【正文】 主瓣寬度為 2／ T，與時(shí)域窗寬度 T成反比。若在時(shí)域中截取一段長(zhǎng)度的信號(hào)記錄，則相當(dāng)于原信號(hào)和矩形窗函數(shù)之乘積，因而所得頻譜將是原信號(hào)頻域函數(shù)和 sinc函數(shù)的卷積，它將是連續(xù)的、頻率無限延伸的頻譜。 時(shí)域收斂越快，則頻域收斂越慢，反之亦然。 每條譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上，基波頻率是諸分量頻率的公約數(shù) —— 諧波性 。這種關(guān)系不適用于非單一簡(jiǎn)諧信號(hào)，因?yàn)殡S著波形的不同，各類檢波電路輸出和信號(hào)有效值的關(guān)系已經(jīng)改變了，從而造成電壓表在測(cè)量復(fù)雜信號(hào)有效值時(shí)的系統(tǒng)誤差。這時(shí)可用一個(gè)電容器與電壓表并接將交流分量旁路，但應(yīng)注意這個(gè)電容器對(duì)被測(cè)電路的影響 x? 雖然一般的交流電壓表均按有效值刻度，但其輸出量 (例如指針的偏轉(zhuǎn)角 )并不一定和信號(hào)的有效值成比例，而是隨著電壓表的檢波電路的不同，其輸出量可能與信號(hào)的有效值成正比例，也可能與信號(hào)的峰值或絕對(duì)均值成比例。可用能記憶瞬峰示值的儀表或示波器來測(cè)量，也可根據(jù)波形折算。從表中可見，信號(hào)的均值、絕對(duì)均值、有效值和峰值之間的關(guān)系隨波形的不同而異。一般希望信號(hào)的峰 峰值在測(cè)量系統(tǒng)的線性區(qū)域內(nèi)，使所觀測(cè) (記錄 )到的信號(hào)正比于被測(cè)量的變化狀態(tài)。 周期信號(hào) 傅立葉級(jí)數(shù) 連續(xù)頻譜（密度函數(shù)） 瞬變非周期信號(hào) 傅立葉變換 離散頻譜 隨機(jī)信號(hào) 統(tǒng)計(jì)分析 樣本估值 頻譜分析 1. 說明信息與信號(hào)的定義及相互關(guān)系，并舉例。 ? 對(duì)于時(shí)間平均估計(jì)來說，隨機(jī)誤差還與信號(hào)的頻帶寬度的平方根成反比，信號(hào)頻帶愈寬，愈容易獲得誤差小的估計(jì)。 ? 總之，隨機(jī)信號(hào)特征參數(shù)分析無非就是由有限樣本記錄獲取樣本參數(shù)，而后以樣本參數(shù)作為隨機(jī)信號(hào)特征參數(shù)的估計(jì)值。若把參數(shù) φ 的估計(jì)值記為 ，則隨機(jī)信號(hào)的均值、均方值的估計(jì)值按下式計(jì)算 ?0201()1()TxTxx t d tTx t d tT??????（ 1－ 71） 用集合平均法計(jì)算隨機(jī)信號(hào)特征參數(shù)時(shí)，也同樣存在這種困難。 三、樣本參數(shù)、參數(shù)統(tǒng)計(jì)和統(tