【正文】 P(),Cov(X,Y)=P(AB) P(A)E(Y)].由條件知X和Y的聯(lián)合密度為 從而因此同理可得 于是 [ 2,2]上服從均勻分布，隨機變量X= Y=試求（1）X和Y的聯(lián)合概率分布；（2）D（X+Y）. 【解】（1） 為求X和Y的聯(lián)合概率分布，就要計算（X，Y）的4個可能取值( 1, 1),( 1,1),(1, 1)及(1,1)的概率.P{x= 1,Y= 1}=P{U≤ 1,U≤1} P{X= 1,Y=1}=P{U≤ 1,U1}=P{}=0,P{X=1,Y= 1}=P{U 1,U≤1}.故得X與Y的聯(lián)合概率分布為.(2) 因,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相應(yīng)為, .從而 所以(x)=，（ ∞x+∞）(1) 求E（X）及D（X）；（2） 求Cov(X,|X|),并問X與|X|是否不相關(guān)？（3） 問X與|X|是否相互獨立，為什么？ 【解】(1) (2) 所以X與|X|互不相關(guān).(3) 為判斷|X|與X的獨立性，需依定義構(gòu)造適當事件后再作出判斷，為此，對定義域 ∞x+∞中的子區(qū)間（0,+∞）上給出任意點x0，則有所以故由得出X與|X|不相互獨立.（1，32）和N（0，42），且X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY= 1/2，設(shè)Z=.（1） 求Z的數(shù)學期望E（Z）和方差D（Z）；（2） 求X與Z的相關(guān)系數(shù)ρXZ；（3） 問X與Z是否相互獨立，為什么？ 【解】(1) 而所以 (2) 因 所以 (3) 由，所以X與Z也相互獨立.，. 【解】由條件知X+Y=n，則有D（X+Y）=D（n）=0.再由X~B(n,p),Y~B(n,q)，且p=q=,從而有 所以 故= 1.YX 1 0 101 試求X和Y的相關(guān)系數(shù)ρ. 【解】由已知知E(X)=,E(Y)=，而XY的概率分布為YX 101P所以E（XY）= +=Cov(X,Y)=E(XY) E(X)（2） E（X）。（2） ，P{X=1}=1/8，P{X=1}=1/{1X1}出現(xiàn)的條件下，X在{1，1}內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長度成正比，試求X的分布函數(shù)F（x）=P{X≤x}. (1997研考)【解】顯然當x1時F（x）=0；而x≥1時F（x）=1由題知當1x1時，此時 當x=1時，故X的分布函數(shù)54. 設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分N（μ1,σ12),Y服從正態(tài)分布N(μ2,σ22)，且P{|Xμ1|1}P{|Yμ2|1}，試比較σ1與σ2的大小. (2006研考)解： 依題意 ，則，.因為，即，所以有 ，即.習題三，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：XY0123100300、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：XY0123000102P(0黑,2紅,2白)=0（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x，y）=求二維隨機變量（X，Y）在長方形域內(nèi)的概率.【解】如圖 題3圖說明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。故當時X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大。在上，故f(x)不是密度函數(shù)。 (B) [0,π]。?【解】令X為0出現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)數(shù)字序列中要包含n個數(shù)字，則X~b(n,)即 得 n≥22即隨機數(shù)字序列至少要有22個數(shù)字。即，直到一枚骰子出現(xiàn)6點為止，求拋擲次數(shù)X的分布律.【解】設(shè)Ai={第i枚骰子出現(xiàn)6點}。(2) f(x)=試確定常數(shù)a,b，并求其分布函數(shù)F（x）.【解】（1） 由知故 即密度函數(shù)為 當x≤0時當x0時 故其分布函數(shù)(2) 由得 b=1即X的密度函數(shù)為當x≤0時F（x）=0當0x1時 當1≤x2時 當x≥2時F（x）=1故其分布函數(shù)為，（1）=，求。（2） 保險公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來考慮.（1） 在1月1日，保險公司總收入為250012=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X，則X~b(2500,)，則所求概率為由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有(2) P(保險公司獲利不少于10000) 即保險公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P（保險公司獲利不少于20000） 即保險公司獲利不少于20000元的概率約為62%f(x)=Ae|x|, ∞x+∞,求：（1）A值；（2）P{0X1}。概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題及答案習題 一1．.，B，C為三個事件，試用A，B，C的運算關(guān)系式表示下列事件：（1） A發(fā)生，B，C都不發(fā)生； （2） A與B發(fā)生，C不發(fā)生；（3） A，B，C都發(fā)生； （4） A，B，C至少有一個發(fā)生；（5） A，B，C都不發(fā)生； （6） A，B，C不都發(fā)生；（7） A，B，C至多有2個發(fā)生； （8） A，B，C至少有2個發(fā)生.【解】（1） A （2） AB （3） ABC（4） A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC=(5) = (6) (7) BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪==∪∪(8) AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABC3.