【正文】 其中 0n和 1n分別是成員都為 0和成員都為 1的 n元序偶。其中 ∧ , ∨ 和 ┐分別是合取、析取和否定， F和 T分別是一個永假式和永真式，并且把等價的合式公式看成是相等的，對應(yīng)的偏序關(guān)系是蘊含 。其中任何 A?S的補元為～ A=SA。是一元的求補運算， 0和 1為最小元素和最大元素。 典型代數(shù)系統(tǒng) 定義： 一個有補分配格稱為一個 布爾代數(shù) 。1和 0互為補元，且唯一。如果 L中每個元素都有補元，則稱 L,*,⊕ ,0,1為有補格。一般地，可以把 S的下確界和上確界表示成 121121inf ( )sup ( )ninininiS a a a aS a a a a??? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ??? ?典型代數(shù)系統(tǒng) 定義：有最大元素和最小元素的格稱為 有界格 。 典型代數(shù)系統(tǒng) {a},,{c}是格，而 nhcuj7d3{e}{f}是偏序集，但不是格。所以 *和⊕ 可以看作是集合 L上的兩個代數(shù)運算。實際上，還存在著比布爾代數(shù)更一般的代數(shù)系統(tǒng)，那就是格。 設(shè) A為任意非空集合， PA是 A到 A的所有雙射函數(shù)的集合，于是 PA,?構(gòu)成一個群，其中 ?是函數(shù)的復(fù)合運算，稱 PA,?為對稱群，稱 PA,?的子群為 A的變換群。 定義： 如果 S,*是一個半群，并且關(guān)于 *運算有單位元 e，則稱 S,*為 獨異點 或 含幺半群 ，記作S,*,e 。 商代數(shù)和積代數(shù) 1miiXA?定義：設(shè) 為同型的代數(shù)系統(tǒng)A1,A2,? ,Am的積代數(shù) 定義為 。這表明 是滿射。 ,G? ??,G? ?? /, RGR? ? ?11,G? ? ? 22,G? ? ?11,G? ? ?商代數(shù)和積代數(shù) 定理： 設(shè) f為 到 的關(guān)于 的同態(tài)， Rf是 上對應(yīng)于 f的同余關(guān)系， g是 到 的自然同態(tài)，則存在從 到 的同構(gòu)映射 ，且滿足 。任取 及 ,因為 ,G? ?? /,RGR? ? ? ???12, , , na a a G???? ?1 2 1 21211( ( , , , ) ) ( , , , )( , , , )( ( ) , ( ) , , ( ) )nnRRnRRRRng a a a a a aa a ag a g a g a??????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?所以， g是 到 的同態(tài)。 11,VG? ? ? ? 22,UG? ? ? ?第六章 代數(shù)系統(tǒng) ? ? ? ? ? 定義： 設(shè) R為代數(shù)系統(tǒng) 上的同余關(guān)系，代數(shù)系統(tǒng) 稱為 關(guān)于 R的 商代數(shù) ，其中 ，對于每個 ，與 同型的 運算定義為：對任意的 ,有 ,VG? ? ??/, RGR? ? ? ,VG? ? ??{ | }RR??? ? ? ? ???R??? ? ? ?12, , . nRR Rx x x G R?????? ???? ? ? ?1 2 1 2( , , . ) ( , , )R n nRR RRx x x x x x???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?商代數(shù) 為了保證 確實是一個代數(shù)系統(tǒng)，必須驗證每個 是良定的，即 與等價類中代表元素 的選取無關(guān)。證：顯然， Rf是 G1上的等價關(guān)系。 m? m?對任意的 ,若 且 ，即存在 使 1 1 2 2, , ,x y x y I? 11mxy? 22mxy?,p q I?1 1 2 2 , x y p m x y q m? ? ? ?而 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x y y x y x yp m q mp q m? ? ? ? ? ? ?????所以， 關(guān)于 +滿足代換性質(zhì)。于是可寫出 12,i i I?12iRi 12( ) ( m od ) ( ) ( m od )i m i m?11i a m r?? 22i a m r?? 0 rm??同余關(guān)系 22112 2 2112( ) ( m od ) ( ( ) ) ( m od )( 2 ) ( m od )( ) ( m od )i m a m r ma m a m r r mrm??? ? ??222 2 2222( ) ( m od ) ( ( ) ) ( m od )( 2 ) ( m od )( ) ( m od )i m a m r ma m a m r r mrm??? ? ??所得結(jié)果說明， 。 ??? 1 1 2 2, , , , , ,nna b a b a b G????? ?, nna R b????? 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )nna a a R b b b????? ??? ? ? ??? ????? ,G? ??同余關(guān)系 例：考察代數(shù)系統(tǒng) ，其中 I是整數(shù)集合， *是個一元運算，并定義成 ,I? ??2( ) ( ) ( m od )i i m??設(shè) R是 I中的這樣一個關(guān)系 :當(dāng)且僅當(dāng) 時，有 。 ()ge ? ()lge ()rge?從定理可知，滿同態(tài)映射能夠從一個代數(shù)系統(tǒng)到另一個代數(shù)系統(tǒng)單向保留所有的性質(zhì)（如交換律、結(jié)合律、含零元、含單位元、元素的可逆性等），故滿同態(tài)映射是確保結(jié)構(gòu)的映射。 ? ?1gG 2??? ? ?3 1 2,V g G? ? ? ?2 2 2,VG? ? ? ?同態(tài)和同構(gòu) 定理：設(shè) g為 到 的關(guān)于 f的滿同態(tài)， f為從 到 的雙射函數(shù)。 同態(tài)和同構(gòu) 推論： 若 g為從 到 的關(guān)于 f的同構(gòu)，h為從 到 的關(guān)于 的同構(gòu)，則 h?g為從 到 的關(guān)于 的同構(gòu)。 同態(tài)和同構(gòu) 定理： 若 g為從 到 的關(guān)于 f的同態(tài)，h為從 到 的關(guān)于 的同態(tài)，則 h?g為從 到 的關(guān)于 的同態(tài)。 同態(tài)和同構(gòu) 同態(tài)和同構(gòu) 例：給定代數(shù)系統(tǒng) 和 ，定義函數(shù) 如下： 1 , , VI? ? ? ? 2 , ,