隨機(jī)變量序列的幾種收斂性及其關(guān)系畢業(yè)論文-wenkub.com
2025-06-19 19:54 本頁面
【正文】 實(shí)變函數(shù)主要是在集合論與測度論的基礎(chǔ)上建立起了Lebesgue積分以及它的一些性質(zhì)，而Lebesgue積分的討論中，其中的許多概念也是借助于集合論和測度論中的概念來定義和研究的，比如概率論中事件間的關(guān)系及運(yùn)算與集合論中代數(shù)間的關(guān)系及運(yùn)算是相類似的，而且在許多情況下，用集合論的表達(dá)方式更簡練、更容易理解，不妨設(shè)為滿足某一性質(zhì)的全體所成的集合，若F為的一個代數(shù)，則稱為可測空間；若為F上的測度，則稱為測度空間；若為F上的測度，且，則稱為F上的概率測度，稱為概率測度空間；由此我們通過測度論知識就得到了概率測度空間，同時引出了概率公理化定義：概率是在代數(shù)F上的一個非負(fù)的、規(guī)范的、可列可加的集函數(shù)，其中為某一試驗(yàn)中可能的結(jié)果的全體,稱為樣本空間；F為隨機(jī)事件全體，稱為事件域（代數(shù)）；也就是說概率P是概率測度空間F上的一個測度集函數(shù)，同實(shí)變函數(shù)中的可測函數(shù)列收斂性一樣，在概率論中我們有必要研究隨機(jī)變量序列的收斂性，這對于概率論的學(xué)習(xí)是十分重要的.、依概率收斂、依分布收斂、r—階收斂的概念、性質(zhì)以及它們之間的關(guān)系.在概率論中，概率空間上的隨機(jī)變量就是樣本空間上關(guān)于F的可測函數(shù)，對于一般的可測函數(shù)的序列我們在數(shù)學(xué)分析和實(shí)變函數(shù)中已有認(rèn)識，其中“收斂性”理論是非常重要的，在概率論中也一樣重要，隨機(jī)變量序列有：幾乎處處收斂，依概率收斂，依分布收斂，r—：設(shè)和是給定概率空間上的隨機(jī)變量. 定義1 如果有 ， （）則稱隨機(jī)變量列幾乎處處收斂到，記作.注意：（）式中括號里的集是一事件，因而是有意義的，用集合論的語言實(shí)際上是 . （）定理1 的充要條件是 . （）證明：（必要性）如在定點(diǎn)上有，則不能對無窮多n成立.令，則，故由連續(xù)性定理及 得. （充分性）由（）式及上式第一等號得 .注意：對可列多個概率為0的事件的和，有，即，即得.由此及（）即得. 依概率收斂的概念及性質(zhì) 定義2 如果，則稱隨機(jī)變量序列依概率收斂于隨機(jī)變量，記作.定理2 若，則.證明：由于，有，又及定理1得，所以 定理得證.但是定理2的逆命題不真，反例如下：例1 取，F(xiàn)為[0,1]中全體博雷爾子集所成代數(shù)，P為勒貝格測度，令一般地，將（0,1]分成k個等長的區(qū)間，而令定義則是一列隨機(jī)變量，對任意，由于故，即；然而對任意固定，任一正整數(shù)k,恰有一i，使，而對其余的j有，有此知中有無窮多個1及無窮多個0，于是對每個都不收斂. 定
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