【正文】 ∠1+∠HBC=90176。可得C、H兩點(diǎn)都在以BE為直徑的圓上，判斷出∠4=∠HBC，即可判斷出CH=BC，最后根據(jù)AB=BC，判斷出CH=AB即可．（2）首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△ABF≌△CBE，即可判斷出∠1=∠2；然后根據(jù)EH⊥BF，∠BCE=90176。CM=MN，點(diǎn)M在CD邊上，連接AN，點(diǎn)E是AN的中點(diǎn)，連接BE．（1）若CM=2，AB=6，求AE的值；（2）求證：2BE=AC+CN；（3）當(dāng)?shù)妊黂t△CMN的點(diǎn)M落在正方形ABCD的BC邊上，如圖2，連接AN，點(diǎn)E是AN的中點(diǎn)，連接BE，延長NM交AC于點(diǎn)F．請?zhí)骄烤€段BE、AC、CN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)知∠ACN=90176?！唷螦DE=∠CEB，在△ADE和△BEC中，∴△ADE≌△BEC（AAS）；（2） 證明：如圖1，∵AB⊥BC，∠DEC=90176?！嗔庑蜤FGH為正方形；（3）解：過F作FM⊥CD于M，在△AHE與△MFG中，∴△AHE≌△MFG，∴MF=AH=x，∵DG=2x，∴CG=6﹣2x，∴y=CG?FM=?x?（6﹣2x）=﹣（x﹣）2+，∵a=﹣1＜0，∴當(dāng)x=時(shí)，y最大=．22．如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，點(diǎn)E在邊AB上，∠DEC=90176。HG=HE，而AH=DG=2，易證△AHE≌△DGH，從而有∠DHG=∠HEA，等量代換可得∠AHE+∠DHG=90176?！唷螰GE=∠CGB=∠CGE=30176?！郍D=GF，在△AGD和△EGF中，∴△AGD≌△EGF∴AG=EG，∠AGD=∠EGF，∴∠AGE=∠AGD+∠DGE=∠EGF+DGE=90176?！郃G⊥EG．故答案為AG=EG，AG⊥EG．（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，證明：如圖2由平移得，EF=AD，∵BD是正方形的對角線，∴∠ADB=∠CDB=45176。∵CF⊥BD，∴∠DGF=90176。PE=PA，∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA，∴△PIE≌△PJA，∴PI=PJ，∴點(diǎn)P在∠ADC的平分線上，即點(diǎn)P落在直線DB上；②為定值2．連接BD、AC交于點(diǎn)P，由（1）可得點(diǎn)P即為△AEF的外心．如圖3，設(shè)MN交BC于點(diǎn)G，設(shè)DM=x，DN=y（x≠0，y≠O），則CN=y﹣1，∵BC∥DA，∴∠GBP=∠MDP，∠BGP=∠DMP，又由（1）知BP=DP，∴△GBP≌△MDP（AAS），∴BG=DM=x，∴CG=1﹣x．∵BC∥DA，∴△NCG∽△NDM，∴=，∴=，∴x+y=2xy，∴+=2，即=2．20．在正方形ABCD中，BD是一條對角線，點(diǎn)E在直線CD上（與點(diǎn)C，D不重合），連接AE，平移△ADE，使點(diǎn)D移動到點(diǎn)C，得到△BCF，過點(diǎn)F作FG⊥BD于點(diǎn)G，連接AG，EG．（1）問題猜想：如圖1，若點(diǎn)E在線段CD上，試猜想AG與EG的數(shù)量關(guān)系是　AG=EG　，位置關(guān)系是　AG⊥EG?。唬?）類比探究：如圖2，若點(diǎn)E在線段CD的延長線上，其余條件不變，小明猜想（1）中的結(jié)論仍然成立，請你給出證明；（3）解決問題：若點(diǎn)E在線段DC的延長線上，且∠AGF=120176?！摺螦DC=60176。等邊△AEF兩邊分別交DC、CB于點(diǎn)E、F．（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn)，求證：菱形ABCD對角線AC、BD的交點(diǎn)O即為等邊△AEF的外心；（2）若點(diǎn)E、F始終分別在邊DC、CB上移動，記等邊△AEF的外心為P． ①猜想驗(yàn)證：如圖2，猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；②拓展運(yùn)用：如圖3，當(dāng)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)P任作一直線，分別交DA邊于點(diǎn)M，BC邊于點(diǎn)G，DC邊的延長線于點(diǎn)N，請你直接寫出的值．【分析】（1）連接OE、0F，由四邊形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，BD平分∠ADC，AD=DC=BC，又由E、F分別為DC、CB中點(diǎn)，證得0E=OF=OA，則可得點(diǎn)O即為△AEF的外心；（2）①連接PE、PA，過點(diǎn)P分別作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，求出∠IPJ的度數(shù)，又由點(diǎn)P是等邊△AEF的外心，易證得△PIE≌△PJA，可得PI=PJ，即點(diǎn)P在∠ADC的平分線上，即點(diǎn)P落在直線DB上；②連接BD、AC交于點(diǎn)P，由（1）可得點(diǎn)P即為△AEF的外心．設(shè)DM=x，DN=y（x≠0，y≠O），則CN=y﹣1，先利用AAS證明△GBP≌△MDP，得出BG=DM=x，CG=1﹣x，再由BC∥DA，得出△NCG∽△NDM，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出=，進(jìn)而求出為定值2．（1）證明：如圖1，連接OE、0F，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD平分∠ADC，AD=DC=BC，∴∠COD=∠COB=∠AOD=90176。﹣∠D′OD=180176。＜旋轉(zhuǎn)角＜90176。即△ACE是直角三角形；②∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a∵PE∥CF，∴=，即=，解得，a=b；作GH⊥AC于H，∵∠CAB=45176。