【正文】 但當(dāng)有斜桿等情況時(shí) ， 這樣處理并不方便 。 當(dāng)采用后一種處理方法時(shí) ， 由于在鉸結(jié)點(diǎn)處 ，各桿的轉(zhuǎn)角各不相等 ， 故鉸結(jié)點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角未知量便不止一個(gè) ，因此在對(duì)結(jié)點(diǎn)編號(hào)時(shí)要編 2個(gè)及 2個(gè)以上的號(hào) ， 把每個(gè)鉸結(jié)端都作為一個(gè)結(jié)點(diǎn) ， 而令它們的線位移相等 ， 角位移則各自獨(dú)立 。 單剛中凡與 0對(duì)應(yīng)的行和列的元素均不送入總剛 ， 這樣便可直接形成縮減后的總剛 。 因此 ， 對(duì)結(jié)點(diǎn) 結(jié)點(diǎn)位移分量編號(hào)時(shí) ， 應(yīng)使相關(guān)結(jié)點(diǎn)位移分量號(hào)的最大差值為最小 。 顯然 ， 最大帶寬愈大 ， 存儲(chǔ)量也愈大 。在帶狀矩陣中 ， 從主對(duì)角元素起至該行 （ 列 ） 最外一個(gè)非零元素止所包含的元素個(gè)數(shù) ， 稱為該行 （ 列 ） 的帶寬 。 圖 1014表示單元 ② 的單剛元素 的入座位置 。 因此 ， 我們 圖 1013 不僅要對(duì)結(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào) ， 而且還要對(duì)結(jié)點(diǎn) 位移的每個(gè)分量進(jìn)行編號(hào) 。 167。 （ 2） 計(jì)算各單元?jiǎng)偠染仃嚨母髯訅K 用矩陣位移法計(jì)算桁架的步驟和計(jì)算剛架的完全一樣 。 例 103 試用矩陣位移法計(jì)算圖 1012所示桁架的內(nèi)力 。 單元 ① 見(jiàn) 單元 ② 見(jiàn) ～ 259 單元 ③ 見(jiàn) (8) 繪內(nèi)力圖 。 (5) 引入支承條件 ， 修改原始剛度方程 。 (3) 將各單剛子塊對(duì)號(hào)入座 ， 形成結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣 ， 見(jiàn)例 101。 (8) 計(jì)算各單元桿端內(nèi)力 。 (4) 形成結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣 。 167。 則由式 （ 1012） 和 （ 1014） 可知 ， 在整體坐標(biāo)系中的固端力應(yīng)為 ? ?FexiFeyiFeFeFe iTiFeFeFexjjFeyjFejFFF MF T FFFFM?????????? ?????????? ? ? ? ???? ???????? ?????????????? (1040) 任一結(jié)點(diǎn) i上的等效結(jié)點(diǎn)荷載 [FEi](下標(biāo) “ E” 為等效之意 )為 ? ?FeE x i x iF e F eE i E y i y i iFeE i iFFF F F FMM?????????? ??? ? ? ? ? ? ??? ???????? ???? ?? （ 1041） 2． 綜合結(jié)點(diǎn)荷載 若除了非結(jié)點(diǎn)荷載的等效結(jié)點(diǎn)荷載 [FEi]外 ， 結(jié)點(diǎn)上還有原來(lái)直接作用的荷載 [FDi](下標(biāo) “ D” 表示直接之意 )， 則總的結(jié)點(diǎn)荷載為 [Fi]=[FEi]+[FDi] (1042) [Fi]稱為 綜合結(jié)點(diǎn)荷載 。 在等效結(jié)點(diǎn)荷載作用下 ， 便可按前述方法求解 。 由結(jié)點(diǎn)的平衡可知 ， 這些附加反力矩和反力的大小等于匯交于該結(jié)點(diǎn)的各單元固端力的代數(shù)和 ， 如圖 109(b)所示 。但實(shí)際問(wèn)題中所遇到的大部分荷載又是非結(jié)點(diǎn)荷載 。 不過(guò)在全部桿件的內(nèi)力求出后 ， 一般無(wú)需再求反力 ， 即使要求也可由結(jié)點(diǎn)平衡很容易求得 ， 故一般不用該式求反力 。 在式 (1028)中 [F2]、 [F3]是已知的結(jié)點(diǎn)荷載 ， 與之相應(yīng)的 [Δ2]、[Δ3]是待求的未知結(jié)點(diǎn)位移；而 [F1]、 [F4]是未知的支座反力 ， 與之相應(yīng)的 [Δ1]、 [Δ4]是已知的結(jié)點(diǎn)位移 。 ， sinα=0， cosα=1，可算得 1122 23131132 33500 0 0 500 0 00 12 24 0 12 240 24 64 0 24 3210500 0 0 500 0 00 12 24 0 12 240 24 32 0 24 64kkkkk????????? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ???? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ??????