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正文內(nèi)容

20xx-20xx哈爾濱備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)二次函數(shù)專(zhuān)項(xiàng)易錯(cuò)題(參考版)

2025-03-30 22:24本頁(yè)面
  

【正文】 =∠POA,在Rt△QMC和Rt△POA中,∵CQ=PA,QM=OP,∴Rt△QMC≌Rt△POA(HL),∴MC=OA=1,∴OM=2,∵點(diǎn)A和點(diǎn)C是拋物線上的對(duì)稱點(diǎn),∴AM=MC=1,∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣2,),設(shè)以Q為頂點(diǎn),與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為C的“恒定”拋物線的解析式為,把點(diǎn)A(﹣1,0)代入得:a=,∴拋物線的解析式為:,即;②如圖2所示:頂點(diǎn)Q在y軸上,此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合,∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(1,0),∵CQ∥PA,∴∠OQC=∠OPA,在△OQC和△OPA中,∵∠OQC=∠OPA,∠COQ=∠AOP,CQ=PA,∴△OQC≌△OPA(AAS),∴OQ=OP=,∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(0,),設(shè)以Q為頂點(diǎn),與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為C的“恒定”拋物線的解析式為,把點(diǎn)C(1,0)代入得:a=,∴拋物線的解析式為:;綜上所述:存在以Q為頂點(diǎn),與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為C的“恒定”拋物線,使得以PA,CQ為邊的四邊形是平行四邊形,拋物線的解析式為:,或.考點(diǎn):1.二次函數(shù)綜合題;2.壓軸題;3.新定義;4.存在型;5.分類(lèi)討論.15.如圖,直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn),拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=c分別交y軸的正半軸于點(diǎn)C和第一象限的點(diǎn)P,連接PB,得△PCB≌△BOA(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).若拋物線與x軸正半軸交點(diǎn)為點(diǎn)F,設(shè)M是點(diǎn)C,F(xiàn)間拋物線上的一點(diǎn)(包括端點(diǎn)),其橫坐標(biāo)為m.(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)和拋物線的解析式;(2)當(dāng)m為何值時(shí),△MAB面積S取得最小值和最大值?請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)求滿足∠MPO=∠POA的點(diǎn)M的坐標(biāo).【答案】(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4),拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4;(2)當(dāng)m=0時(shí),S取最小值,最小值為;當(dāng)m=3時(shí),S取最大值,最大值為5.(3)滿足∠MPO=∠POA的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,4)或(,).【解析】【分析】(1)代入y=c可求出點(diǎn)C、P的坐標(biāo),利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值,進(jìn)而可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)及拋物線的解析式;(2)利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)F的坐標(biāo),過(guò)點(diǎn)M作ME∥y軸,交直線AB于點(diǎn)E,由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)可得出點(diǎn)M、E的坐標(biāo),進(jìn)而可得出ME的長(zhǎng)度,再利用三角形的面積公式可找出S=﹣(m﹣3)2+5,由m的取值范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值及最小值;(3)分兩種情況考慮:①當(dāng)點(diǎn)M在線段OP上方時(shí),由CP∥x軸利用平行線的性質(zhì)可得出:當(dāng)點(diǎn)C、M重合時(shí),∠MPO=∠POA,由此可找出點(diǎn)M的坐標(biāo);②當(dāng)點(diǎn)M在線段OP下方時(shí),在x正半軸取點(diǎn)D,連接DP,使得DO=DP,此時(shí)∠DPO=∠POA,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(n,0),則DO=n,DP=,由DO=DP可求出n的值,進(jìn)而可得出點(diǎn)D的坐標(biāo),由點(diǎn)P、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線PD的解析式,再聯(lián)立直線PD及拋物線的解析式成方程組,通過(guò)解方程組求出點(diǎn)M的坐標(biāo).綜上此題得解.