=216k21+4k2=28k21+4k2.同理,可得xN=2k28k2+4.當xM=xN時,28k21+4k2=2k28k2+4,解得k=177。|=(2+1)2+(40)2=|PA||PF|的最小值為1.解題心得解決此類問題要熟練掌握平面幾何的性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合,找到解題的關(guān)鍵.技巧二　設(shè)而不求,整體代換【例2】已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦點為F(3,0),過點F的直線交橢圓E于A,(1,1),則橢圓E的標準方程為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　+y236=1 +y227=1+y218=1 +y29=1答案D解析設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2,y1+y2=2,x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,兩式相減得(x1+x2)(x1x2)a2+(y1+y2)(y1y2)b2=0,所以kAB=y1y2x1x2=b2(x1+x2)a2(y1+y2)=b2a2.又kAB=0+131=12,所以b2a2=12.又a2b2=c2=9,所以b2=9,a2=18.所以橢圓E的標準方程為x218+y29=1.解題心得本題設(shè)出A,B兩點的坐標,卻不求出A,B兩點的坐標,巧妙地表達出直線AB的斜率,通過將直線AB的斜率“算兩次”建立幾何量之間的關(guān)系,從而快速解決問題.技巧三　巧用“根與系數(shù)的關(guān)系”,化繁為簡【例3】已知橢圓x24+y2=1的左頂點為A,過點A作兩條互相垂直的弦AM,AN交橢圓于M,N兩點.(1)當直線AM的斜率為1時,求點M的坐標。上時,|PA|+|PF39。|,所以|PA||PF|=|PA|+|PF39。,則|PF|+|PF39。x1y1,∴kl=a2y1b2x1.∴直線l的方程為yy1=a2y1b2x1(xx1).把(x0,0)代入得x1=a2a2b2x0.∵|x1|a,∴aa2a2b2x0a,即a2b2ax0a2b2a.評析利用中點弦斜率公式求得弦的斜率,寫出弦所在直線的方程,并用弦中點的橫坐標的范圍抽象出不等式來求解參數(shù)范圍.技巧一　巧用平面幾何性質(zhì)【例1】已知橢圓C:x24+y23=1的右焦點為F,P為橢圓C上一動點,定點A(2,4),則|PA||PF|的最小值為　　　　　.答案x+2y4=0解析(方法1)設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),M(2,1)為AB的中點,所以x1+x2=4,y1+y2=2,又A,B兩點在橢圓上,則x12+4y12=16,x22+4y22=16,兩式相減,得(x12x22)+4(y12y22)=0,所以y1y2x1x2=x1+x24(y1+y2)=12,即kAB=+2y4=0.(方法2)設(shè)所求直線方程為y1=k(x2),代入橢圓方程并整理得,(4k2+1)x28(2k2k)x+4(2k1)216=0.又設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是方程的兩個根,于是x1+x2=8(2k2k)4k2+1,又M為AB的中點,所以x1+x22=4(2k2k)4k2+1=2,解得k=12,故所求直線方程為x+2y4=0.(方法3)設(shè)所求直線與橢圓的一個交點為A(x,y),由于弦的中點為M(2,1),則另一個交點為B(4x,2y),因為A,B兩點在橢圓上,所以x2+4y2=16,(4x)2+4(2y)2=16,兩式相減得x+2y4=0,由于過A,B的直線只有一條,故所求直線方程為x+2y4=0.評析求中點弦所在的直線方程,一般先利用橢圓中點弦斜率公式求得中點弦的斜率,再根據(jù)點斜式求得中點弦所在的直線方程.應(yīng)用三　求曲線軌跡方程【例3】過橢圓x264+y236=1上一點P(8,0)作直線交橢圓于Q點,則PQ中點的軌跡方程為　　　　　.kOM=b2a2即kAB==x2時,AB平行于x軸,此時x0=0,kAB=0,kAB=b2x0a2y0也成立,綜上,kAB=b2x0a2y0.二、定理的應(yīng)用應(yīng)用一　求橢圓的基本元素【例1】已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0),點F為左焦點,點P為下頂點,平行于FP的直線l交橢圓于A,B兩點,且AB的中點為M1,12,則橢圓的離心率為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　 答案A解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),∵AB的中點為M1,12,∴x1+x2=2,y1+y2=1,又A,B在橢圓上,∴x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=,得y1y2x1x222,所以|AB|=2,因為|BC|=|MN|=2,且四邊形ABCD是矩形,所以四邊形ABCD的面積為S=|AB|32時,等號成立.所以|AB|≤4371+148=437743=7,易知|AB|437,即437AB≤7.②當k=0時,|AB|=437.所以437≤|AB|≤7.又|OH|=237,所以S△AOB=12|AB|64k2m24(4m212)(4k2+3)(4k2+3)2=1+k23=33,所以a+c=3.又a2c2=3,解得a=2,c=1.所以橢圓C的方程為x24+y23=1.(2)如圖,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).當圓O的切線l的斜率存在時,設(shè)l的方程為:y=kx+m.切點為H,連接OH,則OH⊥AB.聯(lián)立y=kx+m,x24+y23=1,整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m212=+x2=8km4k2+3,x1x2=4m2124k2+3.又直線l與圓O:x2+y2=127相切,所以O(shè)H=|m|k2+1=127.所以m2=12(1+k2)7.又|AB|=1+k2PF2的最小值為n=b2c2.由m≥2n,得a2≥2(b2c2)=2(a22c2),∴a2≤4c2,解得e=ca∈12,1.例4解(1)由題意,得2c=22,所以c=2.又e=ca=63,所以a=3,所以b2=a2c2=1,所以橢圓M的方程為x23+y2=1.(2)設(shè)直線AB的方程為y=x+m.由y=x+m,x23+y2=1消去y,得4x2+6mx+3m23=0,則Δ=36m244(3m23)=4812m20,即m24.設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),則x