【正文】 （遼寧文） （ 20）（本小題滿分 12 分） 設(shè)函數(shù) )(xf =x+ax2+blnx，曲線 y= )(xf 過(guò) P（ 1,0），且在 P 點(diǎn)處的切斜線率為 2. （ I）求 a， b 的值； （ II）證明： )(xf ≤2x2． 20．解：（ I） ( ) 1 2 .bf x a xx? ? ? ? …………2 分 2020 年高考文科數(shù)學(xué)試題分類匯編（共十七部分） 由已知條件得 (1 ) 0 , 1 0 ,(1 ) 2 . 1 2 2 .faf a b? ? ?????? ? ? ? ???即 解得 1, ?? ? ………………5 分 （ II） ( ) ( 0 , )fx ??的 定 義 域 為，由（ I）知 2( ) 3 ln .f x x x x? ? ? 設(shè) 2( ) ( ) ( 2 2) 2 3 l n ,g x f x x x x x? ? ? ? ? ? ?則 3 ( 1 ) ( 2 3 )( ) 1 2 .xxg x x xx??? ? ? ? ? ? ? 0 1 , ( ) 0 。 （ 1）若 0ab? ，判斷函數(shù) ()fx的單調(diào)性； （ 2）若 0ab? ，求 ( 1) ( )f x f x?? 時(shí) x 折取值范圍。( ) ( 1 )x x bxfx xx?? ???? 由于直線 2 3 0xy? ? ? 的斜率為 12?，且過(guò)點(diǎn) (1,1) ，故 (1) 1, 139。( 0) 3 6f a f a? ? ? ?得曲線 ( ) 0y f x x??在 處的切線方程為 由此知曲線 ( ) 0y f x x??在 處的切線過(guò)點(diǎn)（ 2， 2） …………6 分 （ II）由 239。 所以 19 4 ( 2 ) 0 , .4mm? ? ? ? ? ? ?即 又對(duì)任意的 12[ , ] , ( ) ( ) ( 1 )x x x f x g x m x? ? ? ?成立， 特別地，取 1xx? 時(shí)， 1 1 1( ) ( )f x g x m x m? ? ? ?成立，得 ? 由韋達(dá)定理，可得 1 2 1 2 1 23 0 , 2 0 , 0 .x x x x m x x? ? ? ? ? ? ? ?故 對(duì)任意的 1 2 2 1[ , ] , 0 , 0 , 0x x x x x x? ? ? ? ?有 xx 則 1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 0 , ( ) ( ) 0f x g x m x x x x x x f x g x m x? ? ? ? ? ? ? ? ?又 所以函數(shù) 12( ) ( ) [ , ]f x g x m x x x x? ? ?在的最大值為 0。 即當(dāng)車流密度為 100 輛 /千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為 3333 輛 /小時(shí)。（精確到 1 輛 /小時(shí)）。 并且對(duì)每一個(gè) ( , ) ( , )t m M? ?? ??，直線 yt? 與曲線 1( )( [ , ])y f x x ee??都沒(méi)有公共點(diǎn)。( ), ( )f x f x 的變化情況如下表： x 1e 1( ,1)e 1 (1,)e e 39。( ) 0 0 1 , 39。( ) ln .f x a x? 0a?因 為 ，故： （ 1）當(dāng) 0,a ? 時(shí) 由 f39。 0y? 得 : 3 2002r c?? ?,所以 3 202r c? ?米時(shí) , 該容器的建造費(fèi)用最小 . （福建文） 22．（本小題滿分 14 分） 已知 a， b 為常數(shù)，且 a≠0，函數(shù) f（ x） =ax+b+axlnx， f（ e） =2（ e=2． 71828… 是自然對(duì) 數(shù)的底數(shù)）。 （山東文） 21.（本小題滿分 12 分） 某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為 803?立方米，且 2lr≥ .假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān) .已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為 3 千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為 ( 3)cc＞ .設(shè)該容器的 建造費(fèi)用為 y 千元 . （ Ⅰ ）寫出 y 關(guān)于 r 的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域； （ Ⅱ ）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的 r . 