【正文】 ．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒1個單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作PQ⊥AB．交折線ACCB于點(diǎn)Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t（秒），正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S（平方單位）．（1）直接寫出正方形PQMN的邊PQ的長（用含t的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時，求t的值．（3）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．（4）如圖②，點(diǎn)P運(yùn)動的同時，點(diǎn)H從點(diǎn)B出發(fā)，沿BAB的方向做一次往返運(yùn)動，在BA上的速度為每秒2個單位長度，在AB上的速度為每秒4個單位長度，當(dāng)點(diǎn)H停止運(yùn)動時，點(diǎn)P也隨之停止，連結(jié)MH．設(shè)MH將正方形PQMN分成的兩部分圖形面積分別為SS2（平方單位）（0＜S1＜S2），直接寫出當(dāng)S2≥3S1時t的取值范圍．【答案】(1) PQ=7t．(2) t=．(3) 當(dāng)0＜t≤時，S=．當(dāng)＜t≤4，．當(dāng)4＜t＜7時，．（4）或或．【解析】試題分析：（1）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上時，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上時．（2）根據(jù)AP+PN+NB=AB，列出關(guān)于t的方程即可解答；（3）當(dāng)0＜t≤時，當(dāng)＜t≤4，當(dāng)4＜t＜7時；（4）或或．試題解析：（1）當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上時，PQ=tanAAP=t．當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上時，PQ=7t．（2）當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時，如圖③，由題意得：t+t+t=7，解得：t=．∴當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時，求t的值為．（3）當(dāng)0＜t≤時，如圖④，S=．當(dāng)＜t≤4，如圖⑤，．當(dāng)4＜t＜7時，如圖⑥，．（4）或或．．考點(diǎn)：四邊形綜合題.。．∴AE⊥DF；（4）如圖：由于點(diǎn)P在運(yùn)動中保持∠APD=90176。．∴AE⊥DF；（2）是；（3）成立．理由：由（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF延長FD交AE于點(diǎn)G，則∠CDF+∠ADG=90176。．在△ADE和△DCF中，∴△ADE≌△DCF（SAS）．∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90176。所以AE⊥DF；（3）成立．由（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF，延長FD交AE于點(diǎn)G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（4）由于點(diǎn)P在運(yùn)動中保持∠APD=90176。DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因為∠CDF+∠ADF=90176。又∵∠BCG=90176?！唷螦BP=∠APB．∴AP=AB=1．∴AP的長為1．點(diǎn)睛：本題主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、四邊形的內(nèi)角和定理、三角形的內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)等知識，有一定的綜合性，而通過添加輔助線證明三角形全等是解決本題的關(guān)鍵．13．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊AB上一點(diǎn)，連結(jié)CE，過頂點(diǎn)C作CF⊥CE，交AD延長線于F．求證：BE=DF.【答案】證明見解析.【解析】分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，證出BC=CD，∠B=∠CDF，∠BCD=90176。+∠CER，∴∠PBR=∠CER=176。．∵∠PRC=90176。﹣176。．∴∠APB=180176。矛盾，∴當(dāng)點(diǎn)E在線段DC上時，△PEC不可能是等腰三角形．②若點(diǎn)E在線段DC的延長線上，如圖4．若△PEC是等腰三角形，∵∠PCE=135176?！唷螾EC=90176。∴∠PEC＞90176。∴∠PBC+∠PEC=180176。∴∠BOP=∠PFE．在△BOP和△PFE中， ∴△BOP≌△PFE（AAS），∴BO=PF．∵四邊形ABCD是正方形，∴OB=OC，∠BOC=90176?！唷螾BO=90176。﹣∠GPE=∠EPH．在△PGB和△PHE中，∴△PGB≌△PHE（ASA），∴PB=PE．②連接BD，如圖2．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BOP=90176。．∵PE⊥PB即∠BPE=90176。EH＝GF，∴△AHE≌△MFG．∴GM＝AE＝2．∴．（3）△GFC的面積不能等于2．說明一：∵若S△GFC＝2，則12－a＝2，∴a＝10．此時，在△BEF中，．在△AHE中，∴AH＞AD，即點(diǎn)H已經(jīng)不在邊AD上，故不可能有S△GFC＝2．說明二：△GFC的面積不能等于2．∵點(diǎn)H在AD上，∴菱形邊EH的最大值為，∴BF的最大值為．又∵函數(shù)S△GFC＝12－a的值隨著a的增大而減小，∴S△GFC的最小值為．又∵，∴△GFC的面積不能等于2．12．已知邊長為1的正方形ABCD中， P是對角線AC上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)A、C不重合），過點(diǎn)P作PE⊥PB ，PE交射線DC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AC，垂足為點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)E落在線段CD上時（如圖），①求證：PB=PE；②在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，PF的長度是否發(fā)生變化？若不變，試求出這個不變的值，若變化，試說明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)E落在線段DC的延長線上時，在備用圖上畫出符合要求的大致圖形，并判斷上述（1）中的結(jié)論是否仍然成立（只需寫出結(jié)論，不需要證明）；（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，△PEC能否為等腰三角形？如果能，試求出AP的長，如果不能，試說明理由．【答案】（1）①證明見解析；②點(diǎn)PP在運(yùn)動過程中，PF的長度不變，值為；（2）畫圖見解析，成立 ；（3）能，1.【解析】分析：（1）①過點(diǎn)P作PG⊥BC于G，過點(diǎn)P作PH⊥DC于H，如圖1．要證PB=PE，只需證到△PGB≌△PHE即可；②連接BD，如圖2．易證△BOP≌△PFE，則有BO=PF，只需求出BO的長即可．（2）根據(jù)條件即可畫出符合要求的圖形，同理可得（1）中的結(jié)論仍然成立．（3）可分點(diǎn)E在線段DC上和點(diǎn)E在線段DC的延長線上兩種情況討論，通過計算就可求出符合要求的AP的長．詳解：（1）①證明：過點(diǎn)P作PG⊥BC于G，過點(diǎn)P作PH⊥DC于H，如圖1．∵四邊形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45176。∴∠AHE＝∠BEF．又∵∠A＝∠B＝90176。EH＝EF，∴∠AEH＋∠BEF＝90176?！唷螧AC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC即∠BAM=∠CAN，∵，∴，∴△ABM～△ACN∴，∴=cos45176。﹣∠AMN），∵∠ABC=∠AMN，∴∠BAC=∠