高等代數(shù)【北大版】(27)-wenkub.com
2025-01-17 13:15 本頁(yè)面
【正文】 X AX 39。 唯一性 三、小結(jié) 基本概念 這里， r ＝秩 ( f ). n元實(shí)二次型 的規(guī)范形 12( , )nf x x x這里， ＝秩 ( f )， p 稱(chēng)為 f 的正慣性指數(shù)； r rp?稱(chēng)為 f 的負(fù)慣性指數(shù)； 稱(chēng)為 符號(hào)差 . 2 pr?2 2 212 rz z z? ? ?2 2 2 211 p p ry y y y?? ? ? ? ? n元復(fù)二次型 的規(guī)范形 12( , )nf x x x167。 唯一性 例 如果兩實(shí) n 元二次型的矩陣是合同的，則認(rèn)為 R上的一切 n 元二次 1 ( 1 ) ( 2 )2 nn??類(lèi) . 它們是屬于同一類(lèi)的，那么實(shí)數(shù)域 型可分為 則 r 的可能取值是 0， 1， 2， … ， n， 1r?指數(shù) p 的可能取值是 0， 1， … ， r ，共 種 . f 的正慣性 即有 證： 任取實(shí) n元二次型 ( ) 39。 39。=D, 且 2 0 0 00 0 0 0 0 0r r rE E EDD? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?使 039。X A X X B X與的正慣性 且二次型 指數(shù)相等 . 167。p X A X等 于的正慣性指數(shù)； － 1的個(gè)數(shù) 39。 唯一性 方程組（ 5）中未知量的個(gè)數(shù)為 n，方程的個(gè)數(shù)為 所以（ 5）有非零解 . ( ) ( ) ,q n p n p q n? ? ? ? ? ?令 為（ 5）的非零解 ， 0 1 1( , , , , )p p nY k k k k??則有 而 不全為 0. 1 0,pnkk? ? ? ?12, pk k k將 0Y 代入（ 3）的左端， 2 2 2 2112 2 2 2p p rq q ry y y yz z z z??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?221 0,pkk? ? ?得其值為 167。 唯一性 定理 4 任一實(shí)二次型可經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)姆峭嘶€(xiàn)性替換化成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一 . 證明： 只證唯一性 . 慣性定理 設(shè)實(shí)二次型 AXXXf 39。( 39。 )f X Y C A C Y?2 2 2 21 1 1 1 ,p p p p r rd y d y d y d y??? ? ? ? ? ?設(shè)實(shí)二次型 經(jīng)過(guò) ( ) 39。 ) rf X Z D C A C D Z z z z
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