新人教a版高中數(shù)學(xué)選修4-5數(shù)學(xué)歸納法證明不等式-wenkub.com
2024-11-15 22:43 本頁(yè)面
【正文】 (2)an+1an. 思路分析 :用數(shù)學(xué)歸納法證明從 “n=k到 n=k+1”時(shí)，關(guān)鍵是 “一湊假設(shè)，二湊結(jié)論 ”. 證明 :很明顯 ,n=1時(shí)， a1p成立 . 假設(shè) n=k時(shí)， akp成立， 則當(dāng) n=k+1時(shí)，由 |f(p)f(ak)||pak|及 f(p)=p, 可得 |pf(ak)||pak|, 又 akp, 故 |pf(ak)|pak? akppf(ak)pak???? ? ?? )2(,)( )1(,2)(kkkk aaf pafa 注意到已知條件 f(ak)+ak=2ak+1, 將其變形為 f(ak)=2ak+1ak, 代入 ① 式得 ak+1p。 整合提升 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 典例精講 數(shù)學(xué)歸納法是專門證明與自然數(shù)集有關(guān)的命題的一種方法 .它可用來證明與自然數(shù)有關(guān)的代數(shù)恒等式、三角恒等式、不等式、整除性問題及幾何問題 .在高考中，用數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列、函數(shù)有關(guān)的不等式是熱點(diǎn)問題，特別是數(shù)列中的歸納 —猜想 —證明是對(duì)觀察、分析、歸納、論證能力有一定要求的，這也是它成為高考熱點(diǎn)的主要原因 . 【例 1】設(shè) n∈ N*且 n≥2，求證 :1+ nn ???? 13121 ?恒成立 . 證明 : ① n=2時(shí)，左邊 =1+ 222? =右邊，原不等式成立
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