【正文】 A\bA\b1 for k=3:8 H=hilb(k)。( 3 ) * ( )4 ( * ( ) ) 1 * ( )AAinv inv A AA inv Ac o n d A inv A A inv A?（ ） 的 計 算 值 與 有 較 大 偏 離 ；（ ） 的 計 算 值 明 顯 不 等 于的 計 算 值 與 單 位 矩 陣 有 較 大 偏 離 ；（ ） 與 的 偏 離 可 作 為與 單 位 陣 的 偏 差 的 精 確 度 量 。 病態(tài)問題 有許多線性方程組理論上是可解的，但實際計算中由于受到舍入誤差的干擾而無法得到精確解，此類問題稱為 病態(tài)問題 。 1 , 1 。 2 , 2 ] \ [ 1 。 w=。 x0=[0。1 1 15]。 s=B*x0+f。%構(gòu)造嚴(yán)格上三角陣 C=inv(D+w*L)。 02???Ax b? (0)x01???02???(0)x(0)x( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) ( )( 1 ) ( )k k k kx x D b L x U x??? ? ? ?? ? ? ? ?法 2： SOR法的矩陣迭代格式： ( 1 ) ( )kkx B x f??? ? ?11( ) [ ( 1 ) ] , ( )B D L D U f D L b? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?1( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )111( 1 )ink k k ki i i i j j i j jj j iiix x b a x a xa?????? ? ???? ? ? ? ? ???????編寫實現(xiàn) SOR迭代法的函數(shù) : function s=SOR(a,b,x0,w,err) % seidel迭代法求解線性方程組， a為系數(shù)矩陣， b為%ax=b右邊的 %矩陣 b,x0為迭代初值， w為松弛因子，%err為迭代誤差 if nargin==4 err=。0]。8。 end n 1 2 31 2 31 2 39710 815 13x x xx x xx x x? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ??A=[9 1 1。 f=C*b。%構(gòu)造對角陣 D L=tril(a,1)。0]。8。 end n 1 2 31 2 31 2 39710 815 13x x xx x xx x x? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ??A=[9 1 1。 n=1。%構(gòu)造嚴(yán)格下三角陣 U=triu(a,1)。 定理 定理 對于簡單迭代法，若迭代矩陣 ( 1 ) ( ) ( 0 ) 1 kkx B x g xB?? ????對 任 意 初 始 向 量 都 收 斂（ ）設(shè)有方程組 ( 其中 ) Ax = b， 即 0iia ?11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2nnnnn n nn n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ??????? ? ? ???LLLLLLLLLLLLLLLL(2) 作等價變形 1 1 1 12 2 1112 2 21 1 2 2221 1 2 21()1()1()00 0nnnnn n n n nnnx b x a x a xax b a x x a xax b a x a x xa?? ? ? ? ????? ? ? ? ???????? ? ? ? ????(3) Jacobi迭代法 22( 1 ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 111( 1 ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1 2 2( 1 ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21( 0 ...... .... )1( 0 ...... .... )1( ...... .... 0 )k k k knnk k k knnk k k kn n n n nnnx b x a x a xax b a x x a xax b a x a x xa????? ? ? ? ????? ? ? ? ??????? ? ? ? ???L L L L L L L L L L L L L(k=0,1,2,…) (4) ( 1 ) ( )1nkki i i j j i ij j ix b a x a????????????法 1： 法 2： Ax = b A=D+(L+U) Dx = (L+U ) x + b = x = D1(L+U)x + D1 b L U = x = BJ x+ f = 迭代公式： x(k+1) = BJ x(k)+ f , (k=0,1,2…) BJ= D1（ L+U） , f =D1b D 編寫實現(xiàn) Jacobo迭代法的函數(shù) : function s=jacobi(a,b,x0,err) % jacobi迭代法求解線性方程組， a為系數(shù)矩陣， b為%ax=b右邊的 %矩陣 b,x0為迭代初值， err為迭代誤差 if nargin==3 err=。 