【正文】 接著提出了濾波反投影重建算法。 第五章 結(jié)論 37 第五章 結(jié)論 本文主要研究二維投影圖像重建的理論研究。 表 給出了以上各種重建的迭代次數(shù)、時(shí)間以及和自定義 Sheep— Logan頭模型之間的三個(gè)誤差測(cè)度 , fde 它們作為重建質(zhì)量好壞的三種評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，定義如下： ?? ???jjjjjXXXe 22)()( （ ） ???????jjjjjjXXXXd22)()( （ ） 22|||| bAXf ?? （ ） 其中 jX 表示標(biāo)準(zhǔn)原圖， jX? 表示重建圖像， ?X 表示標(biāo)準(zhǔn)原圖的均值。 表 各圖像進(jìn)行 SIRT迭代重建的條件 圖片名稱 圖片大小 迭代次數(shù) 旋轉(zhuǎn)角度 射線條數(shù) barb 128 20 1:2:180 175 mri 128 20 1:2:180 250 cameraman 128 20 1:1:180 250 cortex 128 50 1:1:180 250 通過(guò)上述重建的圖像效果和表 各圖像重建的條件一一對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)：其他條件相同時(shí)，旋轉(zhuǎn)的角度越多重建的圖像效果越好；同理射線條數(shù)越多，重建的圖像效果也越好。圖 和圖 是比較分析迭代次數(shù)對(duì)迭代重建效果的影響。 圖 ART 三種算法分別迭代 10次的重建效果 對(duì)于迭代法，迭代次數(shù)，掃描的角度和每個(gè)角度下射線的 條數(shù)都會(huì)影響圖像重建的效果。,...,2,1。 本論題模擬圖像重建時(shí)應(yīng)用的類似的方法有聯(lián)合代數(shù)重建法 SART（ Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique） ]20[ ]23][22][21[ 、平均分量法（ Component Averaging method） ]25[ 、 Cimmino 投影法（ Cimmino’s Projection method） ]26[ 、對(duì)角松弛征正交投影法（ Diagonally Relaxed Orthogonal Projections）]24[ 和經(jīng)典 Landweber 法（ The Classical Landweber method） ]29][28][27[ 。 聯(lián)立迭代重建法 SIRT 對(duì) 于 ()式方程組，還可以采用數(shù)值計(jì)算中的 Jacobi 迭代 ]19[ 法來(lái)求解，與ART 迭代法不同， Jacobi 迭代法采用的是并行迭代，即僅當(dāng)所有投影數(shù)據(jù)都計(jì)算完以后，才對(duì)圖像值進(jìn)行更新。松弛系數(shù)通常是一個(gè)關(guān)于迭代次數(shù) i 的一個(gè)函數(shù)，隨著 i 的增大而減小，且滿足 1?i? 。 它的實(shí)現(xiàn)公式為：.,...,2,1,|||| ,1221,1,0,mkkiiikiikixikkkxxmiaa xabxxxx??????????? ? （ ） 其中 為迭代次數(shù)k ，松弛參數(shù) k? =1， i 為射線總條數(shù)。本文用三種算法實(shí)現(xiàn)了 ART 迭代重建。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是更容易把與空間幾 何相關(guān)的、與測(cè)量值條件相關(guān)的各種校正因子包括進(jìn)去。由此可知，為了快速得到收第四章 迭代重建算法 25 斂解，有兩種途徑可以解決：⑴采用 GramSchmidt 過(guò)程超將平面正交化，如Ramakrishnan 等 ]11[ 提出了一種兩兩正交的方案；⑵仔細(xì)選擇投影超平面的順序，以增大兩次投影超平面間的夾角 ]12[ ]13[ 。