【詳解】(1)當(dāng)y=c時(shí),有c=﹣x2+bx+c,解得:x1=0,x2=b,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,c),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(b,c),∵直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,3),∴OB=3,OA=1,BC=c﹣3,CP=b,∵△PCB≌△BOA,∴BC=OA,CP=OB,∴b=3,c=4,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4),拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4;(2)當(dāng)y=0時(shí),有﹣x2+3x+4=0,解得:x1=﹣1,x2=4,∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,0),過(guò)點(diǎn)M作ME∥y軸,交直線AB于點(diǎn)E,如圖1所示,∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m(0≤m≤4),∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,﹣m2+3m+4),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,﹣3m+3),∴ME=﹣m2+3m+4﹣(﹣3m+3)=﹣m2+6m+1,∴S=OA?ME=﹣m2+3m+=﹣(m﹣3)2+5,∵﹣<0,0≤m≤4,∴當(dāng)m=0時(shí),S取最小值,最小值為;當(dāng)m=3時(shí),S取最大值,最大值為5;(3)①當(dāng)點(diǎn)M在線段OP上方時(shí),∵CP∥x軸,∴當(dāng)點(diǎn)C、M重合時(shí),∠MPO=∠POA,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,4);②當(dāng)點(diǎn)M在線段OP下方時(shí),在x正半軸取點(diǎn)D,連接DP,使得DO=DP,此時(shí)∠DPO=∠POA,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(n,0),則DO=n,DP=,∴n2=(n﹣3)2+16,解得:n=,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,0),設(shè)直線PD的解析式為y=kx+a(k≠0),將P(3,4)、D(,0)代入y=kx+a,解得:,∴直線PD的解析式為y=﹣x+,聯(lián)立直線PD及拋物線的解析式成方程組,得:,解得:,.∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,).綜上所述:滿足∠MPO=∠POA的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,4)或(,).【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次(二次)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、全等三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積以及等腰三角形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是:(1)利用全等三角形的性質(zhì)求出b、c的值;(2)利用三角形的面積公式找出S=﹣(m﹣3)2+5;(3)分點(diǎn)M在線段OP上方和點(diǎn)M在線段OP下方兩種情況求出點(diǎn)M的坐標(biāo).?!嘀本€l是線段BD的垂直平分線.∴點(diǎn)D關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是點(diǎn)B.∴點(diǎn)M就是直線DE與拋物線的交點(diǎn).設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n,∵D(,﹣4),E(,0),∴,解得.∴直線DE的解析式為.聯(lián)立,解得,.∴符合條件的點(diǎn)M有兩個(gè),是(,﹣4)或(,).14.拋物線,若a,b,c滿足b=a+c,則稱拋物線為“恒定”拋物線.(1)求證:“恒定”拋物線必過(guò)x軸上的一個(gè)定點(diǎn)A;(2)已知“恒定”拋物線的頂點(diǎn)為P,與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為B,是否存在以Q為頂點(diǎn),與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為C的“恒定”拋物線,使得以PA,CQ為邊的四邊形是平行四邊形?若存在,求出拋物線解析式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)試題解析;(2),或.【解析】試題分析:(1)由“恒定”拋物線的定義,即可得出拋物線恒過(guò)定點(diǎn)(﹣1,0);(2)求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和B的坐標(biāo),由題意得出PA∥CQ,PA=CQ;存在兩種情況:①作QM⊥AC于M,則QM=OP=,證明Rt△QMC≌Rt△POA,MC=OA=1,得出點(diǎn)Q的坐標(biāo),設(shè)拋物線的解析式為,把點(diǎn)A坐標(biāo)代入求出a的值即可;②頂點(diǎn)Q在y軸上,此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合;證明△OQC≌△OPA,得出OQ=OP=,得出點(diǎn)Q坐標(biāo),設(shè)拋物線的解析式為,把點(diǎn)C坐標(biāo)代入求出a的值即可.試題解析:(1)由“恒定”拋物線,得:b=a+c,即a﹣b+c=0,∵拋物線,當(dāng)x=﹣1時(shí),y=0,∴“恒定”拋物線必過(guò)x軸上的一個(gè)定點(diǎn)A(﹣1,0);(2)存在;理由如下:∵“恒定”拋物線,當(dāng)y=0時(shí),解得:x=177
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