【正文】 n + x n + 1 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n + x n + 2 = b 2 … … a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n + x n + m = b m x 1 , x 2 , … , x n , x n + 1 … , x n + m ≥ 0 45 ?為了使加入人工變量后線性規(guī)劃問題的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值不受影響，我們賦予人工變量一個(gè)很大的負(fù)價(jià)值系數(shù) M (M為任意大的正數(shù) )。 ?由于人工變量對目標(biāo)函數(shù)有很大的負(fù)影響，單純形法的尋優(yōu)機(jī)制會(huì)自動(dòng)將人工變量趕到基外，從而找到原問題的一個(gè)可行基。 ?這種方法我們通常稱其為大 M法。 線性規(guī)劃求解的大 M法 46 線性規(guī)劃求解的大 M法 max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n M ( x n + 1 + … + x n + m ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n + x n + 1 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n + x n + 2 = b 2 … … a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n + x n + m = b m x 1 , x 2 , … , x n , x n + 1 … , x n + m ≥ 0 47 【 例 】 用大 M法解 下列線性規(guī)劃 ???????????????????????012210243423m ax321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxZ、線性規(guī)劃求解的大 M法舉例 48 【 解 】 首先將數(shù)學(xué)模型化為標(biāo)準(zhǔn)形式 ????????????????????????5,2,1,012210243423m ax32153214321321?jxxxxxxxxxxxxxxxZj式中 x4， x5為松弛變量 ， x5可作為一個(gè)基變量 ， 第一 、 三約束中分別加入人工變量 x x7， 目標(biāo)函數(shù)中加入 ―M x6―M x7一項(xiàng) ， 得到人工變量單純形法數(shù)學(xué)模型 用前面介紹的單純形法求解，見下表。 ???????????????????????????7,2,1,012210243423m ax732153216432176321?jxxxxxxxxxxxxxxMxMxxxxZj－49 Cj 3 2 － 1 0 0 － M － M b CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 － M 0 － M x6 x5 x7 － 4 1 2 3 － 1 － 2 1 2 [1] － 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 4 10 1→ λj 32M 2+M 1+2M↑ － M 0 0 0 － M 0 － 1 x6 x5 x3 － 6 － 3 2 [5] 3 － 2 0 0 1 － 1 0 0 0 1 0 1 0 0 3→ 8 1 λj 56M 5M↑ 0 － M 0 0 2 0 － 1 x2 x5 x3 － 6/5 [3/5] － 2/5 1 0 0 0 0 1 － 1/5 3/5 － 2/5 0 1 0 3/5 31/5→ 11/5 λj 5↑ 0 0 0 0 2 3 － 1 x2 x1 x3 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 2 5/3 2/3 13 31/3 19/3 λj 0 0 0 － 5 25/3 50 （ 1） 初始表中的檢驗(yàn)數(shù)有兩種算法 ， 第一種算法是利用第一 、 三約束將 x x7的表達(dá)式代入目標(biāo)涵數(shù)消去 x6和 x7， 得到用非基變量表達(dá)的目標(biāo)函數(shù) ， 其系數(shù)就是檢驗(yàn)數(shù)；第二種算法是利用公式計(jì)算 ， 如 （ 2） M是一個(gè)很大的抽象的數(shù) ， 不需要給出具體的數(shù)值 ，可以理解為它能大于給定的任何一個(gè)確定數(shù)值； ? ? MMM 232)(10)4()(31 ?????????????最優(yōu)解 X＝（ 31/3， 13， 19/3， 0， 0)T；最優(yōu)值 Z＝ 152/3 注意： 51 【 例 】 求解線性規(guī)劃 ????????????0,426385m i n21212121xxxxxxxxZ52 【 解 】 加入松馳變量 x x4化為標(biāo)準(zhǔn)型 ???????????????4,2,1,0426385m i n42132121?jxxxxxxxxxZj在第二個(gè)方程中加入人工變量 x5，目標(biāo)函數(shù)中加上 M x5一項(xiàng)，得到 ?????????????????5,2,1,0426385m i n5421321521?jxxxxxxxxMxxxZj53 用單純形法計(jì)算如下表所示。 Cj 5 － 8 0 0 M b CB XB x1 x2 x3 x4 x5 0 M x3 x5 [3] 1 1 － 2 1 0 0 － 1 0 1 6→ 4 λj 5－ M↑ － 8+2M 0 M 0 5 M x1 x5 1 0 1/3 － 7/3 1/3 － 1/3 0 － 1 0 1 2 2 λj 0 － 29/3+7/3M － 5/3+1/3M M 0 表中 λj≥0， j=1， 2， … ， 5， 從而得到最優(yōu)解 X=（ 2， 0， 0， 0，2） ， Z=10+2M。 但最優(yōu)解中含有人工變量 x5≠0說明這個(gè)解是偽最優(yōu)解 ， 是不可行的 ， 因此原問題無可行解 。 54 線性規(guī)劃求解的兩階段法 兩階段法的基本思路是： 第一階段 ，首先不考慮原問題是否存在基可行解 ， 先求解一個(gè)目標(biāo)函數(shù)中只包含人工變量的線性規(guī)劃問題，即令目標(biāo)函數(shù)中其他變量的系數(shù)取零，人工變量的系數(shù)取某個(gè)正的常數(shù) ( 一般取 1) ，在保持原問題約束條件不變的情況下求這個(gè)目標(biāo)函數(shù)極小化時(shí)的解。也就是，給原問題加入人工變量，構(gòu)造僅含人工變量的目標(biāo)函數(shù)，并要求最小化。 我們可以構(gòu)造如下輔助問題 m in w = xn +1+ … + xn + m+0 x1+ … +0 xn a11 x1+ a12 x2+ … + a1 nxn+ xn +1 = b1 a21 x1+ a22 x2+ … + a2 nxn + xn +2= b2 … … am 1 x1+ am 2 x2+ … + amnxn+ xn + m = bm x1, x2, … , xn , xn +1, … , xn+ m≥ 0 ?????????55 線性規(guī)劃求解的兩階段法 然后用單純形法求解所構(gòu)造的新模型，若得到 w=0，這時(shí)，若基變量中不含人工變量，則說明原問題存在基可行解，可進(jìn)行第二步計(jì)算； 否則，原問題無可行解，應(yīng)停止計(jì)算。 第二階段 ，單純形法求解原問題 第一階段計(jì)算得到的最終單純形表中除去人工變量，將目標(biāo)函數(shù)行的系數(shù)，換成原問題的目標(biāo)函數(shù)后，作為第二階段計(jì)算的初始表，繼續(xù)求解。 56 【 例 】 用兩階段單純形法求解例 【 】 的線性規(guī)劃 。 ???????????????????????012210243423m ax321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxZ、57 【 解 】 標(biāo)準(zhǔn)型為 ?????????????????????