【正文】 在二維空間中，點與線通過 Radon 變換相聯(lián)系，而適用于點狀特征的 Wavelet 變換與適用于直線狀特征的 Ridgelet 變換也可以通過 Radon 變換相關聯(lián)起來， Ridgelet其實是等價于在 Radon 變換的切片上應用的小波變換。采用的是近鄰域插值方法 [21]，該方法是被公認的最簡單的插值方法，但是它卻達到了出奇好的效果；當然也可采用其他的插值方法，例如：雙線性插值、三角函數(shù)插值等本論文中，采用這種近鄰域插值方法。以 ( , )f kl 得中心為原點，把矩陣陣列變換到徑向陣列，共 9 個方向角度，每個角度對應一個徑向數(shù)組，每個徑向數(shù)組 包含 p 個點，, 2 ,3 ,q p p p? ，這里取 q 為 p 的整數(shù)倍數(shù)為了計算的精確性： 3. 在每個極坐標方 向 (徑向 )作 一維快速傅立葉逆變換，得到圖像的 Radon 變換。在每個徑線方向都有 N 個節(jié)點值后，再對這 N 個節(jié)點列作一維逆 FFT，從而得到對應于圖像域的 22NN? 個點列。 脊波變換的實現(xiàn) 脊波變換的本質(zhì)是首先對二維圖像進行 Radon 變換 [20]，將圖像中不同方向線的奇異性映射為點的奇異性：然后再在 Radon 變換域內(nèi)進行一維小波變換，來刻畫點的奇異性。 由上面式以及 Radon 變換可知，利用 FFT 算法、 Radon 變換算法以及小波變換算法就 可以實現(xiàn) Ridgelet 變換算法。因此小波變換可以刻畫 點 (零維 )的奇異性，但是無法刻畫圖像中線、 面 (一維或更高維 )的奇 異性，這一性質(zhì)直接影響小波變換在表示圖像邊緣等幾何機構(gòu)方面的有效性。 20 定義 4：設 22( ) ( )f x L R? ，稱變換 2 ,( , ) ( ) ( ) df a bRW a b x f x x?? ? () 為 ()fx在 2R 上的連續(xù) Wavelet 變換。上圖顯示了一個 Ridgelet 函數(shù)。 Ridgelet 的前身 Wavelet 由于同時具有時、頻局域性 ，適于表示瞬變信號，和傅立葉分析相比前進了一大步，因而在信號處理中得到了廣泛的應用。它可以將被逼近信號在不同尺度上分解達到良好的逼近效果，滿足圖像在不同方向和不同頻率域上的圖像去噪。雙正交小波變換與正交小波變換相比，小波形狀能有更寬的選擇范圍，因而給設計帶來更大的靈活性。同時，也采用兩個尺度函數(shù) ??和 ，二者相互對偶且正交，一個用來分解，另一個用來重構(gòu)。而圖像的邊緣是圖像的一個重要特征。 在子帶濾波器中，若分解和重構(gòu)濾波器使用相同的 FIR 濾波器，那么對稱和精確重構(gòu)是不可能同時滿足的 (Harr 小波除外 )Daubechies 也證明，如果 ,??是一個多尺度分析的 尺度函數(shù)和正交小波函數(shù)， ,??是實的和緊支的，且 ? 有一個對稱或反對稱軸，則 ? 一定是一個 Harr 小波。二維圖像的這種行、列可分離性簡化了圖像的小波分解。下圖為二維圖像的多分辨率小波分解示意圖 (以 2 層分解為例 )。因以上的三個正交基中都至少包含一個帶通的()x? 或 ()y? ，所以他們都是帶能的。 上式說明了二維尺度函數(shù)的可分離性。 2. 由于在每個分解層數(shù)據(jù)量都減少，不可能逐層跟蹤圖像中重要的特征，所以按單個像素進行分析是不可能的。 圖 Mallat 算法重構(gòu)示意圖 它也是針對 Mallat 算法存在的一定的缺陷被提出的。， 。該式表明，分量 djDf可以有分量 djAf通過沖激響應為 2 ( )gn 的濾波器濾波后在抽樣而得到的。 13 Mallat 算法 設有多分辨率分 析 ? ?,jV j Z?，尺度函數(shù) ? ?, jk??為jV的正交基礎， ? 為正交小波。 二進小波不同于連續(xù)小波的離散形式，它只是對尺度參數(shù)進行了離散化，而對時間域上的平移參量保持連續(xù)變化，因此二進小波不破壞信號在時間域上的平移不變量，這也正是它同正交小波基相比所具有的獨特優(yōu)點。 二進小波對信號的分析具有變焦距的作用。 