在下一次迭代中， MX 作為初始解，再依次投影到 ()式中 表示的各個(gè)超平面上，獲得 MX2 ，如此重復(fù)。將這一初始點(diǎn)投影到式 ()中第一個(gè)等式所表示的超平面得到1X ，圖 所示為兩個(gè)變量的情況。若唯一解存在，迭代終究會(huì)收斂到那一點(diǎn)。因此，由 X 表示的一幅圖像可以看成是 N 維空間中的一個(gè)點(diǎn)。當(dāng)然，當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)混有噪聲或 NM? 時(shí)，即使 N 值很小，直接矩陣求逆也是不允許的，這種情況可能不得不使用最小二乘法來(lái)求解。如果 NM和 值很小的話，可以用傳統(tǒng)的矩陣?yán)碚摲椒▽?duì)式 ()進(jìn)行求逆。 如圖 所示，投影數(shù)據(jù)也采用單索引表示，設(shè) iy 是圖中由第 i 根射線測(cè)量的射線和。每一個(gè)小方格內(nèi)像素值 ),( yxf 是一常量，令 jx 表示第 j 個(gè)單元的常量值， N表示像素的總數(shù)。 迭代的主導(dǎo)思想是，假設(shè)斷層截面由一個(gè)未知的矩陣組成，然后由測(cè)量投影數(shù)據(jù)建立一組未知向量的代數(shù)方程式， 通過(guò)方程組求解未知圖像向量。但在迭代算法中，每個(gè)像素是個(gè)小面積。 扇束掃描自身的算法有兩種，區(qū)別在于抽樣的方式上，一種是等角抽樣，即射線是按等角分布的，將檢測(cè)器等角分布在以放射源為中心的圓弧或直線上；另一種是等間距抽樣，檢測(cè)器單元在直線上作等間距據(jù)分布。 CT 掃描方式有平行束和扇束掃描兩種掃描方式。采用不同的濾波器進(jìn)行濾波反投影重建的圖像與原始圖像相比 的視覺(jué)相似度及重建所用的時(shí)間如表 。如圖 。 反投影是濾波反投影算法的另一個(gè)核心，其實(shí)就是前面介紹的直接反投影算法，只不過(guò)是在反投影前將投影數(shù)據(jù)進(jìn)行了卷積濾波預(yù)處理。由此得到的重建算法有濾波（卷積）反投影法 (F（ C） BP)和 Radon 反變換重建法。 首先介紹平行束投影的反投影算法。 第三章 CT 圖像解析重建算法 17 平行投影重建算法 算法原理 傅里葉切片定理僅僅提供了一種斷層成像的簡(jiǎn)單概念模型，實(shí)際應(yīng)用中需要一種不同的算法。 上面的結(jié)果顯示：從取圖像 ),( yxf 分別在與 x 軸成 k??? ,..., 21 角度的直線上的一系列投影，并對(duì) 這些投影逐個(gè)進(jìn)行傅里葉變換，可以得到圖像 ),( yxf 的二維傅里葉變換 ),( vuF 在與 u 軸成 k??? ,..., 21 角的直線上的值。 即某圖像 ),( yxf 在視角 ? 時(shí)的平行投影的傅里葉變換給出了圖像二維傅里葉變換 ),( vuF 在與 u 軸夾角為 ? 的一個(gè)切片，此切片通過(guò)原點(diǎn)。 數(shù)學(xué)表達(dá)如下： 首先定義代表截面的函數(shù)的二維傅里葉變換： d x d yeyxfvuF vyuxj? ?????????? )(2),(),( ? （ ） 類似的定義某個(gè)角度 ? 下的一條投影 )(tP? 的傅里葉變換： 第三章 CT 圖像解析重建算法 15 dtetPS tj ???? ? 2)()( ?????? （ ） 舉個(gè)最簡(jiǎn)單的例子：沿著 ? =0 的直線方向，物體投影的傅里葉變換等于頻域里面 ? = 0 的情形 d x d yeyxfuF uxj? ????????? ?2),()0,( （ ） 因?yàn)橄辔灰蜃硬辉僖蕾囉?y ，在此可以將積分分成兩部分， dxedyyxfuF uxj? ????????? ?2]),([)0,( （ ） 從平行投影的定義看，可以將上式括號(hào)中的部分看成是沿著常 量 x 的積分 dyyxfxP ?????? ),()(0? （ ） 將其代入 ()得到 dxexPuF uxj??????? ?? 