AD∥BC又∵AF平分∠BAD∴∠BAF=∠BFA=45176。∴AM⊥DF，∴DB==，∵∠MAD=∠MDA=45176?！唷螩FA+∠FNH=90176。AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)B、C分別在邊AD、AF上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立．（1）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0176?！螮AF=45176。得△ADM′．∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABD=∠ADB=45176。．又∵∠EAF=45176。=﹣1，∴DE=2（﹣1）13．如圖1，在正方形ABCD內(nèi)作∠EAF=45176。在Rt△FCB中，∠FCB=90176?！唷螩FB+∠CBF=90176。﹣30176。﹣30176。．∵0≤t≤1，∴t=1﹣．綜上所述：當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，S=t2﹣4t+5（0≤t≤2），當(dāng)S=，t=2﹣；當(dāng)點(diǎn)E在AD上時(shí)，S=t2﹣2t+5（0≤t≤1），當(dāng)S=，t=1﹣．11．（2016?龍東地區(qū)）已知：點(diǎn)P是平行四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），分別過點(diǎn)A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)如圖1，易證OE=OF（不需證明）（2）直線BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠OFE=30176。．∵∠MPN=90176。．∵∠MPN=90176。將∠MPN繞點(diǎn)P從PB處開始按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，PM交AB（或AD）于點(diǎn)E，PN交邊AD（或CD）于點(diǎn)F，當(dāng)PN旋轉(zhuǎn)至PC處時(shí)，∠MPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止（1）特殊情形：如圖（2），發(fā)現(xiàn)當(dāng)PM過點(diǎn)A時(shí)，PN也恰好過點(diǎn)D，此時(shí)，△ABP　∽　△PCD（填：“≌”或“～”（2）類比探究：如圖（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；（3）拓展延伸：設(shè)AE=t，△EPF面積為S，試確定S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)S=，求所對應(yīng)的t的值．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)找出∠B=∠C=90176。﹣∠KDC，∠ACE=（90176。=135176。﹣∠DKE=135176。AB=AC，點(diǎn)E在AC上（且不與點(diǎn)A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90176。=90176。DG=DE，在△BDG和△ADE中，∴△BDG≌△ADE，∴BG=AE；（2）①證明：如圖②，∵四邊形DEFG為正方形，∴△DEG為等腰直角三角形，∴∠1=∠2=45176。再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45176。﹣∠BCD=60176。∴∠AEB=45176。∴∠CAF=∠DAF=30176?！郃B=BC=CD=AD，∠B=∠D=60176?！螮AF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠EAF=60176。①當(dāng)∠EQP=90176。∴四邊形C′MFH是矩形，∴FM=C′H=，設(shè)EM=x，則FC=FE=x+，在Rt△EMC和Rt△FMC中，由勾股定理得：CE2﹣EM2=CF2﹣FM2，∴12﹣x2=（x+）2﹣（）2，解得：x=，或x=﹣（舍去），∴EM=，F(xiàn)C=FE=+；由（2）得：，把CE=1，BE=n代入上式計(jì)算得：CF=，∴，解得：n=4．6．如圖1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿著射線DA的方向勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（秒），將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α（α=∠BCD），得到對應(yīng)線段CF．（1）求證：BE=DF；（2）當(dāng)t=　6+6　秒時(shí)，DF的長度有最小值，最小值等于　12?。唬?）如圖2，連接BD、EF、BD交EC、EF于點(diǎn)P、Q，當(dāng)t為何值時(shí)，△EPQ是直角三角形？（4）如圖3，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α（α=∠BCD），得到對應(yīng)線段CG．在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，當(dāng)它的對應(yīng)點(diǎn)F位于直線AD上方時(shí)，直接寫出點(diǎn)F到直線AD的距離y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式．【分析】（1）由∠ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE，結(jié)合DC=BC、CE=CF證△DCF≌△BCE即可得；（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動至點(diǎn)E′時(shí)，由DF=BE′知此時(shí)DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；（3）①∠EQP=90176。