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20xx-20xx哈爾濱備戰(zhàn)中考數(shù)學復習二次函數(shù)專項易錯題(參考版)

2025-03-30 22:24本頁面
  

【正文】 =∠POA,在Rt△QMC和Rt△POA中,∵CQ=PA,QM=OP,∴Rt△QMC≌Rt△POA(HL),∴MC=OA=1,∴OM=2,∵點A和點C是拋物線上的對稱點,∴AM=MC=1,∴點Q的坐標為(﹣2,),設以Q為頂點,與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線的解析式為,把點A(﹣1,0)代入得:a=,∴拋物線的解析式為:,即;②如圖2所示:頂點Q在y軸上,此時點C與點B重合,∴點C坐標為(1,0),∵CQ∥PA,∴∠OQC=∠OPA,在△OQC和△OPA中,∵∠OQC=∠OPA,∠COQ=∠AOP,CQ=PA,∴△OQC≌△OPA(AAS),∴OQ=OP=,∴點Q坐標為(0,),設以Q為頂點,與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線的解析式為,把點C(1,0)代入得:a=,∴拋物線的解析式為:;綜上所述:存在以Q為頂點,與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線,使得以PA,CQ為邊的四邊形是平行四邊形,拋物線的解析式為:,或.考點:1.二次函數(shù)綜合題;2.壓軸題;3.新定義;4.存在型;5.分類討論.15.如圖,直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A,B兩點,拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=c分別交y軸的正半軸于點C和第一象限的點P,連接PB,得△PCB≌△BOA(O為坐標原點).若拋物線與x軸正半軸交點為點F,設M是點C,F(xiàn)間拋物線上的一點(包括端點),其橫坐標為m.(1)直接寫出點P的坐標和拋物線的解析式;(2)當m為何值時,△MAB面積S取得最小值和最大值?請說明理由;(3)求滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標.【答案】(1)點P的坐標為(3,4),拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4;(2)當m=0時,S取最小值,最小值為;當m=3時,S取最大值,最大值為5.(3)滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標為(0,4)或(,).【解析】【分析】(1)代入y=c可求出點C、P的坐標,利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A、B的坐標,再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值,進而可得出點P的坐標及拋物線的解析式;(2)利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出點F的坐標,過點M作ME∥y軸,交直線AB于點E,由點M的橫坐標可得出點M、E的坐標,進而可得出ME的長度,再利用三角形的面積公式可找出S=﹣(m﹣3)2+5,由m的取值范圍結合二次函數(shù)的性質即可求出S的最大值及最小值;(3)分兩種情況考慮:①當點M在線段OP上方時,由CP∥x軸利用平行線的性質可得出:當點C、M重合時,∠MPO=∠POA,由此可找出點M的坐標;②當點M在線段OP下方時,在x正半軸取點D,連接DP,使得DO=DP,此時∠DPO=∠POA,設點D的坐標為(n,0),則DO=n,DP=,由DO=DP可求出n的值,進而可得出點D的坐標,由點P、D的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線PD的解析式,再聯(lián)立直線PD及拋物線的解析式成方程組,通過解方程組求出點M的坐標.綜上此題得解.【詳解】(1)當y=c時,有c=﹣x2+bx+c,解得:x1=0,x2=b,∴點C的坐標為(0,c),點P的坐標為(b,c),∵直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點,∴點A的坐標為(1,0),點B的坐標為(0,3),∴OB=3,OA=1,BC=c﹣3,CP=b,∵△PCB≌△BOA,∴BC=OA,CP=OB,∴b=3,c=4,∴點P的坐標為(3,4),拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4;(2)當y=0時,有﹣x2+3x+4=0,解得:x1=﹣1,x2=4,∴點F的坐標為(4,0),過點M作ME∥y軸,交直線AB于點E,如圖1所示,∵點M的橫坐標為m(0≤m≤4),∴點M的坐標為(m,﹣m2+3m+4),點E的坐標為(m,﹣3m+3),∴ME=﹣m2+3m+4﹣(﹣3m+3)=﹣m2+6m+1,∴S=OA?ME=﹣m2+3m+=﹣(m﹣3)2+5,∵﹣<0,0≤m≤4,∴當m=0時,S取最小值,最小值為;當m=3時,S取最大值,最大值為5;(3)①當點M在線段OP上方時,∵CP∥x軸,∴當點C、M重合時,∠MPO=∠POA,∴點M的坐標為(0,4);②當點M在線段OP下方時,在x正半軸取點D,連接DP,使得DO=DP,此時∠DPO=∠POA,設點D的坐標為(n,0),則DO=n,DP=,∴n2=(n﹣3)2+16,解得:n=,∴點D的坐標為(,0),設直線PD的解析式為y=kx+a(k≠0),將P(3,4)、D(,0)代入y=kx+a,解得:,∴直線PD的解析式為y=﹣x+,聯(lián)立直線PD及拋物線的解析式成方程組,得:,解得:,.∴點M的坐標為(,).綜上所述:滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標為(0,4)或(,).【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次(二次)函數(shù)圖象上點的坐標特征、全等三角形的性質、二次函數(shù)的性質、三角形的面積以及等腰三角形的性質,解題的關鍵是:(1)利用全等三角形的性質求出b、c的值;(2)利用三角形的面積公式找出S=﹣(m﹣3)2+5;(3)分點M在線段OP上方和點M在線段OP下方兩種情況求出點M的坐標.?!嘀本€l是線段BD的垂直平分線.∴點D關于直線l的對稱點就是點B.∴點M就是直線DE與拋物線的交點.設直線DE的解析式為y=mx+n,∵D(,﹣4),E(,0),∴,解得.∴直線DE的解析式為.聯(lián)立,解得,.∴符合條件的點M有兩個,是(,﹣4)或(,).14.拋物線,若a,b,c滿足b=a+c,則稱拋物線為“恒定”拋物線.(1)求證:“恒定”拋物線必過x軸上的一個定點A;(2)已知“恒定”拋物線的頂點為P,與x軸另一個交點為B,是否存在以Q為頂點,與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線,使得以PA,CQ為邊的四邊形是平行四邊形?若存在,求出拋物線解析式;若不存在,請說明理由.【答案】(1)證明見試題解析;(2),或.【解析】試題分析:(1)由“恒定”拋物線的定義,即可得出拋物線恒過定點(﹣1,0);(2)求出拋物線的頂點坐標和B的坐標,由題意得出PA∥CQ,PA=CQ;存在兩種情況:①作QM⊥AC于M,則QM=OP=,證明Rt△QMC≌Rt△POA,MC=OA=1,得出點Q的坐標,設拋物線的解析式為,把點A坐標代入求出a的值即可;②頂點Q在y軸上,此時點C與點B重合;證明△OQC≌△OPA,得出OQ=OP=,得出點Q坐標,設拋物線的解析式為,把點C坐標代入求出a的值即可.試題解析:(1)由“恒定”拋物線,得:b=a+c,即a﹣b+c=0,∵拋物線,當x=﹣1時,y=0,∴“恒定”拋物線必過x軸上的一個定點A(﹣1,0);(2)存在;理由如下:∵“恒定”拋物線,當y=0時,解得:x=177
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