對(duì)于②單元和③， α=90176。 324 xyxxx4m21314m圖 108 解： (1) 將各單元 、 結(jié)點(diǎn)編號(hào) ， 并選取結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系及各單元局部坐標(biāo)系 (圖中剪頭所示方向 為方向 ， 其坐標(biāo)原點(diǎn)在各桿的始端 )如圖中所示 。 (2) 總剛中的副子塊 ， 當(dāng) i、 m為相關(guān)結(jié)點(diǎn)時(shí)即為聯(lián)結(jié)它們的單元的相應(yīng)副子塊 ， 即 ；當(dāng) i、 m為非相關(guān)結(jié)點(diǎn)時(shí)為零子塊 ， 即 =[0]。 [ K ]=[ k ]=22k 22 k 232k 322 2k 331 2 3 412342 323圖 107 在對(duì)號(hào)入座時(shí) ， 具有相同下標(biāo)的各單剛子塊 ， 在總剛中被送到同一位置上 ， 各單剛子塊要進(jìn)行疊加 ， 而沒(méi)有單剛子塊送入的位置上則為零子塊 。 也就是將各單元子塊 “ 對(duì)號(hào)入座 ”即形成總剛 。 這是由于建立方程式 (1029)時(shí) ， 沒(méi)有考慮結(jié)構(gòu)的約束條件 ， 結(jié)構(gòu)還可以有任意剛體位移 ， 結(jié)點(diǎn)位移的解答不是唯一的 。 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣 具有如下性質(zhì)： (1) 對(duì)稱性 。 將所有四個(gè)結(jié)點(diǎn)的方程匯集在一起 ， 就有 ? ? ? ? ? ?111 1 1 1 1 2 2F k k? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 22 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3F k k k k? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 3 33 3 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4F k k k k? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?334 4 3 3 4 4 4F k k? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?(1027) 寫(xiě)成矩陣形式則為 ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?1111111 12121 1 2 22221 22 22 23232 2 332 33 3333344440000xyxyxyxyFFFkkMFFFk k k kMFk k kFFMFFFM?? ???? ???? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??????????????? ? ? ? ??????? ? ? ??????????????????????????????? ????? ? ? ?? ?? ?? ?? ?11112222333433343343 4444400uvuvukvukkv?????? ???? ?????? ?????? ?????????? ???????????? ???????????? ??????? ? ???????? ? ? ????????? ????????????????? ? ? ?????? ? ? ??????????? ????(1028) 上式便是用結(jié)點(diǎn)位移表示的所有結(jié)點(diǎn)的平衡方程 ， 它表明了結(jié)點(diǎn)外力與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系 ， 通常稱為結(jié)構(gòu)的 原始剛度方程 ，“ 原始 ” 之意是指尚未引入支承條件 。 各 單元和各結(jié)點(diǎn)的隔離體圖如圖 106(c)所示 。 106)， 則與結(jié)點(diǎn)位移列向量相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)外力 (包括荷載和反力 )列向量為 ? ?? ?? ?? ?? ?1234FFFFF??????? ????????，式中， ? ? 1111xyFFFM???????????? ?2222xyFFFM???????????? ?3333xyFFFM???????????? ?4444xyFFFM???????????這里 ， [Fi]代表結(jié)點(diǎn) i的外力列向量 ，、 和分別為作用于結(jié)點(diǎn) i的沿 x、 y方向的外力和外力偶 ， 它們的正負(fù)號(hào)規(guī)定與相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)位移相同 。 