【正文】 ∴無論k取何值，的值都等于同一個常數(shù)1。聯(lián)立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1+x2=4k，x1?x2=﹣4，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1?x2=16k2+8，x12?x22=16。（3）①k=0時，直線y=kx與x軸重合，點A、B在x軸上，∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴?！郃M=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1。（2）證明：設(shè)點A的坐標(biāo)為（m，m2﹣1），則?！驹斀狻拷猓海?）∵拋物線y=ax2+c（a≠0）經(jīng)過C（2，0），D（0，﹣1），∴，解得。（2）根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點A的坐標(biāo)，然后求出AO、AM的長，即可得證?！摺螩QO＋∠OCQ＝90176。當(dāng)∠PBE＝∠OCD時，則△PBE∽△OCD，∴，即BP?OD＝CO?PE，∴2（10﹣t）＝4（t2＋t），解得t＝3或t＝10（不合題意，舍去），∴當(dāng)t＝3時，∠PBE＝∠OCD； 當(dāng)∠PBE＝∠CDO時，則△PBE∽△ODC，∴，即BP?OC＝DO?PE，∴4（10﹣t）＝2（t2＋t），解得t＝12或t＝10（均不合題意，舍去）綜上所述∴當(dāng)t＝3時，∠PBE＝∠OCD；（3）當(dāng)四邊形PMQN為正方形時，則∠PMC＝∠PNB＝∠CQB＝90176。DP=DC=t，∴P（2+t，﹣t），把P（2+t，﹣t）代入y=﹣x2+2x+得﹣（2+t）2+2（2+t）+=﹣t，整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，∴線段CD的長為2；（3）P點坐標(biāo)為（4，），D點坐標(biāo)為（2，），∵拋物線平移，使其頂點C（2，）移到原點O的位置，∴拋物線向左平移2個單位，向下平移個單位，而P點（4，）向左平移2個單位，向下平移個單位得到點E，∴E點坐標(biāo)為（2，﹣2），設(shè)M（0，m），當(dāng)m＞0時，?（m++2）?2=8，解得m=，此時M點坐標(biāo)為（0，）；當(dāng)m＜0時，?（﹣m++2）?2=8，解得m=﹣，此時M點坐標(biāo)為（0，﹣）；綜上所述，M點的坐標(biāo)為（0，）或（0，﹣）．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及到待定系數(shù)法、拋物線上點的坐標(biāo)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、拋物線的平移等知識，綜合性較強，正確添加輔助線、運用數(shù)形結(jié)合思想熟練相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.12．如圖1，拋物線C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．已知點A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點O為坐標(biāo)原點，OC=3OA，拋物線C1的頂點為G．（1）求出拋物線C1的解析式，并寫出點G的坐標(biāo)；（2）如圖2，將拋物線C1向下平移k（k＞0）個單位，得到拋物線C2，設(shè)C2與x軸的交點為A′、B′，頂點為G′，當(dāng)△A′B′G′是等邊三角形時，求k的值：（3）在（2）的條件下，如圖3，設(shè)點M為x軸正半軸上一動點，過點M作x軸的垂線分別交拋物線CC2于P、Q兩點，試探究在直線y=﹣1上是否存在點N，使得以P、Q、N為頂點的三角形與△AOQ全等，若存在，直接寫出點M，N的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3，點G的坐標(biāo)為（1，4）；（2）k=1；（3）M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】（1）由點A的坐標(biāo)及OC=3OA得點C坐標(biāo)，將A、C坐標(biāo)代入解析式求解可得；（2）設(shè)拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x軸于點D，設(shè)BD′=m，由等邊三角形性質(zhì)知點B′的坐標(biāo)為（m+1，0），點G′的坐標(biāo)為（1，m），代入所設(shè)解析式求解可得；（3）設(shè)M（x，0），則P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根據(jù)PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均為鈍角知△AOQ≌△PQN，延長PQ交直線y=﹣1于點H，證△OQM≌△QNH，根據(jù)對應(yīng)邊相等建立關(guān)于x的方程，解之求得x的值從而進(jìn)一步求解即可．