【正文】 ∴∠ECB=∠PEG，∵PE=EC，∠EGP=∠CBE=90176?！郉F=∴a＞點睛：本題是四邊形的綜合題目，考查了折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，難度較大．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，OA=4，OC=2，點D、E、F、G分別為邊OA、AB、BC、CO的中點，連結(jié)DE、EF、FG、GD．（1）若點C在y軸的正半軸上，當(dāng)點B的坐標(biāo)為（2，4）時，判斷四邊形DEFG的形狀，并說明理由.（2）若點C在第二象限運(yùn)動，且四邊形DEFG為菱形時，求點四邊形OABC對角線OB長度的取值范圍.（3）若在點C的運(yùn)動過程中，四邊形DEFG始終為正方形，當(dāng)點C從X軸負(fù)半軸經(jīng)過Y軸正半軸，運(yùn)動至X軸正半軸時，直接寫出點B的運(yùn)動路徑長.【答案】（1）正方形（2）（3）2π【解析】分析:（1）連接OB，AC，說明OB⊥AC，OB=AC，可得四邊形DEFG是正方形.（2）由四邊形DEFG是菱形，可得OB=AC，當(dāng)點C在y軸上時，AC=，當(dāng)點C在x軸上時，AC=6, 故可得結(jié)論；（3）根據(jù)題意計算弧長即可.詳解：（1）正方形，如圖1，證明連接OB，AC，說明OB⊥AC，OB=AC，可得四邊形DEFG是正方形.（2）如圖2，由四邊形DEFG是菱形，可得OB=AC，當(dāng)點C在y軸上時，AC=，當(dāng)點C在x軸上時，AC=6, ∴ ；（3）2π.如圖3，當(dāng)四邊形DEFG是正方形時，OB⊥AC，且OB=AC，構(gòu)造△OBE≌△ACO，可得B點在以E（0，4）為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動.所以當(dāng)C點從x軸負(fù)半軸到正半軸運(yùn)動時，B點的運(yùn)動路徑為2 .圖1 圖2 圖3點睛：本題主要考查了正方形的判定，.15．正方形ABCD的邊長為1，對角線AC與BD相交于點O，點E是AB邊上的一個動點（點E不與點A、B重合），CE與BD相交于點F，設(shè)線段BE的長度為x．（1）如圖1，當(dāng)AD=2OF時，求出x的值；（2）如圖2，把線段CE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90176。=，∴a=，∴0＜b≤=；②如圖當(dāng)DF與DC重合時，DF=DE=6，∴a=sin60176?！唷螻QJ=30176。∴∠HIM=∠JIN=15176?！摺鱉NJ是等邊三角形∴MI=NI在Rt△MHI和Rt△JNI中 ∴Rt△MHI≌Rt△JNI（HL）∴HI=IJ②在線段IJ上取點Q，使IQ=NQ∵Rt△IHM≌Rt△IJN，∴∠HIM=∠JIN，∵∠HIJ=90176。繼而可得∠NQJ=30176。2=BF2+D39。F=2﹣，∴Rt△BD39?！逜B=2=AD39?！唷螧AD39。于F，旋轉(zhuǎn)可得，∠DAD39。E2+BE2=（）2+（2+）2=16+8②以點A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD順時針旋轉(zhuǎn)60176。E中，BD39。E=AD39?！逜B=2=AD39?！唷螮AD39。E⊥AB，交BA的延長線于E，由旋轉(zhuǎn)可得，∠DAD39。如圖所示：過D39?！唷螦MF=∠MAN=∠ANF=90176。②以點A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD順時針旋轉(zhuǎn)60176。平方的值．【答案】（1）AC垂直平分BD；（2）四邊形FMAN是矩形，理由見解析；（3）16+8或16﹣8【解析】【分析】（1）依據(jù)點A在線段BD的垂直平分線上，點C在線段BD的垂直平分線上，即可得出AC垂直平分BD；（2）根據(jù)Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，可得AF=CF=BF，再根據(jù)等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，即可得到AD=DB，AE=CE，進(jìn)而得出∠AMF=∠MAN=∠ANF=90176。D39。得到正方形AB39?！郈Q=A′C=1，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2A′DCQ=221=2；即△ABC的面積是2或2．考點：四邊形綜合題．10．點P是矩形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點（點P不與點A，C重合），分別過點A，C向直線BP作垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)，點O為AC的中點．（1）如圖1，當(dāng)點P與點O重合時，請你判斷OE與OF的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)點P運(yùn)動到如圖2所示位置時，請你在圖2中補(bǔ)全圖形并通過證明判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立；（3）若點P在射線OA上運(yùn)動，恰好使得∠OEF＝30176?！郆M=AB=2=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90176。AB=4，點D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，請直接寫出△ABC的面積．【答案】（1）見解析；（2）12；探究：2或2．【解析】試題分析：（1）利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊形ABFE是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得OE=OB，即可證得△AOE和△AOB是友好三角形；（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中點，則可以求得△ABE、△ABF的面積，根據(jù)S四邊形CDOF=S矩形ABCD2S△ABF即可求解．探究：畫出符合條件的兩種情況：①求出四邊形A′DCB是平行四邊形，求出BC和A′D推出∠ACB=90176?！唷螲PF=∠DPE，又∵∠BHP=∠EDP=45176?！郒P=BP，∵BD=3BP，∴PD=2BP，∴PD=2HP，又∵∠HPF+∠HPE=90176。=30176?！唷螰OG=45176?！唷螪OE=∠AOF，在△AOF和△DOE中，∴△AOF≌△DOE，∴AF=DE；②解：過點O作OG⊥AB于G，∵正方形的邊長為2，∴OG=BC=，∵∠DOE=15176?！摺螮PF=90176?！螦OD=90176。點E、F分別在邊AD、AB上．（1）如圖1，若點P與點O重合：①求證：AF=DE；②若正方形的邊長為2，當(dāng)∠DOE=15176。故答案為21．（2）【畫一畫】如圖所示： 【算一算】如3所示：∵AG=，AD=9，∴GD=9，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BC=AD=9，∴∠DGF=∠BFG，由翻折不變性可知，∠BFG=∠DFG，∴∠DFG=∠DGF，∴DF=DG=， ∵CD=AB=4，∠C=90176。在△ABE和△AFH中，∴△ABE≌△AFH（ASA），∴BE＝FH，∵BM＝BE+EM，F(xiàn)G＝FH+HG，∴EM＝HG，∵EC＝EM+CM，CM＝CG＝CF，∴EC＝HG+FC．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．7．（1）如圖1，將矩形折疊，使落在對角線上，折痕為，點落在點處，若，則的度數(shù)為______.（2）小明手中有一張矩形紙片，