，B為隨機事件，且P（A）=,P(AB)=，求P（）.【解】 P（）=1P（AB）=1[P(A)P(AB)]=1[]=，B是兩事件，且P（A）=,P(B)=,求：（1） 在什么條件下P（AB）取到最大值？（2） 在什么條件下P（AB）取到最小值？【解】（1） 當AB=A時，P（AB）.（2） 當A∪B=Ω時，P（AB）.，B，C為三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件發(fā)生的概率.【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=++=7.從52張撲克牌中任意取出13張，問有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概率是多少？【解】 p=8.對一個5人學習小組考慮生日問題：（1） 求5個人的生日都在星期日的概率； （2） 求5個人的生日都不在星期日的概率；（3） 求5個人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 設(shè)A1={5個人的生日都在星期日}，基本事件總數(shù)為75，有利事件僅1個，故 P（A1）==（）5 （亦可用獨立性求解，下同）（2） 設(shè)A2={5個人生日都不在星期日}，有利事件數(shù)為65，故P（A2）==()5(3) 設(shè)A3={5個人的生日不都在星期日}P（A3）=1P(A1)=1()59..，（nN）.試求其中恰有m件（m≤M）正品（記為A）：（1） n件是同時取出的；（2） n件是無放回逐件取出的；（3） n件是有放回逐件取出的.【解】（1） P（A）=(2) 由于是無放回逐件取出，從M件正品中取m件的排列數(shù)有種，從NM件次品中取nm件的排列數(shù)為種，故P（A）=由于無放回逐漸抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可寫成P（A）=可以看出，用第二種方法簡便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N種取法，故所有可能的取法總數(shù)為Nn種，n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為種，對于固定的一種正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M種取法，共有Mm種取法，nm次取得次品，每次都有NM種取法，共有（NM）nm種取法，故此題也可用貝努里概型，共做了n重貝努里試驗，每次取得正品的概率為，則取得m件正品的概率為11..12. 50只鉚釘隨機地取來用在10個部件上，？【解】設(shè)A={發(fā)生一個部件強度太弱}13.一個袋內(nèi)裝有大小相同的7個球，其中4個是白球，3個是黑球，從中一次抽取3個，計算至少有兩個是白球的概率.【解】 設(shè)Ai={恰有i個白球}（i=2,3），顯然A2與A3互斥.故 14.有甲、乙兩批種子，在兩批種子中各隨機取一粒，求：（1） 兩粒都發(fā)芽的概率；（2） 至少有一粒發(fā)芽的概率；（3） 恰有一粒發(fā)芽的概率.【解】設(shè)Ai={第i批種子中的一粒發(fā)芽}，（i=1,2）(1) (2) (3) 15.擲一枚均勻硬幣直到出現(xiàn)3次正面才停止.（1） 問正好在第6次停止的概率；（2） 問正好在第6次停止的情況下，第5次也是出現(xiàn)正面的概率.【解】（1） (2) 16.甲、乙兩個籃球運動員，每人各投了3次，求二人進球數(shù)相等的概率.【解】 設(shè)Ai={甲進i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙進i球},i=0,1,2,3,則 =17．從5雙不同的鞋子中任取4只，求這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率.【解】 18.，,求：（1） 在下雨條件下下雪的概率；（2） 這天下雨或下雪的概率.【解】 設(shè)A={下雨}，B={下雪}.（1） （2） 19.已知一個家庭有3個小孩，且其中一個為女孩，求至少有一個男孩的概率（小孩為男為女是等可能的）.【解】 設(shè)A={其中一個為女孩}，B={至少有一個男孩}，樣本點總數(shù)為23=8，故或在縮減樣本空間中求，此時樣本點總數(shù)為7.20.已知5%%的女人是色盲，現(xiàn)隨機地挑選一人，此人恰為色盲，問此人是男人的概率（假設(shè)男人和女人各占人數(shù)的一半）.【解】 設(shè)A={此人是男人}，B={此人是色盲}，則由貝葉斯公式 21.兩人約定上午9∶00~10∶00在公園會面，求一人要等另一人半小時以上的概率. 題21圖 題22圖【解】設(shè)兩人到達時刻為x,y,則0≤x,y≤“一人要等另一人半小時以上”等價于|xy|.22.從（0，1）中隨機地取兩個數(shù)，求：（1） 兩個數(shù)之和小于的概率；（2） 兩個數(shù)之積小于的概率.【解】 設(shè)兩數(shù)為x,y，則0x,y1.（1） x+y. (2) xy=. 23.設(shè)P（）=,P(B)=,P(A)=，求P（B｜A∪）【解】 24.在一個盒中裝有15個乒乓球，其中有9個新球，在第一次比賽中任意取出3個球，比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出3個球，求第二次取出的3個球均為新球的概率.【解】 設(shè)Ai={第一次取出的3個球中有i個新球}，i=0,1,2,={第二次取出的3球均為新球}由全概率公式，有 25. 按以往概率論考試結(jié)果分析，努力學習的學生有90%的可能考試及格，不努力學習的學生有90%，學生中有80%的人是努力學習的，試問：（1）考試及格的學生有多大可能是不努力學習的人？（2）考試不及格的學生有多大可能是努力學習的人？【解】設(shè)A={被調(diào)查學生是努力學習的}，則={被調(diào)查學生是不努力學習的}.由題意知P（A）=，P（）=，又設(shè)B={被調(diào)查學生考試及格}.由題意知P（B|A）=，P（|）=，故由貝葉斯公式知（1） %(2)