2020 年高考文科數(shù)學(xué)試題分類匯編（共十七部分） 【解析】（ Ⅰ ）因?yàn)槿萜鞯捏w積為 803?立方米，所以 3 243r rl? ???803?,解得280 433rl r??,所以圓柱的側(cè)面積為 2rl? =280 42 ( )33rr r? ??2160 833rr??? ,兩端兩個(gè)半球的表面積之和為24r? ,所以 y? 2160 8 rr? ?? + 24cr? ,定義域?yàn)?(0, 2l ). （ Ⅱ ）因?yàn)?39。 , .. .. .. 。 若 ? ?3377( 1 , 2 ) , 1 1 0 .2 4 4tt f t t t??? ? ? ? ? ? ? ? ????? (0) 1 0ft??? 所以 ( ) 0,2tfx ??????在內(nèi)存在零點(diǎn)。 ( )2t t f x???? ? ??????的單調(diào)遞減區(qū)間是 ,2t t???????。 （浙江文） （ 21）（本小題滿分 15 分）設(shè)函數(shù) axxxaxf ??? 22 ln)( ， 0?a （ Ⅰ ）求 )(xf 的單調(diào)區(qū)間； （ Ⅱ ）求所有實(shí)數(shù) a ，使 2)(1 exfe ??? 對(duì) ],1[ ex? 恒成立． 注： e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． （ 21）本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查抽象概括、推理論證能力。 ????? nmxxxf 又遞減區(qū)間長(zhǎng)度是正整數(shù)，所以 ? ? 02239。( ) 0fx? ，故 ()fx分別在 12(0, ),( , )xx?? 上單調(diào)遞增，在 12( , )xx 上單調(diào)遞減． （ II）由（ I）知， 2a? ． 因?yàn)?121 2 1 2 1 212( ) ( ) ( ) ( l n l n )xxf x f x x x a x xxx?? ? ? ? ? ?，所以 1 2 1 21 2 1 2 1 2( ) ( ) l n l n11f x f x x xkax x x x x x??? ? ? ? 又由 (I)知， 121xx? ．于是 1212ln ln2 xxka xx??? ? 若存在 a ，使得 ?? 則 1212ln ln 1xxxx? ?? ．即 1 2 1 2ln lnx x x x? ? ?．亦即2 2 221 2 ln 0 ( 1 ) ( * )x x xx? ? ? ? 再由（ I）知，函數(shù) 1( ) 2 lnh t t tt? ? ?在 (0, )?? 上單調(diào)遞增，而 2 1x? ，所以222112 l n 1 2 l n 1 0 .1xxx? ? ? ? ? ?這與 (*) 式矛盾．故不存在 a ，使得 ?? （江西文） 20.(本小題滿分 13 分） 設(shè) ? ? nxmxxxf ??? 2331. （ 1）如果 ? ? ? ? 32 ???? xxfxg 在 2??x 處取得最小值 5? ，求 ??xf 的解析式； （ 2）如果 ? ????? Nnmnm ,10 ， ??xf 的單 調(diào)遞減區(qū)間的長(zhǎng)度是正整數(shù)，試求 m 和 n 的值． (注：區(qū)間 ? ?ba, 的長(zhǎng)度為 ab? ） .解：（ 1）已知 ? ? nxmxxxf ??? 2331 ， ? ? nmxxxf ???? 2239。( ) 0 ,a f x? ? ?時(shí) 故 ( ) (0, )fx ??在 上單調(diào)遞增． 2020 年高考文科數(shù)學(xué)試題分類匯編（共十七部分） (2) 當(dāng) 2a ?? 時(shí) , 0 ,g (x )= 0的兩根都小于 0，在 (0, )?? 上， 39。 （ Ⅰ ）求 ()fx的單調(diào)區(qū)間； x )21,(?? 21 )23,21( 23 ),23( ? )(xf? + 0 － 0 + )(xf ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 2020 年高考文科數(shù)學(xué)試題分類匯編（共十七部分） （ Ⅱ ）求 ()fx在區(qū)間 [0,1] 上的最小值。 （湖北文） 15．里氏震級(jí) M 的計(jì)算公式為： 0lg lgM A A??，其中 A是測(cè)震儀記錄的地震曲線的最大振幅， 0A 是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅。 （四川文） 16．函數(shù) ()fx的定義域?yàn)?A，若 12,x x A? 且 12( ) ( )f x f x? 時(shí)總有 12xx? ，則稱 ()fx為單函數(shù)．例如，函數(shù) ()fx =2x+1( x?R )是單函數(shù)．