【正文】 《二次函數(shù)》解答題專題訓(xùn)練（ 1） 1．如圖，已知拋物線 y=﹣ x2+mx+3 與 x 軸交于 A， B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 3， 0） （ 1）求 m 的值及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)． （ 2）點(diǎn) P 是拋物線對(duì)稱軸 l 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) PA+PC 的值最小時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 2．某班 “數(shù)學(xué)興趣小組 ”對(duì)函數(shù) y=x2﹣ 2|x|的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整． （ 1）自變量 x 的取值范圍是全體實(shí)數(shù)， x 與 y 的幾組對(duì)應(yīng)值列表如下： x … ﹣ 3 ﹣ ﹣ 2 ﹣ 1 0 1 2 3 … y … 3 m ﹣ 1 0 ﹣ 1 0 3 … 其中， m= ． 24 （ 2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請(qǐng)畫出該函數(shù)圖象的另一部分． w （ 3）觀察函數(shù)圖象，寫出兩條函數(shù)的性質(zhì)． t （ 4）進(jìn)一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)： h ①函數(shù)圖象與 x 軸有 個(gè)交點(diǎn)，所以對(duì)應(yīng)的方程 x2﹣ 2|x|=0 有 個(gè)實(shí)數(shù)根； Y ②方程 x2﹣ 2|x|=2 有 個(gè)實(shí)數(shù)根； 6 ③關(guān)于 x 的方程 x2﹣ 2|x|=a 有 4 個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)， a 的取值范圍是 ． O 3．我們規(guī)定：若 =（ a， b）， =（ c， d），則 ? =ac+bd．如 =（ 1， 2）， =（ 3， 5），則 =1 3+2 5=13． 5 （ 1）已知 =（ 2， 4）， =（ 2，﹣ 3），求 ； I （ 2）已知 =（ x﹣ a， 1）， =（ x﹣ a， x+1），求 y= ，問 y= 的函數(shù)圖象與一次函數(shù)y=x﹣ 1 的圖象是否相交，請(qǐng)說明理由． a 4．如圖，已知點(diǎn) A（ 0， 2）， B（ 2， 2）， C（﹣ 1，﹣ 2），拋物線 F： y=x2﹣ 2mx+m2﹣ 2 與直線 x=﹣ 2 交于點(diǎn) P． h （ 1）當(dāng)拋物線 F 經(jīng)過點(diǎn) C 時(shí)，求它的表達(dá)式； P （ 2）設(shè)點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為 yP，求 yP 的最小值，此時(shí)拋物線 F 上有兩點(diǎn)（ x1， y1）， （ x2， y2），且 x1＜ x2≤ ﹣ 2，比較 y1 與 y2 的大?。?6 （ 3）當(dāng)拋物線 F 與線段 AB 有公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出 m 的取值范圍． y 5．已知拋物線 y=﹣ x2+bx+c 與直線 y=﹣ 4x+m 相交于第一象限不同的兩點(diǎn)， A（ 5， n）， B（ e， f） 6 （ 1）若點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 3， 9），求此拋物線的解析式； 8 （ 2）將此拋物線平移，設(shè)平移后的拋物線為 y=﹣ x2+px+q，過點(diǎn) A 與點(diǎn)（ 1， 2），且 m﹣ q=25，在平移過程中，若拋物線 y=﹣ x2+bx+c 向下平移了 S（ S＞ 0）個(gè)單位長(zhǎng)度，求 S 的取值范圍． Z 6．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，拋物線 y=ax2+bx+2 過 B（﹣ 2， 6）， C（ 2， 2）兩點(diǎn)． k （ 1）試求拋物線的解析式； 4 （ 2）記拋物線頂點(diǎn)為 D，求 △ BCD 的面積； 0 （ 3）若直線 y=﹣ x 向上平移 b 個(gè)單位所得的直線與拋物線段 BDC（包括端點(diǎn) B、 C）部分有兩個(gè)交點(diǎn)，求 b 的取值范圍． A 7．如圖 1，拋物線 y=ax2+b 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0，﹣ 1），且經(jīng)過點(diǎn) A（﹣ 2， 0）． f （ 1）求拋物線的解析式； A （ 2）若將拋物線 y=ax2+b 中在 x 軸下方的圖象沿 x 軸翻折到 x 軸上方， x 軸上方的圖象保持不變，就得到了函數(shù) y=|ax2+b|圖象上的任意一點(diǎn)，直線 l 是經(jīng)過（ 0， 1）且平行與 x 軸的直線，過點(diǎn) P 作直線 l 的垂線，垂足為 D，猜想并探究： PO 與 PD 的差是否為定值？