【正文】 說(shuō)明這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有意義 . 從 , 將近增加約 21倍 . 1. 這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥 有無(wú)意義？ 若試驗(yàn)后得陽(yáng)性反應(yīng)，則根據(jù)試驗(yàn)得來(lái)的 信息，此人是患者的概率為： P(A | B)= 2. 檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥 ? 試驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性 , 此人確患癌癥的概率為 即使檢出陽(yáng)性，也不必過(guò)早下結(jié)論有癌癥，這種可能性只有 % (平均來(lái)說(shuō)，1000個(gè)人中大約只有 107人確患癌癥 )，此時(shí)醫(yī)生常要通過(guò)進(jìn)一步試驗(yàn)來(lái)確認(rèn) . P(A|B)= 我們介紹了 全概率公式 貝葉斯公式 它們是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用 ,可通過(guò)進(jìn)一步的練習(xí)去掌握它們 . 1( ) ( | )( | )( ) ( | )iii njjjP A P B AP A BP A P B A???Bayes公式 : ( 1 , 2 , . . . , )in?P(Ai)稱為 先驗(yàn)概率 ，而 P(Ai|B) 稱為 后驗(yàn)概率 ， 它反映了試驗(yàn)之后，事件 B發(fā)生的 “ 原因 ” 的 各種可能性的大小。 這一類問(wèn)題在實(shí)際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知在某結(jié)果發(fā)生的條件下，求各原因發(fā)生的可能性大小。 若三人射中，飛機(jī)必被擊落 . 求飛機(jī)被擊落的概率 . 顯然， B0+B1+B2 +B3 =?， 且兩兩互不相容 根據(jù)全概率公式： ? ? ? ? ? ? ? ?4411i i iiiP A P A B P B P A B??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 1 2 3 1 2 3P B P C C C P C P C P C??? ? ? ?1 1 2 3 1 2 3 1 2 3P B P C C C C C C C C C? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 3 1 2 3 1 2 3P C C C P C C C P C C C? ? ?= =(1?)(1?)(1?)= ? ? ? ?2 1 2 3 1 2 3 1 2 3P B P C C C C C C C C C? ? ?? ? ? ?3 1 2 3P B P C C C?= =0. 14 P(A|B0)=0 P(A|B1)= P(A|B2)= P(A|B3)=1 經(jīng)過(guò)計(jì)算， P(A)= B?F, 且 B? ?Ai , 全概率公式對(duì)于可列無(wú)限剖分，且 P( Ai)0的情形也是成立的。 P(A1A2)= P(A1A3)= P(A2A3)= P(A1A2) P(A1)P(A2) = P(A1)P(A2) P(A3) 1 2 3 123 從四個(gè)球中任取一個(gè) ? 14?24?12?=P(A2) P(A1) 18?=P(A1A3) =P(A2A3 ) =P(A3) 14?1122?14?1122?14?14?例 8 設(shè)每門炮擊中飛機(jī)的概率為 P=, 求250門炮同時(shí)進(jìn)行一次射擊時(shí)，擊中飛機(jī)的概率 . 解 : 令 : A:“ 擊中飛機(jī) ” Bi :“ 第 i門炮擊中飛機(jī) ” (1 ?i ?250) P(Bi)= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2501 2 2 5 0 1 2 2 5 0 1 0 . 0 0 4P A P B B B P B P B P B? ? ? ?=()250? P(A)=1? ? ?PA ? 小概率事件的現(xiàn)實(shí)意義 要以 99%的概率擊中飛機(jī)，需要多少門炮？ (1?)n=()n=1 ? 即 ()n= l g 1150l g n ??