【正文】 （2）學(xué)生練習(xí)。課堂練習(xí)：兩條直線和一個(gè)平面所成的角相等，這兩條直線一定平行嗎？DCABA1B1D1C1應(yīng)用舉例：例1：在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求：（1）直線A1B和平面A1B1CD所成的角；（2）直線DB1與平面ABCD所成角的正弦值。αAPO（二）研探新知直線與平面所成角的定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。難點(diǎn)：角的尋找（垂線）。過程與方法：借助正方體、長方體這一主要載體，以師為主導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，探究異面直線所成角的概念形成過程，以及角的求解及其所蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想與化歸方法。（八）布置作業(yè)已知點(diǎn)O是△ABC的BC邊上的高上的任意一點(diǎn)，且OP⊥平面ABC，求證PA⊥BC。例2：正方體ABCD—A1B1C1D1中，求證：（1）A1C⊥BD； （2）A1C⊥BC1； （3）A1C⊥平面BDC1。證明：連結(jié)AO并延長交BC于D，則AO是PA在平面ABC上的射影。不同點(diǎn)：（1）用途不同：原定理是用來證空間兩直線垂直；逆定理是用來證平面上兩直線垂直。這個(gè)定理之所以著名，不僅在于它給了我們一個(gè)證明線線垂直的重要方法，為研究計(jì)算空間角、空間距離奠定了基礎(chǔ)，而且這個(gè)定理的證明方法——“線面垂直法”，也是一種非常重要的方法。證明：因?yàn)?，所以PO ⊥a，又a ⊥OA，PO∩OA = O，所以a⊥平面POA，所以a ⊥PA。（三）證明定理實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)果是否正確還得進(jìn)行證明。進(jìn)一步，平面內(nèi)的任意一條直線是否都和平面的一條斜線垂直？（否）是否平面內(nèi)的所有直線都不和平面的一條斜線垂直？模型演示引導(dǎo)學(xué)生用三角板和鉛筆在桌面上搭建模型（如圖）。四、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)和引入新課提問：（1）直線和平面垂直的定義是什么？（直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線。本節(jié)課的教學(xué)過程為：猜、證、比、用，即猜想平面內(nèi)的直線與平面的斜線垂直的特征；證明三垂線定理及其逆定理；比較兩個(gè)定理；應(yīng)用定理證題。二、教學(xué)重點(diǎn)：三垂線定理及其逆定理的證明和初步應(yīng)用。如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，求證：MN⊥CD。（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點(diǎn)O是三角形ABC的 心。過三角形ABC所在平面α外一點(diǎn)P，作PO ⊥α，垂足為O，連接PA，PB，PC。歸納（直線與平面垂直的性質(zhì)）：垂直于同一平面的兩條直線平行。證明（反證法）假設(shè)a、b不平行，且，是經(jīng)過點(diǎn)O與直線b平行的直線。命題1：如圖，已知，求證：。實(shí)際應(yīng)用，鞏固深化例1：有一根旗桿AB高8米，它的頂端A掛有一條長10米的繩子，拉緊繩子并把它的下端放在地面上的兩點(diǎn)（和旗桿腳不在同一條直線上）C、D，如果這兩點(diǎn)都和旗桿腳B的距離是6米，那么旗桿就和地面升起垂直，為什么？分析：AB⊥BC，AB⊥BD，且B、C、D三點(diǎn)不共線。符號語言：。直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，垂線與平面的交點(diǎn)P叫做垂足。三、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題舉例：旗桿與地面，大橋的橋柱和水面等的位置關(guān)系。（3）培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)歸納、概括結(jié)論。（3）夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等。（1）求證：BC // l；（2）MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論。證明：因?yàn)锳B // CD，所以過AB、CD可作平面γ，且平面γ與平面α和β分別相交于AC和BD，因?yàn)棣?// β，所以BD // AC，因此，四邊形ABDC是平行四邊形，所以AB = CD。（3）如果直線a，b和平面α滿足a // α，b // α，那么a // b?？梢杂善矫媾c平面平行得出直線與直線平行。問題2：分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線滿足什么條件時(shí)平行？（共面）問題3：長方體中，平面ABCD內(nèi)哪些直線會(huì)與直線平行？怎么樣找到這些直線？（平面ABCD內(nèi)的直線只要與共面即可）（二）研探新知例如圖，已知平面α、β、γ滿足，求證：a // b。四、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題復(fù)習(xí)：兩個(gè)平面平行的判定定理：。