【正文】 24 17．（ 12 分） 等比數(shù)列 ??na 中， 1 5 314a a a??， ． ⑴求 ??na 的通項(xiàng)公式； ⑵記 nS 為 ??na 的前 n 項(xiàng)和．若 63mS ? ，求 m ． 解：（ 1）設(shè)數(shù)列 {}na 的公比為 q ，∴ 2 53 4aq a??，∴ 2q?? . ∴ 12nna ?? 或 1( 2)nna ??? . （ 2）由（ 1）知， 12 2112n nnS ?? ? ??或 1 ( 2 ) 1 [1 ( 2 ) ]1 2 3n nnS ??? ? ? ??， ∴ 2 1 63mmS ? ? ? 或 1 [1 ( 2) ] 633 mmS ? ? ? ?（舍）， ∴ 6m? . 18．（ 12 分） 某工廠為提高生產(chǎn)效率 ，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取 40 名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20 人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位： min）繪制了如下莖葉圖： ⑴根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明理由； ⑵求 40 名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù) m ，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò) m 和不超過(guò) m 的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過(guò) m 不超過(guò) m 第一種生產(chǎn)方式 第二種生 25 產(chǎn)方式 ⑶根據(jù)⑵中 的列表，能否有 99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附： ? ?? ?? ?? ?? ?22 n a d b cKa b c d a c b d?? ? ? ? ?， ? ?2 0 .0 5 0 0 .0 1 0 0 .0 0 13 .8 4 1 6 .6 3 5 1 0 .8 2 8P K kk ≥． 解：（ 1）第一種生產(chǎn)方式的平均數(shù)為 1 84x? ，第二種生產(chǎn)方式平均數(shù)為 2 ? ， ∴ 12xx? ，所以第一種 生產(chǎn)方式 完成任務(wù)的平均時(shí)間大于第二種，∴ 第二種生產(chǎn)方式的效率更高 . （ 2）由莖葉圖數(shù)據(jù)得到 80m? ， ∴ 列聯(lián)表為 （ 3）222 ( ) 4 0 ( 1 5 1 5 5 5 ) 1 0 6 . 6 3 5( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 2 0 2 0n a d b cK a b c d a c b d? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?， ∴ 有99% 的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異 . 19．（ 12 分） 如圖，矩形 ABCD 所在平面與半圓弧 CD 所在平面垂直， M 是 CD 上異于 C ， D 的點(diǎn)． ⑴證明：平面 AMD⊥ 平面 BMC ； ⑵在線段 AM 上是否存在點(diǎn) P ，使得 MC∥ 平面 PBD ？說(shuō)明理由． 解： （ 1）∵正方形 ABCD? 半圓 面 CMD ， ∴ AD? 半圓面 CMD ， ∴ AD? 平面 MCD . 26 ∵CM 在平面 MCD 內(nèi) ， ∴ AD CM? ，又 ∵ M 是 半 圓 弧 CD 上異于 ,CD的點(diǎn) ， ∴CM MD? .又 ∵ AD DM D?I ， ∴ CM? 平面 ADM ，∵ CM 在平面 BCM 內(nèi) ， ∴ 平面 BCM? 平面 ADM . （ 2）線段 AM 上存在點(diǎn) P 且 P 為 AM 中點(diǎn)，證明如下： 連接 ,BDAC 交于點(diǎn) O ，連接 ,PD PB PO ；在矩形ABCD 中， O 是 AC 中點(diǎn)， P 是 AM 的中點(diǎn)； ∴ //OP MC ，∵ OP 在平面 PDB 內(nèi)， MC 不在平面 PDB 內(nèi)， ∴ //MC 平面 PDB . 20．（ 12 分） 已知斜率為 k 的直線 l 與橢圓 22143xyC ??：交于 A ， B 兩點(diǎn)．線段 AB 的中點(diǎn)為? ?? ?10M m m?， ． ⑴證明： 12k??； ⑵設(shè) F 為 C 的右焦點(diǎn)， P 為 C 上一點(diǎn) ,且 0FP FA FB? ? ? ．證明 : 2 FP FA FB?? ． 解：（ 1）設(shè)直線 l 方程為 y kx t??，設(shè) 11( , )Ax y , 22( , )Bx y , 22143y kx txy????? ????聯(lián)立 消 y 得 2 2 2( 4 3 ) 8 4 1 2 0k x ktx t? ? ? ? ?， 則 2 2 2 26 4 4 ( 4 1 2 ) ( 3 4 ) 0k t t k? ? ? ? ? ?， 得 2243kt?? …① ， 且12 28 234ktxx k?? ? ??，1 2 1 2 26( ) 2 234 ty y k x x t mk? ? ? ? ? ??， ∵ 0m? ， ∴ 0t? 且 0k? . 且 2344kt k?? ? …② . 由 ①② 得 2222(3 4 )43 16 kk k???，∴ 12k? 或 12k?? . 27 ∵ 0k? ， ∴ 12k??. （ 2） 0FP FA FB? ? ?uur uur uur r， 20FP FM??uur uuur r, ∵ (1, )Mm， (1,0)F ， ∴ P 的坐標(biāo)為 (1, 2 )m? . 由于 P 在橢圓上， ∴ 214 143m??， ∴ 34m?， 3(1, )2M ?， 又 2211143xy??， 22143xy??， 兩式相減可得 1 2 1 21 2 1 234y y x xx x y y??? ? ? ， 又 122xx??，1232yy??， ∴ 1k?? ， 直線 l 方程為 3 ( 1)4yx? ?? ? ，即 74yx?? ? ， ∴2274143yxxy? ?? ????? ????，消去 y 得 228 56 1 0xx? ? ?，1,2 14 3 2114x ??， 2 2 2 21 1 2 2| | | | ( 1 ) ( 1 ) 3F A F B x y x y? ? ? ? ? ? ? ?u ur u u r ， 2233| | (1 1 ) ( 0 )22FP ? ? ? ? ? ?uur , ∴ | | | | 2 | |FA FB FP??. 21．