問(wèn) : 設(shè)需要 n門炮 ,則有 例 9 有 2n個(gè)元件，每個(gè)元件的可靠性均為 r 解 : 令 : A:“ 系統(tǒng) 1正常工作 ” B:“ 系統(tǒng) 2正常工作 ” 則 A =(A1 A2 ?An) +(B1B2 ? Bn) B=(A1+B1)(A2 + B2) ? ( An+Bn) (0r1)，各元件能否正常工作相互獨(dú)立， 求下列二系統(tǒng)的可靠性 .（如圖） A1 A2 An B1 B2 Bn ? ? A1 B1 A2 B2 ? An Bn 系統(tǒng) 1 系統(tǒng) 2 ? ?1niiiP A B????P(A)=P(A1?An)+P(B1?Bn)?P(A1?AnB1 ?Bn) =rn+rn ?r2n =rn (2?rn) P(B)=P(A1+B1) P(A2+B2) ? P(An+Bn) ? ? ? ? ? ?1ni i i iiP A P B P A B?? ? ??????= (2r?r2)n = rn(2?r)n 因?yàn)?(2?r)n 2?rn, 所以系統(tǒng) 2比系統(tǒng) 1可靠性大 全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率 ,它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用 . 綜合運(yùn)用 乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)0 加法公式 167。 解 ： 設(shè) A=“甲擊中目標(biāo)” B=“乙擊中目標(biāo)” =P(A)+P(B) ? =P(A)+P(B)?P(A)P(B) = P(A+B) = P(AB) ? + 因此，“目標(biāo)被擊中”可表示為 A+B 因?yàn)? 2) 是 1) 的逆否命題，所以 2)成立。 對(duì)于 3個(gè)事件 A1,A2 , A3 ,若 P(A1A2) 0 , 則有： 1()PA? 1 2 3()P A A A?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2 ) P(A2|A1) P(A3|A1A2) 證 : 121()()P A APA? 1 2 312()()P A A AP A A?故有： P(A1) ? P(A1A2) 0 所以： P(A1A2A3) 而 P(A1A2) 0 =P(A1) 因?yàn)?: A1A2 ?A1， 一般地 ： 對(duì)于 n 個(gè)事件 A1, A2 ,…, An , 若 P(A1A2 … An1 ) 0 , 則有： P(A1A2 … An ) 1()PA= 121 2 1( . . . )...( . . . )nnP A A AP A A A ?12( .. . )nP A A A?有 ： P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)… P(An|A1A2 … An1 ) 1 2 312()()P A A AP A A?121()()P A APA?P(A1) ? P(A1A2 ) ? P(A1A2A3 )? P(A1A2 … An1 )0 證明 ： A1 ? A1A2 ? A1A2A3 ? … ?A1A2 … An1 … P(An|A1A2 … An1) =P(A1) P(A3|A1A2) P(A2|A1) 例 4 假設(shè)某地區(qū)位于甲、乙二河流的匯合處，當(dāng)任一河流泛濫時(shí)，該地區(qū)將被淹沒 .設(shè)某時(shí)期內(nèi)甲河流泛濫的概率為 ,乙河流泛濫的概率為 ,當(dāng)甲泛濫時(shí)乙泛濫的概率為 ,求該地區(qū)被淹沒的概率？當(dāng)乙泛濫時(shí)，甲泛濫的概率 ? 解 : 設(shè) A: “甲泛濫 ” B: “乙泛濫 ” 則 A+B: “該 地區(qū)被淹沒 ” 根據(jù)已知： P(A)= P(B)= P(B|A)= P(A+B)= P(A)+P(B)?P(AB) = P(A)+P(B)?P(A)P(B|A) = + ??= ( ) ( | ) ( ) P ABP A BPB?? ? ? 一般情況下 ， P(B|A)?P(B), 即事件 A的發(fā)生對(duì)事件 B 三 事件的獨(dú)立性 A 與 B是相互獨(dú)立的 1 兩個(gè)事件的獨(dú)立性 因此當(dāng) P(B) = P(B|A)時(shí) ， 稱 發(fā)生的概率是有影響的 ， 只有當(dāng) P(B)=P(B|A)時(shí) ， 才可以認(rèn)為這種影響不存在 . 概率不受 A發(fā)生這個(gè)條件的影響 。 