如果是，請(qǐng)求出此定值；如果不是，請(qǐng)說明理由． = （注：在解題過程中，如果你覺得有困難，可以閱讀下面的材料） = 附閱讀材料： 1．在平面直角坐標(biāo)系中，若 A、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），則 A， B兩點(diǎn)間的距離為 |AB|= ，這個(gè)公式叫兩點(diǎn)間距離公式． 例如：已知 A， B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣ 1， 2），（ 2，﹣ 2），則 A， B 兩點(diǎn)間的距離為|AB|= =5． 2． 因式分解 ： x4+2x2y2+y4=（ x2+y2） 2． 8．如圖，二次函數(shù) y=ax2+bx 的圖象經(jīng)過點(diǎn) A（ 2， 4）與 B（ 6， 0）． （ 1）求 a， b 的值； （ 2）點(diǎn) C 是該二次函數(shù)圖象上 A， B 兩點(diǎn)之間的一動(dòng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)為 x（ 2＜ x＜ 6），寫出四邊形 OACB 的面積 S 關(guān)于點(diǎn) C 的橫坐標(biāo) x 的函數(shù)表達(dá)式，并求 S 的最大值． 9．如圖，拋物線 y=ax2+2ax+1 與 x 軸僅有一個(gè)公共點(diǎn) A，經(jīng)過點(diǎn) A 的直線交該拋物線于點(diǎn)B，交 y 軸于點(diǎn) C，且點(diǎn) C 是線段 AB 的中點(diǎn)． （ 1）求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式； （ 2）求直線 AB 對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析 式． 10．已知二次函數(shù) y=ax2﹣ 2ax+c（ a＞ 0）的圖象與 x 軸的負(fù)半軸和正半軸分別交于 A、 B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C，它的頂點(diǎn)為 P，直線 CP 與過點(diǎn) B 且垂直于 x 軸的直線交于點(diǎn) D，且CP： PD=2： 3 （ 1）求 A、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)； （ 2）若 tan∠ PDB= ，求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式． 11．如圖，拋物線 y=x2﹣ 3x+ 與 x 軸相交于 A、 B 兩點(diǎn)，與 y 軸相交于點(diǎn) C，點(diǎn) D 是直線BC 下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn) D 作 y 軸的平行線，與直線 BC 相交于點(diǎn) E （ 1）求直線 BC 的解析式； （ 2）當(dāng)線段 DE 的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn) D 的坐 標(biāo)． 12．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，拋物線 y=mx2﹣ 2mx+m﹣ 1（ m＞ 0）與 x 軸的交點(diǎn)為 A， B． （ 1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)； （ 2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)． ①當(dāng) m=1 時(shí)，求線段 AB 上整點(diǎn)的個(gè)數(shù)； ②若拋物線在點(diǎn) A， B 之間的部分與線段 AB 所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）恰有 6 個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求 m 的取值范圍． 13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y=x2+bx+c 經(jīng)過點(diǎn)（﹣ 1， 8）并與 x 軸交于點(diǎn) A，B 兩點(diǎn)，且點(diǎn) B 坐標(biāo)為（ 3， 0）． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）若拋物線與 y 軸交于點(diǎn) C，頂點(diǎn)為點(diǎn) P，求 △ CPB 的面積． 注：拋物線 y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣， ） 14．已知二次函數(shù) y=x2+bx+c 的圖象與 y 軸交于點(diǎn) C（ 0，﹣ 6），與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是A（﹣ 2， 0）． （ 1）求二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)； （ 2）將二次函數(shù)的圖象沿 x 軸向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng) y＜ 0 時(shí)，求 x 的取值范圍． 15．如圖，二次函數(shù) y=（ x+2） 2+m 的圖象與 y 軸交于點(diǎn) C，點(diǎn) B 在拋物線上，且與點(diǎn) C 關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，已知一次函數(shù) y=kx+b 的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn) A（﹣ 1，0）及點(diǎn) B． （ 1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式； （ 2）根據(jù)圖象，寫出滿足（ x+2） 2+m≥ kx+b 的 x 的取值范圍． 16．九年級(jí)（ 3）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查整理出某種商品在第 x 天（ 1≤ x≤ 90，且 x為整數(shù)）的售價(jià)與銷售量的相關(guān)信息如下．已知商品的進(jìn)價(jià)為 30 元 /件，設(shè)該商品的售價(jià)為y（單位：元 /件），每天的銷售量為 p（單位：件），每天的銷售利潤(rùn)為 w（單位：元）． 時(shí)間 x（天） 1 30 60 90 每天銷售量 p（件） 198 140 80 20 （ 1）求出 w 與 x 的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）問銷售該商品第幾天時(shí)，當(dāng)天的銷售利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)； （ 3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤(rùn)不低于 5600 元？請(qǐng)直接寫出結(jié)果． 17．自主學(xué)習(xí)，請(qǐng)閱讀下列解題過程． 解一元二次不等式： x2﹣ 5x＞ 0． 解：設(shè) x2﹣ 5x=0，解得： x1=0， x2=5，則拋物線 y=x2﹣ 5x 與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0， 0）和（ 5， 0）．畫出二次函數(shù) y=x2﹣ 5x 的大致圖象（如圖所示），由圖象可知：當(dāng) x＜ 0，或 x＞ 5時(shí)函數(shù)圖象位于 x 軸上方，此時(shí) y＞ 0，即 x2﹣ 5x＞ 0，所以，一元二次不等式 x2﹣ 5x＞ 0 的解集為： x＜ 0，或 x＞ 5． 通過對(duì)上述解題過程的學(xué)習(xí)，按其解題的思路和方法解答下列問題： （ 1）上述解題過程中，滲透了下列數(shù)學(xué)思想中的 和 ．（只填序號(hào)） ①轉(zhuǎn)化思想 ②分類討論思想 ③數(shù)形結(jié)合思想 （ 2）一元二次不等式 x2﹣ 5x＜ 0 的解集為 ． （ 3）用類似的方法解一元二次不等式： x2﹣ 2x﹣ 3＞ 0． 18．某景點(diǎn)試開放期間，團(tuán)隊(duì)收費(fèi)方案如下：不超過 30 人時(shí)，人均收費(fèi) 120 元；超過 30人且不超過 m（ 30＜ m≤ 100）人時(shí)，每增加 1 人，人均收費(fèi)降低 1 元；超過 m 人時(shí)，人 均收費(fèi)都按照 m 人時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)．設(shè)景點(diǎn)接待有 x 名游客的某團(tuán)隊(duì)，收取總費(fèi)用為 y 元． （ 1）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)表達(dá)式； （ 2）景點(diǎn)工作人員發(fā)現(xiàn)：當(dāng)接待某團(tuán)隊(duì)人數(shù)超過一定數(shù)量時(shí)，會(huì)出現(xiàn)隨著人數(shù)的增加收取的總費(fèi)用反而減少這一現(xiàn)象．為了讓收取的總費(fèi)用隨著團(tuán)隊(duì)中人數(shù)的增加而增加，求 m 的取值范圍． 19．某果園有 100 顆橙子樹，平均每顆樹結(jié) 600 個(gè)橙子，現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些橙子樹以提高果園產(chǎn)量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽(yáng)光就會(huì)減少．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，每多種一棵樹，平均每棵樹就會(huì)少結(jié) 5 個(gè)橙子，假設(shè)果園多種了 x 棵橙子 樹． （ 1）直接寫出平均每棵樹結(jié)的橙子個(gè)數(shù) y（個(gè)）與 x 之間的關(guān)系； （ 2）果園多種多少棵橙子樹時(shí)，可使橙子的總產(chǎn)量最大？