[高考數(shù)學(xué)]抽象函數(shù)問題的求解策略-wenkub.com
2025-01-04 19:45 本頁面
【正文】 證明 是周期函數(shù)，且 是它的一個周期。由此進行一般化推廣，我們得到 思考四：設(shè) 是定義在 上的函數(shù)，其圖象關(guān)于點 中心對稱，且其圖象關(guān)于直線 對稱。證明 是周期函數(shù)，且 是它的一個周期。 （ I）設(shè) 求 ； （ II）證明 是周期函數(shù)。 點 關(guān)于直線 的對稱點 適合 ，即 。 分析： 的圖象 的圖象，而 是偶函數(shù)，對稱軸是 ，故 的對稱軸是 。 8. 討論不等式的解 求解這類問題利用函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化，脫去函數(shù)符號。 例 10. 已知函數(shù) 是定義域為 R 的偶函數(shù)， 時， 是增函數(shù)，若 ， ，且 ，則 的大小關(guān)系是 _______。 5. 求函數(shù)值 緊扣已知條件進行迭代變換，經(jīng)有限次迭代可直接求出結(jié)果，或者在迭代過程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性，利用周期性使問題巧妙獲解。 例 7. 設(shè)函數(shù) 的定義域為 R，且對任意的 x， y 有 ，并存在正實數(shù) c，使 。 圖 1 例 6. 已知偶函數(shù) 在 上是減函數(shù)，問 在 上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論。 例 4. 若函數(shù) 與 的圖象關(guān)于原點對稱，求證：函數(shù) 是偶函數(shù)。 例 2. 已知 的定義 域為 ，則 的定義域是 ______。本文試圖通過實例作分類解析，供學(xué)習(xí)參考。 解：（ 1）對條件中的 ，令 ，再令 可得 ，所以 是奇函數(shù)。 解：（ 1）令 得 ， 或 。 且 ，令 ，得 ， 現(xiàn)設(shè) ，則 ， ， 而 ， 設(shè) 且 ， 則 ， 即 為減函數(shù)。 證明： 得 由（ 3）得 由（ 3）和（ 4）得 。 例 5 已知函數(shù) 對任意 有 ，當 時， ， ，求不等式 的解集。 （ 1）當 時， ，不等式不成立。 解：由 ， 以 代入，有 ， 為奇函數(shù)且有 又由 故 是周期為 8 的周期函數(shù)， 例 2 已知函數(shù) 對任意實數(shù) 都有 ，且當 時， ，求 在 上的值域。 解： ∵ f (x)是偶函數(shù)， f (1m)f(m) 可得 ， ∴ f(x)在 [0， 2]上是單調(diào)遞減的，于是 ，即 化簡得 1≤m 。 由圖可直觀得 T=2,要證其為周期函數(shù)，只需證 f (x) = f (2 + x)。 定理 2：如果函數(shù) y=f(x)滿足 f(a+x)=f(b+x)，則函數(shù) y=f(x)是一個周期函數(shù)，周期為 ab。 例 3 已知函數(shù) y = f (x)(x∈ R， x≠0)對任意的非零實數(shù) ， ，恒有 f( )=f( )+f( ), 試判斷 f(x)的奇偶性。 二．賦值法．根據(jù)所要證明的或求解的問題使自變量取某些特殊值，從而來解決問題。學(xué)生在解決這類問題時，往往會感到無從下手，正確率低，本文就這類問題的解法談一點粗淺的看法。 總之，抽象函數(shù)問題求解，用常規(guī)方法一般很難奏效，但我 們?nèi)绻芡ㄟ^對題目的信息分析與研究，采用特殊的方法和手段求解，往往會收到事半功倍之功效，同時在運用這些策略時要做到密切配合，相得益彰。所以， — f(u)f(v)— ≤— f(u)f(－ 1)— ＋— f(v)f(1)— ≤— u+1— +— v1— =1+u+1v=2(vu)1 綜上可知，對任意的 u,v∈ ［－ 1， 1］都有 — f(u)f(v)— ≤1. 點評：有關(guān)抽象函數(shù)問題中往往會給出函數(shù)所滿足的等式或不等式，因此在解決有關(guān)問題時，首先應(yīng)對所要證明或求解的式子作結(jié)構(gòu)上的變化，使所要證明或求解的問題的結(jié)構(gòu)與已知的相同。 （ Ⅰ ）證明：對任意的 x∈ ［－ 1， 1］ ,都有 x1≤f(x)≤1x； （ Ⅱ ）證明：對任意的 u,v∈ ［－ 1， 1］，都有 — f(u)f(v)— ≤1。因此備受命題者的青睞，在近幾年的高考試題中不斷地出現(xiàn)。抽象函數(shù)問題的求解策略 北京清華附中數(shù)學(xué)特級教師 尹粉玉 函數(shù)是每年高考的熱點，而抽象函數(shù)性質(zhì)的運用又是函數(shù)的難點之一。然而，由于這類問題本身的抽象性和其性質(zhì)的隱蔽性，大多數(shù)學(xué)生在解決這類問題時，感到束手無策。 解題： （ Ⅰ ）證明：由題設(shè)條件可知，當 x∈
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