線性規(guī)劃的圖解法與單純形解法-wenkub.com
2024-08-08 17:27 本頁面
【正文】 68 復(fù)習(xí)舉例 考慮如下的線性規(guī)劃問題： 12121212m i n1240 , 0z x xxxxxxx???? ? ???? ? ?????? 試問：當(dāng)?在什么范圍內(nèi)取值時，分別有下面的結(jié)論成立？ （ 1 ） 該問題具有無窮多最優(yōu)解； （ 2 ） 該問題是無界的； （ 3 ） 以T(2 , 3 )為唯一最優(yōu)解。 如：勃蘭特法； 字典序法； 攝動法。無可行解的判斷： (1)當(dāng)用大 M單純形法計算得到最優(yōu)解并且存在 人工變量 i0時 ， 則表明原線性規(guī)劃無可行解 。 第一階段最后一張最優(yōu)表說明找到了原問題的一組基可行解 ， 將它作為初始基可行解 ，求原問題的最優(yōu)解 ， 即第二階段問題為 )5310,511,53,0(?X1 2 31 2 41 4 51 3 4m a x 3 26 1 35 5 53 3 315 5 52 2 115 5 50 , 1 , 2 , , 5jZ x x xx x xx x xx x xxj? ? ??? ? ? ????? ? ????? ? ? ???????60 56?5335233119325?Cj 3 2 1 0 0 b CB XB x1 x2 x3 x4 x5 2 0 － 1 x2 x5 x3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 λj 5↑ 0 0 0 0 2 3 － 1 x2 x1 x3 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 2 13 λj 0 0 0 － 5 Cj 3 2 － 1 0 0 b CB XB x1 x2 x3 x4 x5 2 0 － 1 x2 x5 x3 － 6/5 [3/5] － 2/5 1 0 0 0 0 1 － 1/5 3/5 － 2/5 0 1 0 3/5 31/5 → 11/5 λj 5 ↑ 0 0 0 0 2 3 － 1 x2 x1 x3 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 2 5/3 2/3 13 31/3 19/3 λj 0 0 0 － 5 － 25/3 用單純形法計算得到下表 最優(yōu)解 X＝（ 31/3， 13， 19/3， 0， 0)T；最優(yōu)值 Z＝ 152/3 61 【 例 】 用兩階段法求解例 【 】 的線性規(guī)劃。 我們可以構(gòu)造如下輔助問題 m in w = xn +1+ … + xn + m+0 x1+ … +0 xn a11 x1+ a12 x2+ … + a1 nxn+ xn +1 = b1 a21 x1+ a22 x2+ … + a2 nxn + xn +2= b2 … … am 1 x1+ am 2 x2+ … + amnxn+ xn + m = bm x1, x2, … , xn , xn +1, … , xn+ m≥ 0 ?????????55 線性規(guī)劃求解的兩階段法 然后用單純形法求解所構(gòu)造的新模型，若得到 w=0，這時，若基變量中不含人工變量，則說明原問題存在基可行解，可進(jìn)行第二步計算； 否則，原問題無可行解，應(yīng)停止計算。 Cj 5 － 8 0 0 M b CB XB x1 x2 x3 x4 x5 0 M x3 x5 [3] 1 1 － 2 1 0 0 － 1 0 1 6→ 4 λj 5－ M↑ － 8+2M 0 M 0 5 M x1 x5 1 0 1/3 － 7/3 1/3 － 1/3 0 － 1 0 1 2 2 λj 0 － 29/3+7/3M － 5/3+1/3M M 0 表中 λj≥0， j=1， 2， … ， 5， 從而得到最優(yōu)解 X=（ 2， 0， 0， 0，2） ， Z=10+2M。 ?由于人工變量對目標(biāo)函數(shù)有很大的負(fù)影響，單純形法的尋優(yōu)機(jī)制會自動將人工變量趕到基外，從而找到原問題的一個可行基。 由于單位陣可以作為基陣，因此，可選加入的人工變量為基變量。 （ 4 ） 根據(jù) ?規(guī)則，求出：? ?11111( ) ( )m in 0( ) ( )ilkiilB b B bBPB P B Pkk??????????? ? ??????? 它對應(yīng)的基變量lX 為換出變量，于是可給出一組新的基變量以及新的基矩陣1B 。 j1?? （ 5 ） 當(dāng) B 為最優(yōu)基時，在上表中應(yīng)有 ?????????0011BCABCCBBN 因 X B的檢驗(yàn)數(shù)可寫作01 ?? ? BBCC BB 所以 有 ?????????0011BCABCCBB BC B 1?稱為單純形乘子，若令BC BY 1?? ，則有0, ?? YCYA成立。 無界解的判斷 : 某個 λk0且 aik≤０（ i=1， 2,…,m ）則線性規(guī)劃具有無界解 35 單純形法計算的矩陣描述 對標(biāo)準(zhǔn)形式的線性規(guī)劃問題 m a x0z C XAX bX????=≥ 假定存在基 B ，基變量為BX，非基變量為NX，則有 111111()()BNB B N N B N N NB N B NX B b B N Xz C X C X C B b B N X C XC B b C C B N X????????? ? ? ? ?? ? ? 36 單純形法計算的矩陣描述 與前面檢驗(yàn)數(shù)計算公式對照，可得非基變量檢驗(yàn)數(shù)計算公式 1N N BC C B N???? 另外，基變（向）量 XB的檢驗(yàn)數(shù)可寫作 1 0B B BC C B B??? ? ? 所以可得標(biāo)準(zhǔn)形式的線性規(guī)劃模型檢驗(yàn)數(shù)計算的一般計算公式 1BC C B A???? 37 單純形法計算的矩陣描述 再考慮下列線性規(guī)劃問題 m a x0z C XAX bX????≤≥ 上式加上松弛變量后為 m a x 00 , 0SSSz C X XA X I X bXX???????≥ ≥ 38 單純形法計算的矩陣描述 ? ?m a x z | 0SXCX??? ???? ? ??????????????0,|XXbXXIASS 式中，X S
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