20 )()0,( （ ） 等式右邊表示的是投影 0??P 的一維傅里葉變換；因此可以得到垂直方向投影和投影函數(shù)的二維變換的關(guān)系式： )()0,( 0 uSuF ?? ? （ ） 這是傅里葉切片定理最簡(jiǎn)單的形式。 ??? ? deF ti)(21 ???? 稱為 )(?F 的 Fourier 逆變換，記為 )]([1 ?fF? 。 由上述可知， ),( yxf 關(guān)于某直線的 Radon 變換就是 ),( yxf 沿該直線上的一維投影。斷層掃描獲得的投影實(shí)際上可視為被測(cè)物體斷層內(nèi)部結(jié)構(gòu)和組成的不同方向上的線積分，所以 Radon 變換的正變換和逆變換正好對(duì)應(yīng)了 CT 技術(shù)的射線投影和圖像二維分布函數(shù)的重建過(guò)程。通常 正變換：圖像空間到其他空間 反變換：其他空間到圖像空間 Radon 變換 Radon 變換 1917 年由奧地利數(shù)學(xué)家 Radon 提出，是 CT 圖像重建思想的數(shù)學(xué)表達(dá)。增加濾波器的思路有兩種，如圖 所示。即使加上某種近似，這種濾波器也不容易實(shí)現(xiàn)。 圖 反投影重建的等效系統(tǒng) 設(shè) ),( yxu 為處于 0,0 ?? yx 處的一個(gè)點(diǎn)源，即二維斷面 ),( yx 上的一個(gè)沖擊函數(shù) ),( yx? ，這時(shí)的輸出 ),( yxf 就是系統(tǒng)的沖擊響應(yīng) ),( yxh 。 圖 斷層的像素和射線模型 第三章 CT 圖像解析重建算法 10 圖 反投影重建示例 如圖 所示，其中（ a）為原圖像像素，（ b）為反投影重建后圖像，（ c）為（ b）中像素值除以投影線數(shù)后得到的平均值。它把投影域中的數(shù)據(jù)沿著原來(lái)的投影路徑“涂抹”回去，但不改變數(shù)據(jù)的值 ]3[ 。這一章介紹現(xiàn)在 CT 最常用的圖像重建算法 —— 反投影解析法。 然而，一般二維斷層圖像至少應(yīng)劃分出 160 160 個(gè)像素，如要用方程組法重建這個(gè)斷層圖像，就要 25600 個(gè)獨(dú)立的方程聯(lián)立求解，這是一個(gè)相當(dāng)費(fèi)時(shí)的任務(wù)。把每個(gè)方塊的衰減系數(shù)值用灰度表示，就可以重建出以衰減系數(shù)為特征的斷層圖像。這樣，上式中，等號(hào)右邊可視為一個(gè)常數(shù)，等待求 解的是等式左邊的每一個(gè)方塊的衰減系數(shù)。 實(shí)際被投射的物體是非均勻的，如果在 X 射線束通過(guò) 的路徑 l 上，介質(zhì)是非均勻的，則可以將 X 射線穿過(guò)的介質(zhì)沿掃描路徑 l 人為劃分為大小相等的 n 個(gè)小方塊，每個(gè)小塊的厚度為 d ，塊內(nèi)視為均勻介質(zhì)。例如光電吸收過(guò)程和康普頓散射過(guò)程。取得這些不同投射位置的透射 強(qiáng)度后，就可以用這些數(shù)據(jù)，采用一定的算法重建出 X射線源環(huán)繞的斷層的圖像。探討了尚需進(jìn)一步解決的問(wèn)題及今后有待努力的方向。再如用成像法勘探地球資源時(shí)，用孔穴法采集的數(shù) 據(jù)，數(shù)量不足又不均勻等上述濾波反投影法無(wú)能為力，于是提出了圖像重建的迭代重建算法。 第四章迭代重建算法部分，上述解析算法是目前醫(yī)用 CT 中最常用的重建算法。所以這個(gè)方法在后來(lái)實(shí)際的圖像重建中已不再使用，從而引出了現(xiàn)在CT 圖像重建中常用的方法解析法。