其次 ， 選取結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系和各單元的局部坐標(biāo)系如圖 106(b)所示 。 104 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣 從本節(jié)開(kāi)始進(jìn)行結(jié)構(gòu)的整體分析 ， 即在單元分析的基礎(chǔ)上 ， 考慮各結(jié)點(diǎn)的幾何條件及平衡條件 ， 建立結(jié)構(gòu)的剛度方程和結(jié)構(gòu)剛度矩陣 。 由式 (1021)可知 e e e e ei ii i ij jF k k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?e e e e ej ji i jj jF k k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 1022） 將式 （ 105） 和式 （ 1013） 代入式 （ 1018） ， 并進(jìn)行矩陣乘法運(yùn)算 ， 可得整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚨挠?jì)算公式 。 因此 ， 其逆矩陣就等于其轉(zhuǎn)置矩陣 ， 即 ? ?T? ? ? ?1 TTT? ? （ 1014） 同理 ， 在兩種坐標(biāo)系中單元桿端位移之間也存在相同的轉(zhuǎn)換 關(guān)系式 ， 即 ? ?eeT??? ? ? ??? ? ? ? （ 1015） 2. 結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃? 下面討論兩種坐標(biāo)系中單元?jiǎng)偠染仃囍g的轉(zhuǎn)換關(guān)系 。 而在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中 ， 用 和 來(lái)表示桿端力列向量和桿端位移列向量 ，即 eF????e?????eF???? e?????Te e e e e e ex i y i i x j y j jF F F M F F M? ? ? ??? ? ? ?Te e e e e e ei i i j j ju v u v? ? ?? ? ? ??? ? ? ?（ 109） （ 1010） 其中力和線位移與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系指向一致者為正 ， 力偶和角位移以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?， 由 x軸到軸的夾角 α以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?。 為了與局部坐標(biāo)相區(qū)分 ， 結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系用 xoy表示 。 103 單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換 在上節(jié)中 ， 單元?jiǎng)偠染仃囀墙⒃跅U件的局部坐標(biāo)系中的 。 各種特殊單元的剛度矩陣無(wú)需另行推導(dǎo) ， 只需由一般單元?jiǎng)偠染仃囀?(105)作一些特殊處理即可得到 。 由于討論的是一般單元 (自由單元 ),兩端設(shè)有任何支承約束 ,因此 ,桿件除了由桿端力所引起的彈性變形外 ,還可以具有任意的剛體位移 。 ek????1) 對(duì)稱性 ,在單元?jiǎng)偠染仃? 中位于主斜線兩邊對(duì)稱位置的兩個(gè)元素是相等的 ,故 是一個(gè)對(duì)稱方陣 。 值得注意的是桿端力列向量和桿端位移列向量的各個(gè)分量 ,必須是按式 (103)和 (104)那樣從 i到 j按一定次序排列 。 這種正負(fù)號(hào)規(guī)定不同于材料力學(xué)中的規(guī)定 ， 也與前面各章中桿端剪力的正負(fù)號(hào)規(guī)定不同 ， 應(yīng)特別注意 。 i端的桿端位移為 、 和 ， 相應(yīng)的桿端力為 、 和 (各符號(hào)上面的一橫 代表是在局部坐標(biāo)系中的量值 ， 上標(biāo)e表示是單元的編號(hào) ， 下同 ) x xyx yeiueivei? eNiFeSiF eiMlejie evjvieu jeeu ii39。 為 的正方向 。 而從電算的角度看則是方便的 ,說(shuō)明該方法適合電算不適合手算 。 桿件兩端各有三個(gè)位移分量 (兩個(gè)移動(dòng) 、 一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng) )，桿件共有六個(gè)桿端位移分量 ， 這是平面桿系結(jié)構(gòu)單元的一般情況 ，故稱為 一般單元 。 上述一分一合 ,先拆后搭的過(guò)程中 ,是將復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單單元的分析及集合問(wèn)題 。 由于矩陣位移法比矩陣力法更容易實(shí)現(xiàn)計(jì)算過(guò)程程序化 ,因