情感態(tài)度與價(jià)值觀：進(jìn)一步提高學(xué)生空間想象能力、思維能力，體會(huì)類比的作用，滲透等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想。線線平行線面平行面面平行（（1）平行公理；（2）三角形中位線；（3）平行線分線段成比例；（4）相似三角形對應(yīng)邊成比例；（5）平行四邊形對邊平行。 （ ）填空：（1）若兩直線a、b異面，且a // α ，則b與α的位置關(guān)系可能是 。分析：利用線面平行的性質(zhì)定理。證明：過直線a作平面β交平面α于直線c，因?yàn)?，所以a // c，因?yàn)閍 // b，所以b // c，又因?yàn)?，所以?？梢杂芍本€與平面平行的性質(zhì)定理和公理公理2作出。簡記為：線面平行則線線平行。思考：（1）如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的直線有哪些位置關(guān)系？（2）教室內(nèi)日光燈管所在的直線與地面平行，如何在地面上作一條直線與燈管所在的直線平行？（二）研探新知問題1：命題“若直線a平行于平面α ，則直線a平行于平面α內(nèi)的一切直線”對嗎？直線會(huì)與平面內(nèi)哪些直線平行呢？問題2：在上面的論述中平面α的直線b滿足什么條件時(shí)可以與直線a平行？沒有公共點(diǎn)——共面（平行）。二、教學(xué)重點(diǎn)：直線與平面平行的性質(zhì)定理的理解。（五）布置作業(yè)： [ A組] 第8題；變式3題；導(dǎo)與練P44，1 ~ 11。連結(jié)GF，同理證得GF // β，又EG∩GF = G，所以平面EGF // 平面β，又EF平面EGF，所以EF // β，同理EF // α。變式2：已知四棱錐V—ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，E、F、G分別是AD、BC、VB的中點(diǎn)，求證：平面EFG // 平面VDC。例2：求證：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行，那么這兩個(gè)平面平行。分析：由AB1 // DC1，得AB1 // 平面C1BD；AD1 // BC1，得AD1 //平面C1BD，證明：因?yàn)锳BCD—A1B1C1D1為正方體，所以D1C1 // A1B1，D1C1 = A1B1，又AB // A1B1，AB = A1B1，所以DC // D1C1，DC = D1C1，所以D1C1 BA為平行四邊形，所以AD1 // BC1，又平面C1BD，平面C1BD，由直線與平面平行的判定定理得AD1 //平面C1BD。作用：線面平行，則面面平行。探究：（1）平面β內(nèi)有一條直線與平面α平行，α、β平行嗎？（2）平面β內(nèi)有兩條直線與平面α平行，α、β平行嗎？（3）平面β內(nèi)有兩條相交直線與平面α平行，α、β平行嗎？通過長方體模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、交流，得出結(jié)論。四、教學(xué)過程（一）平面與平面的位置關(guān)系思考：（1）拿出兩本書，看作兩個(gè)平面，上下、左右移動(dòng)和翻轉(zhuǎn)，它們之間的位置關(guān)系有幾種？（2）如圖，圍成長方體的六個(gè)面，兩兩之間的位置關(guān)系有幾種？兩個(gè)平面的位置關(guān)系：（1）兩個(gè)平面平行——沒有公共點(diǎn)，記作：；（2）兩個(gè)平面相交——有且只有一條公共直線，記作：。情感態(tài)度與價(jià)值觀：讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)中學(xué)習(xí)，培養(yǎng)空間問題平面化（降維）的思想，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性。（六）布置作業(yè)：課本P62 [A組]第3題，[B組]第1題；變式3題。（五）課堂總結(jié)直線與平面的位置關(guān)系：相交，平行，直線在平面內(nèi)。證明線面平行的一般步驟是：（1）證線線平行；（2）說明兩直線一條在面內(nèi)，另一條在面外；（3）由判定定理得到結(jié)論。分析：連接BE交CD于點(diǎn)O，則OF // AB（中位線）。小結(jié)：要證明一條已知直線與一個(gè)平面平行，只要在這個(gè)平面內(nèi)找出一條直線與已知直線平行，就可斷定已知直線與這個(gè)平面平行。（四）定理的應(yīng)用例求證：空間四邊形相鄰兩邊中點(diǎn)的連線平行于經(jīng)過另外兩邊所在的平面。思考：平行線有傳遞性，線面平行有傳遞性嗎？即以下命題是否成立？（1）；（2）。作用：線線平行，則線面平行。例1：下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（ ）（1）若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l // α；（2）若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行；（3）如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行；（4）若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)；（5）平行于同一平面的兩條直線互相平行。難點(diǎn)：判定定理的應(yīng)用，例題的證明。教學(xué)反思： 直線與平面平行的判定授課類型：新授課 授課時(shí)間：第 周 年 月 日（星期 ）一、教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：了解空間中直線與平面的位置關(guān)系，理解并掌握直線與平面平行的判定定理，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)的能力和空間想象能力。