講述了 CT 重建的基本原理 第一章緒論部分，首先介紹了計(jì)算機(jī)斷層成像術(shù)（ CT）的發(fā)展歷史，及其醫(yī)學(xué)意義根據(jù)射線產(chǎn)生的物理方式對(duì) CT 具體的分類。 ⑵圖像重建，即利用各種反演算法從所測(cè)數(shù)據(jù)重建出物體內(nèi)部某種物理量的分布圖。成像技術(shù)廣義上講大致可分為三個(gè)部分：信息的收集、重建以及處理和傳遞。 通過(guò)發(fā)展硬件設(shè)備和改進(jìn)軟件算法，可以不斷降低噪聲和 提高圖像的清晰度。因此超聲成像主要用于人體中沒(méi)有硬組織（如骨骼）部分的檢測(cè)，特別是婦女乳房癌的檢測(cè)。所以檢測(cè)目標(biāo)的工作成了投影重建的問(wèn)題。如果此時(shí)將共振場(chǎng)信號(hào)除去，質(zhì)子吸收的能量釋放并被接收器檢測(cè)到。它的發(fā)明者斯坦福大學(xué)的 和哈佛大學(xué)的 為此獲得了 1952 年度的諾貝爾物理獎(jiǎng)。現(xiàn)在通常用的 ECT 主要有兩種：①正電子成像 PET（ Positron Emission Tomography）；②單光子成像 SPECT（ Single Positron Emission Computed Tomography）。接收器接收到的模擬信號(hào)經(jīng)模數(shù)轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)后，把代表著不同角度下的投影數(shù)據(jù)送給計(jì)算機(jī)，它再運(yùn)用復(fù)雜的數(shù)學(xué)方法重建出物體截面的 圖像 ]4[ 。 ⑴透射斷層成像 透射斷層成像（ Transmission Computed Tomography,TCT，簡(jiǎn)稱 CT）系統(tǒng)中，從發(fā)射源射出的 X 射線穿透物體到達(dá)接收器。所以， CT 圖像是重建圖像。 CT 成像技術(shù)的基本原理是根據(jù)人體中不同組織對(duì) X 射線的衰減作用不同，用 X線 束對(duì)人體某部一定厚度的層面進(jìn)行掃描，由探測(cè)器接收透過(guò)該層面的 X線，轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢?jiàn)光后，由光電轉(zhuǎn)換變?yōu)殡娦盘?hào)，再經(jīng)模擬 /數(shù)字轉(zhuǎn)換器 （ analog/digital converter） 轉(zhuǎn)為數(shù)字，輸入 計(jì)算機(jī) 處理。我國(guó)各大城市 醫(yī)院 所使用的CT 屬第三代 ]5[ 。這種檢查簡(jiǎn)便、安全、無(wú)痛苦、無(wú) 創(chuàng)傷 、無(wú)危險(xiǎn)，它促進(jìn)了 醫(yī)學(xué) 影像 診斷學(xué) 的發(fā)展 ， CT 的研制成功被譽(yù)為自 倫琴 發(fā)現(xiàn) X 射線以后，放射診斷學(xué)上最重要的成就。 關(guān) 鍵 字 ： 圖像重建算法；解析重建；迭代重建 Abstract III Based on Matlab realize the CT reconstruction algorithm simulation parative study Abstract Computed tomography (CT (Computerized Tomography)) technology is a rapid development in recent years, multidisciplinary advanced technology, in addition to medical applications, but also used in industrial nondestructive testing, radio astronomy, precision instruments and other important areas of the inver