設(shè) A：“前 5次出現(xiàn)正面” 解 ： “第 6次出現(xiàn)正面” 則 AB表示“ 6次均出現(xiàn)正面” 因?yàn)榛臼录倲?shù) n=26, P(AB)= P(A)= 622 612所以 ()()P A BPAP(B|A)= 12B: = 例 3 A: “抽出的數(shù)為 3的倍數(shù)” 在 0, 1, 2, ..., 9十個(gè)數(shù)字中任取一數(shù)，設(shè) B: “抽出的數(shù)為偶數(shù)” C：“抽出的數(shù)大于 8 ” 解 : P(A|B)= 求： P(A|B)， P(A|C) 25P(A|C)=1 P(A)= 410可以看出， P(A|B)= P(A) P(A|C)P(A) 由條件概率的定義不能得出 P(A) 與 P(A|B)有 1) 若 A?B，則 P(A|B) ? P(A) 2) 若 B?A，則 P(A|B) ? P(A) 因?yàn)?A?B=A ，所以 P(A|B)= ? P(A) ( ) ( )( ) ( )P A B P AP B P B?當(dāng) B?A時(shí)， P(A|B)=1 ? P(A) 什么關(guān)系， P(A) ? P(A|B)。 條件概率 事件的獨(dú)立性 在實(shí)際問(wèn)題中除了要知道概率 P(B) ，有時(shí)還要知道在 “ 事件 A已經(jīng)發(fā)生 ” 的條件下，事件 B 發(fā)生的概率。 數(shù)學(xué)上所說(shuō)的“ 公理 ”，就是一些不加證明而 以 公認(rèn) 為 前提，然后以此為基礎(chǔ)，推演出所討論對(duì)象的進(jìn)一步的內(nèi)容 . 1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫 給出了概率的公理化定義 . 一 概率的公理化定義 定義 1 設(shè) ?是樣本空間， F是由 ? 的一些子集 組成的 集合族，如果 F滿足下列條件 （ 1） ? ? F （ 2）若 A ? F ，則 則稱 F為一 事件域 ，或稱 ?代數(shù) ， F中的集合稱為 事件 . A ? F （ 3）若 An(n=1, 2...)? F, 則 1nnA???F ?代數(shù)具有以下性質(zhì)： 若 F是 ?代數(shù)， 則由 定義 1中的 (1)， (2) 可得 ? ? F 此外，若 F ? An n=1, 2, ... 則有 11nnnnAA?????F ? 1knnA??A1 A2 Ak ... ? ? ... F ? 121 kkA A A Ann????? F 定義 2 設(shè) ?是樣本空間， F是 ?的一個(gè) ?代數(shù)， 對(duì) 每一個(gè) 集合 A ? F ，定義實(shí)值集函數(shù) P(A) (1)對(duì)每一 A ? F, (2) P(?)=1 (3) (完全可加性 ) 它滿足下列三個(gè)條件： 有 0 ? P(A) ? 1 1() iiPA???若事件 A1, A2,… An, … 1()iiPA??? ?兩兩互斥，則有 則稱實(shí)值集函數(shù) P為 概率 ， P(A)稱為事件 A的概率 . 設(shè) ?是一樣本空間， F是 ? 中的 ?代數(shù)， P為 F上的概率，稱有上述結(jié)構(gòu)的樣本空間為概率空間 ，記為 (?, F, P). 可以證明 , 無(wú)論對(duì)古典概率、統(tǒng)計(jì)概率或幾何概率，它們都滿足上述 定義 2，因此，根據(jù)這一公理化結(jié)構(gòu)所推出的任何規(guī)律，對(duì)它們都是適用的。 100 ()fA 52100?= 12( .. . )nnf A A A? ? ?3) 若 A1, A2, …, An 是兩兩互不相容的事件， 12( ) ( ) . . . ( )n n n nf A f A f A? ? ? ?頻率具有以下性質(zhì) 則 : (當(dāng)然還有 1) 對(duì)任何事件 A, 0? fn(A)? 1 2) fn(? )= 1 fn(?)=0 ) 證明： 2）必然事件 ?在每次試驗(yàn)中一定會(huì)發(fā)生 3）在 n次試驗(yàn)中， A出現(xiàn)了 nA次， B出現(xiàn)了 nB次，由于互不相容，所以事件 A+B出現(xiàn)的次數(shù)為： nA+ nB 1）任意事件 A，有 0? nA ? n 所以 0 An nnn?? 0 ( ) 1nfA??即 ? ? 1n nf n?? ? ?n? =n 故有 所以 故 ? ? ? ? ? ?A B A Bn n nn n n nf A B f A f Bn n n?? ? ? ? ? ? 頻率 fn(A)表示事件 A發(fā)生的頻繁程度，頻率大， （拋硬幣試驗(yàn) , 參見教材） 事件 A發(fā)生就頻繁，也就意味著 A在試驗(yàn)中發(fā) 生的可能性就大，反之亦然 . 因此，直觀的想 法是用 頻率 來(lái)表示 A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能 性的大小 .