（四）課后作業(yè)：空間四邊形ABCD中，P、R分別是AB、CD的中點(diǎn)，且PR =，AC = BD = 2，求AC與BD所成的角。（三）課堂小結(jié)異面直線所成角的定義、范圍及其求解。 ACBSEF 變式3：在正四面體S—ABC中，SA⊥BC，E、F分別為SC、AB的中點(diǎn)，那么異面直線EF與SA所成的角等于（ ）（A）30176。例長方體ABCD—A1B1C1D1中， AA1 = AB = 2，AD = 1，求異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值。 算∴ 異面直線EF與GH所成的角等于60176。 （B）60176。）例、習(xí)題剖析：例在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求：（1）A1B1與CC1所成的角；（2）A1B與CC1所成的角；（3）A1C1與BC所成的角；（4）A1C1與D1C所成的角；分析：（1）∵A1B // CC1 找 ∴ 為A1B與CC1所成的角 證在△A1BB1中，； 算 ∴ A1B與CC1所成的角為45o 答（2）；（3）； （4）。范圍：。 ∥a、b39。問題2：用什么來刻畫兩條異面直線的相對位置呢？提示：在平面幾何中，用“距離”來刻畫兩平行直線間的相對位置，用“角”來刻畫兩相交直線間的相對位置。平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行（平行線的傳遞性）。二、教學(xué)重點(diǎn)：異面直線所成的角的定義、范圍與計(jì)算。教學(xué)反思：異面直線所成的角授課類型：新授課 授課時(shí)間：第 周 年 月 日（星期 ）一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能：理解并掌握異面直線所成的角的定義，熟記異面直線所成角的范圍，會(huì)用平移轉(zhuǎn)換法求異面直線所成的角?？臻g兩條直線的位置關(guān)系：相交、平行、異面。）例題鞏固：如圖，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是平行四邊形。 = 1800。C39。B39。中，∠ADC與A39。等角定理：引入：在同一平面內(nèi)，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，能否推廣到空間？觀察：如圖，長方體ABCDA39。歸納（公理4）：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。∥AA39。D39。平行公理：引入：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。（2）過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。（1）沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線；（2）互不平行的兩條直線是異面直線；（3）分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定異面；（4）一個(gè)平面內(nèi)的直線與這個(gè)平面外的直線一定異面；（5）分別與兩條異面直線都相交的兩條直線共面。（二）講授新課異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線。D39。三、學(xué)法指導(dǎo)：閱讀教材、思考、交流、概括，較好地完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。過程與方法：師生的共同討論與講授法相結(jié)合，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程不斷歸納整理所學(xué)知識。通過例子，讓學(xué)生掌握圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及符號的正確使用。思考：把一個(gè)三角板的一個(gè)角立在課桌上，三角板所在的平面與桌面所在的平面是否只相交于一點(diǎn)B，為什么？歸納（公理3）：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。推論1：過一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面。（2）實(shí)物演示：三腳架可以牢固地支撐照相機(jī)或測量用的平板儀。歸納（公理1）：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。問題：平面的含義是什么？（二）研探新知平面的含義幾何里所說的“平面”是從一些物體中抽象出來的（原始概念），平面是無限延展的。二、教學(xué)重點(diǎn)：平面的概念及表示；平面的基本性質(zhì)：注意他們的條件、結(jié)論、作用、圖形語言及符號語言。（四）課堂小結(jié)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了球的體積和球的表面積公式，以及利用公式解決相關(guān)的球的問題。在球心同側(cè)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為49πcm2和400πcm2，求球的表面積。若離球心距離為3cm的球截面的面積是4π cm2，那么這個(gè)球面的面積是 。（二）典例分析例1：已知圓柱的底面直徑與高都等