對于任意的函數(shù) ??ft ELZ(R)的連續(xù)小波變換 (Continuous Wavcaet Transform)為： 12,( , ) , ( ) ( ) ( ) df a b R tbW a b f t a f t ta??? ??? ? () 其逆變換為： 211( ) ( , ) ( ) d dfRR tbf t W a b a bC a a? ?? ?? ?? () 12 離散小波變換 在實際運用時，需將連續(xù)小波變換離散化處理一是信號 (時間序列 )本身是離散情況，如 ? ?( ) 1, 2 , ,f k t k N?? ，則式 ()的離散形式為： 121( , ) ( ) ( )Nkk t bW f a b a t f k t a? ????? ? ?? ()另一種情況是將尺度參數(shù) a 和平移參數(shù) b 離散化，即取 0 0 0,mma a b nb a?? ，其中001,a b R??，則 ??ft的離散小波變換為： 20 0 0( , ) ( ) ( ) dm mW f m n a f t a t n b t? ??? ?????? ()當 002, 1ab??時，上式變?yōu)槎M小波變換： ( , ) 2 ( ) ( 2 ) dmmW f m n f t t n t? ????????? () 二進小波變換 為了使 小波變換具有可變換的時間和頻率分辨率，適應待分析信號的非平穩(wěn)性，我們很自然地需要改變 a 和 b 的大小，以使小波變換具有 “ 變焦距 ” 的功能。 小波變換是一種信號的時間 尺度 (時間 頻率 )分析方法，它具有多分辨率分析(Multiresolution Analysis)[12]的特點，而且時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變但形狀可改變，時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法。至此，小波分析又重新引起數(shù)學家和工程人員的高度重視。同時， Grpscmann 和 在諧波分析領域獨立地研究了這一方法 ，并將它成功地應用在地震信號分析中。并用軟件編程具體實現(xiàn)了對噪聲圖像的處理。因為 SSNF 是一個迭代方法，迭代的終止規(guī)則是看剩余系數(shù)的能量是否接近于噪聲能量，所以噪聲方差的估計在 這一方法中顯得非常重要。 Demoment 指出， POCS 法可以用來解決函數(shù)空間的凸集的逆問題，而 Prakash和 Moulin 以帶噪信號硬閾值收縮信號為迭代起點，并利用 POCS 法來求解由信號的兩個小波變換所規(guī)定凸集的交集，最后完成去噪。由于最后的空間能更好地體現(xiàn)原信號的特點，所以投影法也能夠有效地區(qū)分噪聲和信號。比例收縮法的特點在于它具有對于信號的某一局部的適應能力。軟閾值函數(shù)是一個連續(xù)函數(shù)，它能較好地克服硬閾值去噪帶來的 “ 人為 ” 噪聲。閾值收縮函數(shù)總體上可以分為 兩 種：一種為硬閾值函數(shù)；二為軟閾值函數(shù) 。與全局閾值不同，局部閾值主要是通過考查在某一點或某一局部的特點，在根據(jù)靈活的判定原則來判定系數(shù)是噪聲還是信號，以實現(xiàn)去噪和保留信號之間的平衡，而且這些判定原則有時并不一定是從系數(shù)的絕對值來考慮的，而是從別的方面。但是由于實際求取時，這是不可能的，所以人們通過對這一準則的估計信號，求出使估計最小的閾值，并以此為理想閾值的估計。 (3)最小最大化閾值。 它僅從圖像的噪聲特征來考慮，而沒有考慮圖像本身的特征。目前，有很多確定小波收縮 閾值 和收縮 函數(shù) 的方法，具體如下： 1. 收縮閾值的選取 當前使用的閾 值總體來說可以分為全局閾值和局部自適應閾值兩類。這就是說，在小波系數(shù)中，低頻分量中含有大量的信息，應該給予保留；同時在高頻分量中，一些絕對值大的小波系數(shù)并不是噪聲，而是邊緣信息，也應 保留?？偟膩碚f，小波去噪方法大體上可以分為：小波收縮法、投影法、相關法三類 [9]。對此，人們提出了具有尺度適應性的閾值選取法，用來解決正態(tài)分布有色噪聲的小波去噪問題，而另外一些學者則研究了在比白噪聲更重要的噪聲情況下的小波去噪問題，并給出了顯式的閾值公式。以上小波收縮算法的一個嚴重的缺陷是：在去噪之前必須知道噪聲的大小 ? (方差 )?，F(xiàn)在小波分析已經(jīng)滲透到自然科學、應用科學 、社會科學等領域。對應的圖像的去噪處理方法基本上可分為空間域法和變換域法兩大類。 第五章是根據(jù)二進小波變換冗 余性的 特點，在傳統(tǒng)去噪算法基礎上進行了改進，得到一種基于 脊波變換的圖像去噪算法，二者通過仿真實驗結(jié)果的比較，證實了該算法的優(yōu)越性。