第八章習(xí)題課-wenkub.com
2025-07-18 17:15 本頁面
【正文】 0是特征方程的單根時(shí)不是特征方程的根時(shí)????jjk歐拉方程 歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變量代換 可化為常系數(shù)微分方程 . xtex t ln?? 或)(1)1(11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn ?????? ??? ?的方程 (其中 nppp ?21 ,形如 叫 歐拉方程 . 為常數(shù) )， 二、典型例題 .)c o ss i n()s i nc o s( dyxyxxyyxdxxyyxyxy ???求通解例 1 解 原方程可化為 ),c oss ins inc os(xyxyxyxyxyxyxydxdy???,xyu ?令 ., uxuyuxy ????? 代入原方程得 ),c o ss in s inc o s( uuu uuuuuxu ?????,c o s2 c o ss in xdxduuu uuu ??分離變量 兩邊積分 ,lnln)c o sl n ( 2 Cxuu ?? ?,c os 2xCu ??,c o s 2xCxyxy ?? 所求通解為 .c os Cxyxy ?.32 343 yxyyx ???求通解例 2 解 原式可化為 ,32 342 yxyxy ???,32 23134xyxyy ??? ??即,31?? yz令 原式變?yōu)? ,323 2xzxz ????,3 2 2xzxz ????即對應(yīng)齊方通解為 ,32Cxz ?一階線性非齊方程 伯努利方程 ,)( 32xxCz ?設(shè) 代入非齊方程得 ,)( 232 xxxC ??? ,73)( 37CxxC ?????原方程的通解為 .73 323731xCxy ?????利用常數(shù)變易法 .032 4223 ??? dyyxydxyx求通解例 3 解 )2( 3yxyyP ?????? ,6 4yx??)3( 422yxyxxQ ?????? ,64yx?? )0( ?y,xQyP ?????? 方程為全微分方程 . (1) 利用原函數(shù)法求解 : ,2),( 3y xxuyxu ???則設(shè)原函數(shù)為),(),( 32yyxyxu ???? ,求導(dǎo)兩邊對 y),(331 42422 yyxyxyyu ? ???????? ,1)(2yy ???解得,1)( yy ??? ?故方程的通解為 .1 232Cyyx ??(2) 利用分項(xiàng)組合法求解 : 原方程重新組合為 ,0)1()( 32??? ydyxd即得,01)32( 2423 ??? dyydyyxdxyx故方程的通解為 .1 232Cyyx ??(3) 利用曲線積分求解 : ,32 422),()1,0( 3Cdyy xydxy xyx ?????,3121 4220 3Cdyy xydxx yx ??? ??即.1 13212 Cyxyxyy ????故方程的通解為 .1 232Cyyx ??.0)2()2( 2222 ?????? dyxyxdxyyx求通解例 4 解 ,22 ????? yyP? ,22 ???? xxQ,xQyP ????? 非全微分方程 . 利用積分因子法 : 原方程重新組合為 ),(2))(( 22 xdyy d xdydxyx ????222 yxx d yy d xdydx????,)(1)(22xyxyd??,ln11ln Cxyxyyx ??????故方程的通解為 .yx yxCe yx ????.212yyy ?????求通解例 5 解 .x方程不顯含, dydPPyPy ?????令 代入方程，得 ,212yPdydPP ??,1 12 yCP ??解得，,11 ???? yCP ,11 ??? yCdxdy即故方程的通解為 .12 211CxyCC ????.1)1()1(,2 ?????????? yyexeyyy xx求特解例 6 解 特征方程 ,0122 ??? rr特征根 ,121 ?? rr對應(yīng)的齊次方程的通解為 .)( 21 xexCCY ??設(shè)原方程的特解為 ,)(2
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