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線性規(guī)劃的圖解法與單純形解法(完整版)

2024-09-03 17:27上一頁面

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【正文】 點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)線; Step4 確定目標(biāo)函數(shù)值的增大方向 (目標(biāo)函數(shù)線法線方向 ) Step5 目標(biāo)函數(shù)線沿著增大方向平行移動(dòng),與可行域相交且有最大目標(biāo)函數(shù)值的頂點(diǎn),即為線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解 。 13 【 例 】 用單純形法求下列線性規(guī)劃的最優(yōu)解 ????????????0,30340243max21212121xxxxxxxxZ14 【 解 】 化為標(biāo)準(zhǔn)型 , 加入松馳變量 x x4則標(biāo)準(zhǔn)型為 系數(shù)矩陣 A及可行基 B1 r(B1)=2, B1是一個(gè)初始基 ,x x4為基變量 , x x2為非基變量 , 令 x1=0、 x2=0由約束方程知 x3=x4=30得到初始基本可行解 X(1)=(0,0,40,30)T ??????????????0,30340243m a x432142132121xxxxxxxxxxxxZ???????10310112A???????10011B15 以上得到的一組基可行解是不是最優(yōu)解,可以從目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)看出。 ③計(jì)算各非基變量 xj的檢驗(yàn)數(shù) ?j,若所有 ?j≤0,則問題已得到最優(yōu)解, ④在大于 0的檢驗(yàn)數(shù)中,若某個(gè) ?k所對應(yīng)的系數(shù)列向量 Pk≤0,則此問 ⑤根據(jù) max{?j| ?j> 0}=?k原則,確定 xk為換入變量 (進(jìn)基變量 ),再按 ?規(guī)則計(jì)算: ?=min{bi/aik| aik> 0}=bl/ aik 確定 xl為換出變量。 29 【 例 】 求解線性規(guī)劃 21 42m a x xxZ ?????????????????0,21024221212121xxxxxxxx【 解 】 :化為標(biāo)準(zhǔn)型后用單純形法計(jì)算如下表所示 30 XB x1 x2 x3 x4 x5 b θ (1) x3 x4 x5 - 1 1 1 [2] 2 - 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4→ 10 2 2 5 — λj 2 4↑ 0 0 0 (2) x2 x4 x5 - 1/2 [2] 1/2 1 0 0 1/2 - 1 1/2 0 1 0 0 0 1 2 6→ 4 — 3 8 λj 4↑ 0 - 2 0 0 (3) x2 x1 x5 0 1 0 1 0 0 1/4 - 1/2 [3/4] 1/4 1/2 - 1/4 0 0 1 7/2 3 5/2→ 14 — 10/3 λj 0 0 0↑ - 2 0 (4) x2 x1 x3 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1/3 1/3 - 1/3 - 1/3 2/3 4/3 8/3 14/3 10/3 λj 0 0 0 - 2 0 31 表 (3)中 λj全部非正 ,則最優(yōu)解為 : 20,)25,0,0,27,3()1( ?? ZX T 表 (3)表明 ,非基變量 x3的檢驗(yàn)數(shù) λ3=0, x3若增加 ,目標(biāo)函數(shù)值不變 , 即當(dāng) x3進(jìn)基時(shí) Z仍 等于 20。 39 單純形法計(jì)算的矩陣描述 非基變量 基變量 BX NX SX X S0 B N I b zc jj ? C B C N 0 當(dāng)?shù)舾刹胶?,基變量為X B 時(shí),該步的單純形中由X B 系數(shù)組成的矩陣為 I ,這時(shí)對應(yīng)X S 的系數(shù)矩陣在新表中應(yīng)為B 1? 。 ( 5 ) 計(jì)算新的基矩陣的逆矩陣11?B ,求出bB 11? ,重復(fù)( 2 )至( 5 )。 ?這種方法我們通常稱其為大 M法。 第二階段 ,單純形法求解原問題 第一階段計(jì)算得到的最終單純形表中除去人工變量,將目標(biāo)函數(shù)行的系數(shù),換成原問題的目標(biāo)函數(shù)后,作為第二階段計(jì)算的初始表,繼續(xù)求解。 (2) 當(dāng)?shù)谝浑A段的最優(yōu)值 w≠0時(shí) , 則原問題無可行解 。 。 ?為防止出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象,先后有人提出了一些方法。 ???????????????????????012210243423m ax321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxZ、57 【 解 】 標(biāo)準(zhǔn)型為 ????????????????????????5,2,1,012210243423m ax32153214321321?jxxxxxxxxxxxxxxxZj在第一 、 三約束方程中加入人工變量 x x7后 , 第一階段問題為 ?????????????????????????7,2,1,0122102434m i n732153216432176?jxxxxxxxxxxxxxxxxwj用單純形法求解,得到第一階段問題的計(jì)算表如下: 58 Cj 0 0 0 0 0 1 1 b CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 1 0 1 x6 x5 x7 - 4 1 2 3 - 1 - 2 1 2 [1] - 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 4 10 1→ λj 2 - 1 - 2↑ 1 0 0 0 1 0 0 x6 x5 x3 - 6 - 3 2 [5] 3 - 2 0 0 1 - 1 0 0 0 1 0 1 0 0 3→ 8 1 λj 6 - 5↑ 0 1 0 0 0 0 0 x2 x5 x3 - 6/5 3/5 - 2/5 1 0 0 0 0 1 - 1/5 3/5 - 2/5 0 1 0 3/5 31/5 11/5 λj 0 0 0 0 0 59 最優(yōu)解為 最優(yōu)值 w=0。 ???????????????????????????7,2,1,012210243423m ax732153216432176321?jxxxxxxxxxxxxxxMxMxxxxZj-49 Cj 3 2 - 1 0 0 - M - M b CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 - M 0 - M x6 x5 x7 - 4 1 2 3 - 1 - 2 1 2 [1] - 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 4 10 1→ λj 32M 2+M 1+2M↑ - M 0 0 0 - M 0 - 1 x6 x5 x3 - 6 - 3 2 [5] 3 - 2 0 0 1 - 1 0 0 0 1 0 1 0 0 3→ 8 1 λj 56M 5M↑ 0 - M 0 0 2 0 - 1 x2 x5 x3 - 6/5 [3/5] - 2/5 1 0 0 0 0 1 - 1/5 3/5 - 2/5 0 1 0 3/5 31/5→ 11/5 λj 5↑ 0 0 0 0 2 3 - 1 x2 x1 x3 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 2 5/3 2/3 13 31/3 19/3 λj 0 0 0 - 5 25/3 50 ( 1) 初始表中的檢驗(yàn)數(shù)有兩種算法 , 第一種算法是利用第一 、 三約束將 x x7的表達(dá)式代入目標(biāo)涵數(shù)消去 x6和 x7, 得
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