【正文】 設(shè)輔助函數(shù) x(t)滿足 x”(t) + 3x’(t)+ 2x(t) = f(t) 可推導(dǎo)出 y(t) = x’(t) + x(t)， 它滿足原方程。 y ( k )∑ ∑D D 5423f ( k )解： 設(shè)輔助變量 x(k)如圖 x(k) x(k1) x(k2) 即 x(k) +2x(k1) +3x(k2) = f(k) y(k) = 4x(k1) + 5x(k2) 消去 x(k) ，得 y(k) +2y(k1) +3y(k2) = 4f(k1) + 5f(k2) x(k)= f(k) – 2x(k1) – 3x(k2) 第 110 頁 ■ 由微分方程畫框圖例 1 例 1： 已知 y”(t) + ay’(t)+ by(t) = f(t)，畫框圖。 系統(tǒng)的 分析方法 ： 輸入輸出法（外部法） 狀態(tài)變量法 （內(nèi)部法）（ ) 外部法 時域分析（ ,) 變換域法 連續(xù)系統(tǒng) —頻域法 (4)和 復(fù)頻域法 (5) 離散系統(tǒng) —頻域法 (4)和 z域法 (6) 系統(tǒng)特性 ： 系統(tǒng)函數(shù) （ ) 第 107 頁 ■ ▲ 求解的基本思路： ? 把 零輸入響應(yīng) 和 零狀態(tài)響應(yīng) 分開求。將這些基本運算用一些 基本單元 符號表示出來并相互聯(lián)接表征上述方程的運算關(guān)系，這樣畫出的圖稱為 模擬框圖 ，簡稱框圖 。 第 101 頁 ■ ▲ 描述 LTI系統(tǒng)的是線性常系數(shù)差分方程 例： 下列差分方程描述的系統(tǒng)，是否線性？是否時不變？ 并寫出方程的階數(shù)。所謂 差分方程 是指由未知輸出序列項與輸入序列項構(gòu)成的方程。其運動方程為 )()(d )(dd )(d 22tftkxt txCt txM ??? 能用相同方程描述的系統(tǒng)稱相似系統(tǒng)。 系統(tǒng)的描述和分析方法 第 97 頁 ■ ▲ 一、 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 ? 連續(xù)系統(tǒng)解析描述 ： 微分方程 ? 離散系統(tǒng)解析描述 ： 差分方程 第 98 頁 ■ ▲ 1. 連續(xù)系統(tǒng)的解析描述 圖示 RLC電路，以 uS(t)作激勵，以 uC(t)作為響應(yīng)，由 KVL和 VAR列方程，并整理得 u S ( t ) u C ( t )L RC?????????? )(039。當 x(0) =2，輸入信號 f2(t)=3f1(t)時，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為 y2zi(t)、 y2zs(t)。 故此系統(tǒng)不滿足齊次性 當 Af(t)作用于系統(tǒng)時， 若此系統(tǒng)具有線性 ，則 第 91 頁 ■ ▲ 證明可加性 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?)4(0510dd)3(0510dd222111????????ttftyttyttftytty? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? )5(0510d d 212121 ??????? ttftftytytytyt? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? )6(01010d d 212121 ??????? ttftftytytytyt(5)、 (6)式矛盾，系統(tǒng)不具有可加性 假設(shè)有兩個輸入信號 分別激勵系統(tǒng)，則由所給微分方程式分別有： )()( 21 tftf 及當 同時作用于系統(tǒng)時，若該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，應(yīng)有 )()( 21 tftf ?(3)+(4)得 第 92 頁 ■ 因果系統(tǒng)判斷舉例 如下列系統(tǒng)均為 因果系統(tǒng)： ? ??? tzs xxfty d)()(yzs(t) = 3f(t – 1) 而下列系統(tǒng)為 非因果系統(tǒng) ： (1) yzs(t) = 2f(t + 1) (2) yzs(t) = f(2t) 因為，令 t=1時，有 yzs(1) = 2f(2) 因為，若 f(t) = 0， t t0 ，有 yzs(t) = f(2t)=0, t t0 。 第 88 頁 ■ ▲ 例 2：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？ xxfxxty tt d)()s i n ()0(e)( 0??? ?解： xxfxtyxty tzstzi d)()s i n ()(),0(e)( 0????y (t) = yzs(t) + yzi(t) ， 滿足可分解性 ； T[{a f1(t)+ b f2(t) }, {0}] xxfxxxfxxxfxfx ttt d)()s i n(bd)()s i n(ad)](b)()[as i n( 0 20 10 21 ??? ????= aT[{f1(t)}, {0}] +bT[{ f2(t) }, {0}]， 滿足零狀態(tài)線性 ； T[{0},{ax1(0) + bx2(0)} ] = et[ax1(0) +bx2(0)] = aetx1(0)+ betx2(0) = aT[{0},{x1(0)}] +bT[{0},{x2(0)}], 滿足零輸入線性 ； 所以， 該系統(tǒng)為線性系統(tǒng) 。 第 87 頁 ■ 判斷線性系統(tǒng)舉例 例 1：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？ （ 1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （ 2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)| （ 3） y (t) = x2(0) + 2 f (t) 解 ： （ 1） yzs(t) = 2 f (t) +1， yzi(t) = 3 x(0) + 1 顯然， y (t) ≠ yzs(t) ＋ yzi(t) 不滿足可分解性，故為非線性 （ 2） yzs(t) = | f (t)|， yzi(t) = 2 x(0) y (t) = yzs(t) + yzi(t) 滿足可分解性； 由于 T[{a f (t) }, {0}] = | af (t)| ≠ a yzs(t) 不滿足零狀態(tài)線性。 (2) 令 g (t) = f(t –td) ， T[{0}， g (t)] = t g (t) = t f (t –td) 而 yzs (t –td)= (t –td) f (t –td) 顯然 T[{0}， f(t –td)] ≠ yzs (t –td) 故該系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。即 若 │f(.)│∞，其 │yzs(.)│∞ 則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 ? 判斷方法： 舉例 綜合舉例 第 82 頁 ■ ▲ ? 實際的物理可實現(xiàn)系統(tǒng)均為因果系統(tǒng) 非因果系統(tǒng)的概念與特性也有實際的意義，如信號的壓縮、擴展，語音信號處理等。 ? 時不變性 （或移位不變性） ： f(t ) → yzs(t ) f(t td) → yzs(t td) t)( 0ttf ?O0t Tt ?0舉例 第 80 頁 ■ ▲ LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分特性和積分特性 本課程重點討論線性時不變系統(tǒng) (Linear TimeInvariant)，簡稱 LTI系統(tǒng)。) }, {x(0)}]， yzs() ② 零狀態(tài)線性 ： T[{af1(t) +bf2(t) }, {0}] = aT[{ f1 ( 初始狀態(tài)也稱“ 內(nèi)部激勵 ”。) → ay1() → y1() f2() a f( )y( ? 線性性質(zhì)： 齊次性 和 可加性 可加性： 齊次性 ： f( 否則稱 即時系統(tǒng) 或 無記憶系統(tǒng) 。如 A/D， D/A變換器。 第 73 頁 ■ ▲ 二 . 系統(tǒng)的分類及性質(zhì) 可以從多種角度來觀察、分析研究系統(tǒng)的特征，提出對系統(tǒng)進行分類的方法。 系統(tǒng)的特性與分類 第 72 頁 ■ ▲ 一、 系統(tǒng)的定義 ? 系統(tǒng)： 具有特定功能的總體，可以看作信號的變換器、處理器。1itf)21(41)21(41)14( 2 ????? ttt ???注意 ：如果 f(t)=0有重根， δ[f(t)]無意義。并且 f(t) = 0有 n個互不相等的實根 ti ( i=1， 2， … ， n) ttftftft d)(d)]([)]}([{dd ?? ?)]}([{dd)(39。d)()(39。 ? ? ??t?to( 1 )δ ( t )第 51 頁 ■ ▲ δ(t) ton1?n11γ n21top n ( t )n1n1?2n對 γn(t)求導(dǎo)得到如圖所示的矩形脈沖 pn(t) 。 第 46 頁 ■ ▲ 一、 單位階躍函數(shù) ton1?n11γ n21????????????0,10,210,0)(lim)(d e fttttt nn??下面采用求函數(shù)序列極限的方法定義階躍函數(shù) 。 解答 f ( t )to 11 法一 ：①先平移 f (t) → f (t +2) ② 再反轉(zhuǎn) f (t +2) → f (– t +2) 法二 ： ①先反轉(zhuǎn) f (t) → f (– t) f ( t ) 11to② 再平移 f (– t) → f (– t +2) f ( t )to 112 to 11f ( t + 2 ) 1 to1 2f ( t + 2 )左移 右移 = f [– (t – 2)] 第 44 頁 ■ 平移與展縮相結(jié)合 舉例 例 已知 f (t)如圖所示，畫出 f (3t + 5)。 第 39 頁 ■ ▲ 三．微分和積分 Ot? ?tf2?2??Ot1?2? ?tf ?? ?1?2??2?Ot? ?tf2?2??Ot1? ????tf ?? d2??2??? ? ? ? ? ? ?? ddd ????? t ft tftf 積分：，微分：沖激信號 第 40 頁 ■ 平移、展縮、反折相結(jié)合 舉例 例 已知 f (t)如圖所示，畫出 f ( 2t 4)。 第 38 頁 ■ ▲ 4. 混合運算舉例 例 1 例 3 平移與反轉(zhuǎn)相結(jié)合 平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換相結(jié)合，正逆運算。 第 37 頁 ■ ▲ (尺度變換） 將 f (t) → f (a t) ， 稱為對信號 f (t)的 尺度變換 。)的平移 或 移位 。)以縱坐標為軸反轉(zhuǎn) 180o。 信號的基本運算 第 32 頁 ■ ▲ 一、信號的加法和乘法 同一瞬時兩信號對應(yīng)值相加 （ 相乘 ） 。 （ 2） cos2t 和 sinπt的周期分別為 T1= πs， T2= 2 s，由于T1/T2為無理數(shù)，故 f2(t)為非周期信號。 （ 2） sin(2k) 的數(shù)字角頻率為 β1 = 2 rad；由于 2π/ β1 = π為無理數(shù)，故 f2(k) = sin(2k)為非周期序列 。 當 2π/ β為有理數(shù)時 ，正弦序列仍為具有周期性，但其周期為 N= M(2π/ β)， M取使 N為整數(shù)的最小整數(shù)。 解 f (k) = sin(βk) = sin(βk + 2mπ) ， m = 0,177。 還有其他分類，如： ? 實信號與復(fù)信號 ? 左邊信號與右邊信號 ? 因果信號和反因果信號 等等。 如 ε(t)是功率信號； 而 tε(t