最大為多少個(gè)？ 20．某網(wǎng)店銷售某款童裝，每件售價(jià) 60 元，每星期可賣 300 件，為了促銷，該網(wǎng)店決定降價(jià)銷售．市場(chǎng)調(diào)查反映：每降價(jià) 1 元，每星期可多賣 30 件．已知該款童裝每件成本價(jià) 40元，設(shè)該款童裝每件售價(jià) x 元，每星期的銷售量為 y 件． （ 1）求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）當(dāng)每件售價(jià)定為多少元時(shí)，每星期的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)多少元？ （ 3）若該網(wǎng)店每星期想要獲得不低于 6480 元的利潤(rùn)，每星 期至少要銷售該款童裝多少件？ 21． 2022 年 3 月國(guó)際風(fēng)箏節(jié)在銅仁市萬山區(qū)舉辦，王大伯決定銷售一批風(fēng)箏，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研：蝙蝠型風(fēng)箏進(jìn)價(jià)每個(gè)為 10 元，當(dāng)售價(jià)每個(gè)為 12 元時(shí)，銷售量為 180 個(gè)，若售價(jià)每提高 1元，銷售量就會(huì)減少 10 個(gè)，請(qǐng)回答以下問題： （ 1）用表達(dá)式表示蝙蝠型風(fēng)箏銷售量 y（個(gè)）與售價(jià) x（元）之間的函數(shù)關(guān)系（ 12≤ x≤ 30）； （ 2）王大伯為了讓利給顧客，并同時(shí)獲得 840 元利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少？ （ 3）當(dāng)售價(jià)定為多少時(shí)，王大伯獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？ 22．草莓是云南多地盛產(chǎn)的一種水果，今年某水 果銷售店在草莓銷售旺季，試銷售成本為每千克 20 元的草莓，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，也不高于每千克 40 元，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量 y（千克）與銷售單價(jià) x（元）符合一次函數(shù)關(guān)系，如圖是 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系圖象． （ 1）求 y 與 x 的函數(shù)解析式（也稱關(guān)系式）； （ 2）設(shè)該水果銷售店試銷草莓獲得的利潤(rùn)為 W 元，求 W 的最大值． 23．如圖，需在一面墻上繪制幾個(gè)相同的拋物線型圖案．按照?qǐng)D中的直角坐標(biāo)系，最左邊的拋物線可以用 y=ax2+bx（ a≠ 0）表示．已知拋物線上 B， C 兩點(diǎn)到地面的距離均為 m，到墻邊似的距離分別為 m， m． （ 1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并求圖案最高點(diǎn)到地面的距離； （ 2）若該墻的長(zhǎng)度為 10m，則最多可以連續(xù)繪制幾個(gè)這樣的拋物線型圖案？ 24．科技館是少年兒童節(jié)假日游玩的樂園． 如圖所示，圖中點(diǎn)的橫坐標(biāo) x 表示科技館從 8： 30 開門后經(jīng)過的時(shí)間（分鐘），縱坐標(biāo) y 表示到達(dá)科技館的總?cè)藬?shù)．圖中曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為 y= ，10： 00 之后來的游客較少可忽略不計(jì)． （ 1）請(qǐng)寫出圖中曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式； （ 2）為保證科技館內(nèi)游客的游玩質(zhì)量，館內(nèi)人數(shù)不超過 684 人，后來的人在館外休息區(qū)等待．從 10： 30 開始到 12： 00 館內(nèi)陸續(xù)有人離館，平均每分鐘離館 4 人，直到館內(nèi)人數(shù)減少到 624 人時(shí)，館外等待的游客可全部進(jìn)入．請(qǐng)問館外游客最多等待多少分鐘？ 25．某進(jìn)口專營(yíng)店銷售一種 “特產(chǎn) ”，其成本價(jià)是 20 元 /千克，根據(jù)以往的銷售情況描出銷量y（千克 /天）與售價(jià) x（元 /千克）的關(guān)系，如圖所示． （ 1）試求出 y 與 x 之間的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式； （ 2）利用（ 1）的結(jié)論： ①求每千克售價(jià)為多少元時(shí)，每天可以獲得最大的銷售利潤(rùn)． ②進(jìn)口產(chǎn)品檢驗(yàn)、運(yùn)輸?shù)冗^程需耗時(shí) 5 天，該 “特產(chǎn) ”最長(zhǎng)的保存