解向量 (1)叫簡單迭代法 ,B叫迭代矩陣。 A=[1,1,4。調(diào)用格式為： B=spconvert(A) 其中 A為一個 m 3或 m 4的矩陣，每行表示一個非 0元素， m是非 0元素的個數(shù)， A每個元素的意義是： (i,1) 第 i個非 0元素所在的行。 S是要建立的稀疏矩陣的非 0元素； u(i)、 v(i)分別是 S(i)的行標(biāo)和列標(biāo)； 該函數(shù)生成一個 max(u)行、 max(v)列并以 S為稀疏元素的稀疏矩陣 u=[1,1,4]。 for i=n1:1:1 d(i)=(d(i)c(i)*d(i+1))/b(i)。1 1 1 1,d d b b??Step2： 1 2 3() nx x x x? ? ?下面開始“趕”： Step3：先求 ( 1 , , 2 , 1 , )in??Step4：再求其他的 :nxnnndxb???1i i iiid c xxb?? ???1 , 1 ,nxx?三對角方程組的求解程序 如下： % tri_diag(a,b,c,d,n) solves a tridiagonal equation. function x = tri_diag(a,b,c,d,n) for i=2:n r=a(i)/b(i1)。2d c xxb???再令 2 2 1 ,d d r d????2 2 1b b r c? ???將其代入第三個方程 3 2 3 3 3 4 3a x b x c x d? ? ?33 2 3 4233322ad d c xbxabcb???????得 32,arb??39。1 1 1 1,d d b b??39。 R=chol(A) ? 結(jié)果： ??? Error using == chol Matrix must be positive definite ? 命令執(zhí)行時，出現(xiàn)錯誤信息，說明 A為非正定矩陣。1， 3， 0， 2。 如果 X為滿秩矩陣，則 R為一個階數(shù)為 q=p1的上三角陣，且滿足 R39。 x=R\(Q\b) 或采用 QR分解的第 2種格式，命令如下： [Q， R， E]=qr(A)。0， 2， 1， 1。2 6 9 18。4 9 6 15。 定理 n 階陣 有唯一 Doolittle分解 (Crout） 的所有 順序主子式不為 0. 三角分解不唯一 ,為此引入 定義 五．利用矩陣三角分解法求解方程組 為什么要討論三角分解？若在消元法進(jìn)行前能實現(xiàn)三角分解 ， 則 容易回代求解 在 Gauss消去法中，選主元改變了行的次序，盡管對于 Gauss消去法來說，這種次序的變換無法事先知道，但是這個變化的影響卻可以用一個算子 P表示，其中 P是一個置換矩陣。 x11=inv(A)*b %法 1：求逆思想 x12=A^(1)*b %法 1：求逆思想 x3=A\b %法 2：左除法 x4=sym(A)\sym(b) %法 3：符號矩陣法 C=[A,b]。 ]。 end。 a % 第二個主元標(biāo)準(zhǔn)化 a = 0 for i=1:3 if i~=2, a(i,:)=a(i,:)a(i,2)*a(2,:)。 %將主元下的元素消為零 a 1( ) . . . ( )A E E A ???tempo = a(3,:)。 a(1,:)=tempo。 。 Gauss－ Jordan消去法的優(yōu)點之一是用它來算逆矩陣的算法非常容易解釋 。 a %第二次將第二個對角元下的數(shù)字消為 0 x(3) = a(3,4)/a(3,3)。 a a = 0 tempo = a(3,:)。 a(2,:) = a(1,:)。 （ ) 例 1：在 MATLAB上，用 Gauss列主元消去法求解方程組： 123 4 4 2 3 6 6 2 1 4 4 8 0xxx? ??? ? ? ???? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ???clear a = [ 3。 解線性方程組的直接法 11 1 12 2 1 1 , 121 1 22 2 2 2 , 11 1 2 2 , 11 1 2 2 , 1n n nn n ni i i ni n nn n nn n n na x a x a x aa x a x a x aa x a x a x aa x a x a x a????? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ????? ? ? ???LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL消 元： 222222( 3 , , ) iia a i naia?????????然 后 用 將 化 為 零 ；把 第 2 行 ， 加 到 第 行 。 [x,y]=line_solution(A,b) 分別顯示其求解結(jié)果 。 [x,y]=line_solution(A,b) 及： A=[2,7,3,1。4,3,1,2。 x=null(A,39。 x=A\b。 x=A\b。)。y=[]。/ 39。 1 , 1 ] 。2 0 5]。 ?[V,D]=eig(A,‘nobalance’) 與第 2種格式類似，但第 2種格式中先對 A作相似變換后求矩陣 A的特征值和特征向量，而格式 3直接求矩陣 A的特征值和特征向量，即A中某項非常小，這樣求出的特征值及特征向量更精確。 r=rank(D) t=trace(A) 結(jié)果： r = 4 t=