下列命題： 2020 年高考文科數(shù)學(xué)試題分類匯編（共十七部分） ① 函數(shù) 2()f x x? （ x?R）是單函數(shù)； ② 指數(shù)函數(shù) ( ) 2xfx? （ x?R）是單函數(shù)； ③ 若 ()fx為單函數(shù)， 12,x x A? 且 12xx? ，則 12( ) ( )f x f x? ； ④ 在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)． 其中的真命題是 _________．（寫出所有真命題的編號(hào)） 答案： ② ③④ 解析：對(duì)于 ① ，若 12( ) ( )f x f x? ，則 12xx?? ，不滿足； ② 是單函數(shù)；命題 ③ 實(shí)際上是單函數(shù)命題的逆否命題，故為真命題；根據(jù)定義，命題 ④ 滿足條件． （陜西文） 11．設(shè) lg , 0()10 , 0xxxfx x ??? ?? ?，則 ( ( 2))ff??______. 【分析】由 2x?? 算起，先判斷 x 的范 圍，是大于 0，還是不大于 0,；再判斷 ( 2)f ? 作為自變量的值時(shí)的范圍，最后即可計(jì)算出結(jié)果． 【解】 ∵ 20x?? ? ， ∴ 2 1( 2 ) 1 0 0100f ?? ? ? ?，所以 22(10 ) lg 10 2f ??? ? ?，即( ( 2)) 2ff? ?? ． 【答案】 2? （浙江文） （ 11）設(shè)函數(shù) k 4()1fx x? ? ,若 ( ) 2fa? ,則實(shí)數(shù) a =________________________ 【 答案 】 1 【 解析 】 ∵ 21 4)( ??? aaf， ∴ 1?a . （湖南文） 12．已知 ()fx為奇函數(shù)， ( ) ( ) 9 , ( 2) 3 , ( 2)g x f x g f? ? ? ? ?則 ． 答案： 6 解析： ( 2) ( 2) 9 3 , ( 2) 6g f f? ? ? ? ? ? ? ?則， 又 ()fx為奇函數(shù)，所以 (2) ( 2) 6ff? ? ? ?。為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品 （ A） 60 件 (B)80 件 （ C） 100 件 （ D） 120 件 （安徽文） （ 5）若點(diǎn)（ a,b）在 lgyx? 圖像上， a?? ,則下列點(diǎn)也在此圖像上的是 D （ A）（a?， b） （ B）（ 10a,1? b） （ C） （a??,b+1） （ D）（ a2,2b） 5） D【命題意圖】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的基本運(yùn)算，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的關(guān)系 . 【解析】由題意 lgba? ， lg lgb a a ?? ? ? ? ，即 ? ?2,2ab也在函數(shù) lgyx? 圖像上 . （安徽文） （ 10）函數(shù) 2)1()( xaxxf n ?? 在區(qū)間〔 0,1〕 上的圖像如圖所示，則 n 可能是 A （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 4 2020 年高考文科數(shù)學(xué)試題分類匯編（共十七部分） (10)A【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，考查函數(shù)圖像，考查思維的綜合能力 .難度大 . 【 解 析 】 代 入 驗(yàn) 證 ， 當(dāng) 1n? 時(shí)， ( ) ( ) ( )f x ax x a x x x? ? ?? ? ? ? ? ? ?g ，則( ) ( )f x a x x?? ? ? ? ? ??，由 ( ) ( )f x a x x?? ? ? ? ? ? ? ? ?可知， 121,13xx??，結(jié)合圖像可知函 數(shù)應(yīng)在 10,3??????遞增，在 1,13??????遞減，即在 13x?取得最大值，由( ) ( )fa ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?g ，知 a 存在 .故選 A. （廣東文） 4．函數(shù) 1( ) lg (1 )1f x xx? ? ??的定義域是 A． ( , 1)??? B． (1, )?? C． ( 1,1) (1, )? ? ?? D． ( , )???? 4．（ C）． 10 1x xx??? ? ? ?? ???且 1x? ，則 ()fx的定義域是 ( 1,1) (1, )? ? ?? （廣東文） 10．設(shè) ( ), ( ), ( )f x g x h x是 R 上的任意實(shí)值函數(shù)，如下定義兩個(gè)函數(shù) ()fg()x和 ()f