（ 12 分） 已知函數(shù) ? ? 2 1xax xfx e???． ⑴求由線 ? ?y f x? 在點(diǎn) ? ?01?， 處的切線方程； ⑵證明：當(dāng) 1a≥ 時(shí)， ? ? 0f x e? ≥ ． 解：（ 1）由題意： ? ? 2 1xax xfx e???，222( 2 1 ) ( 1 ) 2 2() ()xxxxa x e a x x e a x a x xfx ee? ? ? ? ? ? ? ?? ??， 28 ∴ 2(0) 21f? ??，即曲線 ? ?y f x? 在點(diǎn) ? ?0, 1? 處的切線斜率為 2 ， ∴( 1) 2( 0)yx? ? ? ?，即 2 1 0xy? ? ? ； （ 2）證明：由題意：原不等式等價(jià)于： 12 10xe ax x? ? ? ? ?恒 成立；令12( ) 1xg x e ax x?? ? ? ?， ∴ 1( ) 2 1xg x e ax?? ? ? ?， 1( ) 2xg x e a??? ??， ∵ 1a? ， ∴ ( ) 0gx?? ? 恒成立， ∴ ()gx?在 ( , )???? 上單調(diào)遞增， ∴ ()gx? 在 ( , )???? 上存在唯一 0x 使 0( ) 0gx? ? ， ∴0 1 02 1 0xe ax? ? ? ?，即 0 1 021xe ax? ?? ?，且 ()gx在 0( , )x?? 上單調(diào)遞減，在 0( , )x ?? 上單調(diào)遞增， ∴ 0( ) ( )g x g x? . 又 0 1 220 0 0 0 0 0 0( ) 1 ( 1 2 ) 2 ( 1 ) ( 2 )xg x e a x x a x a x a x x?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 111( ) 1agea ?? ? ? ?， ∵ 1a? ， ∴ 110 1 1aee?? ? ? ?， ∴0 1x a??， ∴ 0( ) 0gx? ，得證 . 綜上所述：當(dāng) 1a? 時(shí)， ? ? 0f x e?? . （二）選考題：共 10 分，請(qǐng)考生在第 2 23 題中任選一題作答。寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。 17．（ 12 分） 記 nS 為等差數(shù)列 {}na 的前 n 項(xiàng)和，已知 1 7a?? ， 3 15S?? ． （ 1）求 {}na 的通項(xiàng)公式； （ 2）求 nS ，并求 nS 的最小值． 解： （ 1）設(shè) {an}的公差為 d，由題意得 3a1+3d=–15． 由 a1=–7 得 d=2． 所以 {an}的通項(xiàng)公式為 an=2n–9． （ 2）由（ 1）得 Sn=n2–8n=（ n–4） 2–16． 所以當(dāng) n=4 時(shí)， Sn 取得最小值，最小值為 –16． 18．（ 12 分） 下圖是某地區(qū) 2020 年至 2020 年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額 y （單位：億元）的折線圖． 15 為了預(yù)測(cè)該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了 y 與時(shí)間變量 t 的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù) 2020 年至 2020 年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量 t 的值依次為 1,2, ,17 ）建立模型 ① ：? ?? ? ；根據(jù) 2020 年至 2020 年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量 t 的值依次為 1,2, ,7 ）建立模型 ② ： ? 99 ?? ． （ 1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值； （ 2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由． 解：（ 1）利用模型①，該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為 y$ =–+19=（億元）． 利用模型②，該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為 y$ =99+9=（億元）． （ 2）利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠． 理由如下： （ i）從折線圖可以看出， 2020 年至 2020 年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒(méi)有隨機(jī)散布在直線y=–+ 上下，這 說(shuō)明利用 2020 年至 2020 年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)． 2020 年相對(duì) 2020 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加， 2020 年至 2020 年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說(shuō)明從 2020 年開(kāi)始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，利用 2020 年至 2020 年的數(shù)據(jù)建立的線性模型 y$ =99+ 可以較好地描述 2020 年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠． （ ii）從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì) 于 2020 年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額 220 億元，由模型①得到的預(yù)測(cè)值 億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理，說(shuō)明利 16 用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠． 19．（ 12 分） 如圖，在三棱錐 P ABC? 中， 22AB BC?? ， 4PA PB PC AC? ? ? ?， O 為 AC 的中點(diǎn)． （ 1）證明： PO? 平面 ABC ； （ 2）若點(diǎn) M 在棱 BC 上，且 2MC MB? ，求點(diǎn) C 到平面 POM 的距離． 解：（ 1）因?yàn)?AP=CP=AC=4， O 為 AC 的中點(diǎn)