【詳解】（1）∵點A的坐標(biāo)為（﹣1，0），∴OA=1，∴OC=3OA，∴點C的坐標(biāo)為（0，3），將A、C坐標(biāo)代入y=ax2﹣2ax+c，得：，解得：，∴拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，所以點G的坐標(biāo)為（1，4）；（2）設(shè)拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，過點G′作G′D⊥x軸于點D，設(shè)BD′=m，∵△A′B′G′為等邊三角形，∴G′D=B′D=m，則點B′的坐標(biāo)為（m+1，0），點G′的坐標(biāo)為（1，m），將點B′、G′的坐標(biāo)代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：，解得：（舍），∴k=1；（3）設(shè)M（x，0），則P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），∴PQ=OA=1，∵∠AOQ、∠PQN均為鈍角，∴△AOQ≌△PQN，如圖2，延長PQ交直線y=﹣1于點H，則∠QHN=∠OMQ=90176。DP=DC=t，則P（2+t，﹣t），然后把P（2+t，﹣t）代入y=﹣x2+2x+得到關(guān)于t的方程，從而解方程可得到CD的長；（3）P點坐標(biāo)為（4，），D點坐標(biāo)為（2，），利用拋物線的平移規(guī)律確定E點坐標(biāo)為（2，﹣2），設(shè)M（0，m），當(dāng)m＞0時，利用梯形面積公式得到?（m++2）?2=8當(dāng)m＜0時，利用梯形面積公式得到?（﹣m++2）?2=8，然后分別解方程求出m即可得到對應(yīng)的M點坐標(biāo)．【詳解】（1）把A（﹣1，0）和點B（0，）代入y=﹣x2+bx+c得，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+；（2）∵y=﹣（x﹣2）2+，∴C（2，），拋物線的對稱軸為直線x=2，如圖，設(shè)CD=t，則D（2，﹣t），∵線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90176?！郌P⊥PE．（3）如圖所示，點E在點B的左側(cè)時，設(shè)E（a，0），則BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF為矩形，∴，∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．將點Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下圖所示：當(dāng)點E在點B的右側(cè)時，設(shè)E（a，0），則BE=a﹣6．∵CF=3BE=3a﹣18，∴OF=3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF為矩形，∴，∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．將點Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．綜上所述，點Q的坐標(biāo)為（﹣2，6）或（2，﹣6）．【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、中點坐標(biāo)公式，用含a的式子表示點Q的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖）．已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0）和點B（0，），頂點為C，點D在其對稱軸上且位于點C下方，將線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90176?！唷鱁CF為等腰直角三角形，作PH⊥y軸于H，PG∥y軸交BC于G，如圖2，△EPG、△PHF都為等腰直角三角形，PE=PG，PF=PH，設(shè)P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），則G（t，﹣t+3），∴PF=PH=t，PG=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t，∴PE=PG=﹣t2+t，∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣t2+3t+t=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，當(dāng)t=2時，PE+EF的最大值為4．點睛：本題考查了二次函數(shù)的綜合題．熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式．9．二次函數(shù)y=x22mx+3（m＞）的圖象與x軸交于點A（a，0）和點B（a+n，0）（n＞0且n為整數(shù)），與y軸交于C點．（1）若a=1，①求二次函數(shù)關(guān)系式；②求△ABC的面積；（2）求證：a=m；（3）線段AB（包括A、B）上有且只有三個點的橫坐標(biāo)是整數(shù)，求a的值．【答案】（1）y=x24x+3；3；（2）證明見解析；（3）a=1或a=?．【解析】試題分析：（1）①首先根據(jù)a=1求得A的坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)的解析式，求得m的值即可確定二次函數(shù)的解析式；②根據(jù)解析式確定拋物線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，從而確定三角形的面積； （2）將原二次函數(shù)配方后即可確定其對稱軸為x=m，然后根據(jù)A、B兩點關(guān)于x=m對稱得到a+nm=ma，從而確定a、m、n之間