F是斜邊DE的中點(diǎn)，∴CF=DE=EF，∴∠FEC=∠FCE，∵∠BFC=90176。∴∠BAM=176?！唷螰AM=∠FMA=45176?！螦BC=90176。∴∠CAF=∠AEC，∵∠ACF=∠ACE=135176。﹣（∠CFE+∠CEF）﹣∠EAF=180176。時(shí)，同①的方法得，CF=4，CE=8，∴a=4，b=8．（3）ab=32，理由：如圖，∵AB∥CD∴∠BAG=∠AFC，∵∠BAC=45176?！唷螦FD=∠CEF∵∠AFE=90176?！摺螩AF=∠CAE=176?！唷螦CF=∠ACE，∵∠EAF被對角線AC平分，∴∠CAF=∠CAE，在△ACF和△ACE中，∴△ACF≌△ACE，∴CE=CE，∵CE=a，CF=b，∴a=b，∵△ACF≌△ACE，∴∠AEF=∠AFE，∵∠EAF=45176。=135176。∴∠HDP=∠EDC=45176?！唷螱PH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，∴∠PDF=∠ADP=45176。后，角的兩邊PD、PF分別交射線DA于點(diǎn)H、G．①求證：PG=PF； ②探究：DF、DG、DP之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）拓展：如圖2，若點(diǎn)F在CD的延長線上（不與D重合），過點(diǎn)P作PG⊥PF，交射線DA于點(diǎn)G，你認(rèn)為（1）中DF、DG、DP之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請寫出它們所滿足的數(shù)量關(guān)系式，并說明理由．【分析】（1）①若證PG=PF，可證△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋轉(zhuǎn)可知∠GPF=∠HPD=90176?！逴Q⊥BD， ∴∠PQO=45176。BE=EF，連接PF，點(diǎn)P是FD的中點(diǎn)，連接PE、PC．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在CB邊上時(shí)， 求證：PE=CE；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長線上時(shí)，線段PC、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并給與證明．28．已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行線l1與ll2與ll3與l4之間的距離分別為ddd3，且d1=d3=1，d2=2．我們把四個(gè)頂點(diǎn)分別在llll4這四條平行線上的四邊形稱為“格線四邊形”．（1）如圖1，正方形ABCD為“格線四邊形”，則正方形ABCD的邊長為　 ?。?）矩形ABCD為“格線四邊形”，其長：寬=2：1，求矩形ABCD的寬．（3）如圖1，EG過正方形ABCD的頂點(diǎn)D且垂直l1于點(diǎn)E，分別交l2，l4于點(diǎn)F，G．將∠AEG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30176。點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足　 　關(guān)系時(shí)，仍有EF=BE+FD．【探究應(yīng)用】如圖（3），在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60176。CM=MN，點(diǎn)M在CD邊上，連接AN，點(diǎn)E是AN的中點(diǎn)，連接BE．（1）若CM=2，AB=6，求AE的值；（2）求證：2BE=AC+CN；（3）當(dāng)?shù)妊黂t△CMN的點(diǎn)M落在正方形ABCD的BC邊上，如圖2，連接AN，點(diǎn)E是AN的中點(diǎn)，連接BE，延長NM交AC于點(diǎn)F．請?zhí)骄烤€段BE、AC、CN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．24．正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運(yùn)動，且DE=DF．連接BF，作EH⊥BF所在直線于點(diǎn)H，連接CH．（1）如圖1，若點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，CH與AB之間的數(shù)量關(guān)系是　 ??；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在DC邊上且不是DC的中點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立給出證明；若不成立，說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運(yùn)動時(shí)，連接DH，過點(diǎn)D作直線DH的垂線，交直線BF于點(diǎn)K，連接CK，請直接寫出線段CK長的最大值．25．問題：如圖（1），點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45176。）連接AC′、BD′，AC′與BD′相交于點(diǎn)M．（1）當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，如圖1．求證：△AOC′≌△BOD′．（2）當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)，設(shè)AC=kBD，如圖2．①猜想此時(shí)△AOC′與△BOD′有何關(guān)系，證明你的猜想；②探究AC′與BD′的數(shù)量關(guān)系以及∠AMB與α的大小關(guān)系，并給予證明．19．已知菱形ABCD的邊長為1，∠ADC=60176。＜θ＜90176。時(shí)，如圖圖3的位置，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的