著重闡述了二進小波變換的原理和快速算法?；诖耍疚膰@著脊波變換的 實現(xiàn)和脊波域中的圖像去噪進行了初步研究。它應用現(xiàn)代調(diào)和分析的概念和方法，并使用在小波分析理論中發(fā)展的技術，可用來處理神經(jīng)網(wǎng)絡的構(gòu)造問題。 關于 Emmanuel J Candes 的脊波 [5]。 1999 年， Emmanuel J Candes 又提出了單尺度脊波變換和 Curvelet 變換，它們都是由脊波變換發(fā)展而來，分別利用了函數(shù)局部化和頻帶剖分的思想，將脊波理論發(fā)展到了一個更高的階段，這兩種變換都能 “ 近似最優(yōu) ” 的表示直線和曲線奇異。脊波理論便是其中最有代表性、影響最深遠的一種 理論。 對于含 “ 點奇異 ” 的一維信號，小波能達到 “ 最優(yōu) ” 的非線性逼近階。它已經(jīng)和將要被廣泛應用于信號處理、圖象處理、量子場論、地震勘探、話音識別與合成、音樂、雷達、 CT 成像、彩色復印、流體湍流、天體識別、機器視覺、機械故障診斷以 及數(shù)字電視等科技領域。作為一種新的時頻分析工具的小 波分析 [3]，目前已成為國際上極為活躍的研究領域。將圖像從空間轉(zhuǎn)換到變換域的變換方法很多。多幅圖像平均法是利用對同一景物的多幅圖像取平均來消除噪聲的。 圖像空間域去噪方法很多。 一般圖像處理中常見的噪聲有： 1. 加性噪聲 加性噪聲和圖像信號強度是不相關的，如圖像在傳輸過程中引進的 “ 信道噪聲 ” 、電視攝像機掃描圖像的噪聲的。不 同的圖像噪聲，人的感覺程度是不同的，這就是所謂的人的噪聲視覺特性課題 [1]。因為這些數(shù)值特征都可以從某些方面反映出噪聲的特征。 噪聲對人的影響噪聲可以理解為 “ 妨礙人們感覺器官對所接收的信源信息理解的因素 ” 。最后，將脊波變換的思想應用于圖像融合，采用區(qū)域方差的融合規(guī)則，得到了一種基于有限脊波變換的圖像融合算法。 本文以脊波變換為研究對象，論述了脊波變換在圖像處理中的應用。分別論述了小波變換和脊波變換基本理 論，基于脊波變換的圖像去噪以及圖像融合。實驗結(jié)果表明，基于脊波變換的圖像去噪和融合方法具有比小波變換更好的效果。 對灰度圖像 ? ?,f xy 來說 ， 可看做是二維亮度分布，則噪聲可看做是對亮度的干擾，用 n（ x， y）來表示。 目前大多數(shù)數(shù)字 圖像系統(tǒng)中，輸入光圖像都是采用先凍結(jié)再掃描方式將多維圖像變成一維 電信號，在對其進行處理、存儲、傳輸?shù)燃庸ぷ儞Q，最后往往還要再組成多維圖像信號。這方面雖早已進行研究，但終因人的視覺系統(tǒng)本身未搞清楚而未獲得解決。這類帶有噪聲的圖像可看成為理想無嗓聲圖像 f 與嗓聲 n 之和，即 g f n?? () 2. 乘性嗓聲 乘性嗓聲和圖像信號是相關的，往往隨圖像信號的變化而變化，如 掃描圖像中的嗓聲、電視掃描光柵、膠片顆粒造成等，這類噪聲和圖像的關系是 g f fn?? () 3. 量化嗓聲 量化嗓聲是數(shù)字圖像的主要噪聲源，其大小顯示出數(shù)字圖像和原始圖像的差異 ，減少這種嗓聲的最好辦法就是采用按灰度級概率密度函數(shù) [2]選擇 最優(yōu) 化措施。鄰域平均法是一種局部空間域處理的算法。中值濾波是一種空間域非線性濾波方法，由于它在實際運算過程中并不需要圖像的統(tǒng)計特性，所以比較方便。如傅立葉變換、小波變換以及在本論文第四章將介紹到的 Ridgelet 變換。從純粹數(shù)學的角度看，小波分析是調(diào)和分析這一數(shù)學領域半個世紀以來工作的結(jié)晶；從應用科學和技術科學的角度來看，小波分析又是計算機應用，信號處理，圖形分析，非線性科學和工程技術近此年來在方法上的重大突破。隨著小波應用的廣度和深度的進一步拓展，某些方面 已取得了傳統(tǒng)方法無法達到的效果。而在處理二維或者更高維含 “ 線奇異 ” 的信號時，雖然由一維小波張成的高維小波基在逼近性能上要優(yōu)于三角基，卻也不能達到理想的最優(yōu)逼近階。 1998 年 Emmanuel J Candes[4]在其博士論文給出了脊波變換的基本理論，該理論巧妙地將二維函數(shù)中的 “ 直線奇異 ” 轉(zhuǎn)化為 “ 點奇異 ” ，再用小波進行處理，能獲得對含 “ 直線奇異 ” 的二維或高維函數(shù)最優(yōu)的非線性逼近階。到了 2021 年，侯