【正文】 ．∴AE⊥DF；（4）如圖：由于點P在運動中保持∠APD=90176。．∴AE⊥DF；（2）是；（3）成立．理由：由（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF延長FD交AE于點G，則∠CDF+∠ADG=90176。．在△ADE和△DCF中，∴△ADE≌△DCF（SAS）．∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90176。所以AE⊥DF；（3）成立．由（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF，延長FD交AE于點G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（4）由于點P在運動中保持∠APD=90176。DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因為∠CDF+∠ADF=90176?！唷螦BP=176。+∠PBR=90176。=176。﹣90176?！郈P=CE，∴∠CPE=∠CEP=176。與∠PEC＞90176。．若△PEC為等腰三角形，則EP=EC．∴∠EPC=∠ECP=45176。．∵∠PBC＜90176?！郆C=OB．∵BC=1，∴OB=，∴PF=．∴點PP在運動過程中，PF的長度不變，值為．（2）當(dāng)點E落在線段DC的延長線上時，符合要求的圖形如圖3所示．同理可得：PB=PE，PF=．（3）①若點E在線段DC上，如圖1．∵∠BPE=∠BCE=90176。﹣∠BPO=∠EPF．∵EF⊥PC即∠PFE=90176。．∵PE⊥PB即∠BPE=90176。∴∠BPG=90176。．∴PG=PH，∠GPH=∠PGB=∠PHE=90176?！唷螧AF=∠DAE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABF=∠ADE=90176。根據(jù)ASA判定△ABF≌△ADE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得AF=AE．【詳解】∵AF⊥AE，∴∠BAF+∠BAE=90176。.在Rt△BME中，∵∠MEB＝30176?！唷螹BE＋∠MEB＝90176。∴∠DCE＝∠DEC＝60176。.∵AB∥DE，∴∠ABE＋∠DEC＝180176。∠BAC＝∠BCA＝30176?！唷鰾ME是等腰直角三角形，∴BM=ME，BM⊥EM．故答案為BM=ME，BM⊥EM．(2)ME＝MB．證明如下：連接CM，如解圖所示．∵DC⊥AC，M是邊AD的中點，∴MC＝MA＝MD．∵BA＝BC，∴BM垂直平分AC．∵∠ABC＝120176?！唷螪CE=∠CDE=45176?！逜B∥DE，∴∠ABE+∠DEC=180176。BA=BC，∴∠MBE=∠ABC=45176。即可；（3）結(jié)論：EM=BM?tan．證明方法類似；【詳解】(1) 如圖1中，連接CM．∵∠ACD=90176。時，試探究線段MB與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； 拓展延伸(3)如圖3，當(dāng)∠ABC＝α?xí)r，請直接用含α的式子表示線段MB與ME之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)MB＝ME，MB⊥ME；(2)ME＝MB．證明見解析；(3)ME＝MB∴∠CDE=∠CEG，∴∠BCF=∠CEG，∴CF∥EG，∴四邊形CEGF平行四邊形，∴FG∥CE，F(xiàn)G=CE．12．問題情境在四邊形ABCD中，BA＝BC，DC⊥AC，過點D作DE∥AB交BC的延長線于點E，M是邊AD的中點，連接MB，ME. 特例探究(1)如圖1，當(dāng)∠ABC＝90176。．在△CBF與△DCE中，∵BF=CE，∠FBC=∠ECD，BC=DC，∴△CBF≌△DCE（SAS），∴∠BCF=∠CDE，CF=DE．∵EG=DE，∴CF=EG．∵DE⊥EG，∴∠DEC+∠CEG=90176。．∵∠GEH+∠HGE=90176。,∴∠3=∠4,易證△PEM≌△PQM, △PNQ≌△PNC,∴∠5=∠6, ∠7=∠8 ,EM=QM,NQ=NC,∴∠6+∠7=90176。（3）如圖，∵E、Q關(guān)于BP對稱，PN∥CD,∴∠1＝∠2，∠2+∠3＝∠BDC=45176?！螧PC,∴∠PEA=∠PAE,∴PC=PE。(∠BPC45176?！螪CP,∠DCP=∠BPC∠PDC=∠BPC45176。∠BPC,∵∠PAE=90176。+90176。（3）根據(jù)已經(jīng)條件證出△MNQ是直角三角形，計算直角邊乘積的一半可得其面積.【詳解】(1) 證明：∵點P在對角線BD上，∴△ADP≌△CDP,∴AP=CP, ∠DAP =∠DCP,∵PE⊥PC，∴∠EPC=∠EPB+∠BPC=90176。對角線平分對角的性質(zhì)，三角形外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，等角對等邊等性質(zhì)容易得證。．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)的綜合運用，有一定的綜合性，分類討論當(dāng)△AON是等腰三角形時，求α的度數(shù)是本題的難點．10．如圖1，在正方形ABCD中，AD=6，點P是對角線BD上任意一點，連接PA，PC過點P作PE⊥PC交直線AB于E．（1） 求證：PC=PE?；?35176?；?5176。=+90=176。=135176?！唳?90176。；Ⅱ、當(dāng)AN=ON時，∴∠NAO=∠AON=45176?！唳?∠ANO+90176?！唷螦NO=∠AON=176。=45176?！唳?90176。；Ⅱ、當(dāng)AN=ON時，∴∠NAO=∠AON=45176?！摺螦DO=45176。∴AG′⊥DE′；（3）①正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊AD相交于點N，如圖3，Ⅰ、當(dāng)AN=AO時，∵∠OAN=45176?！咚倪呅蜲EFG是正方形，∴OG′=OE′，∠E′OG′=90176。由四邊形OEFG是正方形，得到OG′=OE′，∠E′OG′=90176。176。176。），若△AON是等腰三角形，請直接寫出α的值．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）176?！唷鱌HF∽△PDE，∴，∴PE=2PF．【點睛】此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．9．如圖，點O是正方形ABCD兩條對角線的交點，分別延長CO到點G，OC到點E，使OG=2OD、OE=2OC，然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG．（1）如圖1，若正方形OEFG的對角線交點為M，求證：四邊形CDME是平行四邊形．（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，得到正方形OE′F′G′，如圖2，連接AG′，DE′，求證：AG′=DE′，AG′⊥DE′；（3）在（2）的條件下，正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊相交于點N，如圖3，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0176?！螪PE+∠HPE=90176?！郞F==2，∴EF=；（2）證明：如圖2，過點P作HP⊥BD交AB于點H，則△HPB為等腰直角三角形，∠HPD=90176。15176?！鰽OF≌△DOE，∴∠AOF=15176?！唷螦OF+∠AOE=90176?！唷螦OE+∠DOE=90176。時，求線段EF的長；（2）如圖2，若Rt△PFE的頂點P在線段OB上移動（不與點O、B重合），當(dāng)BD=3BP時，證明：PE=2PF．【答案】（1）①證明見解析，②；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）①根據(jù)正方形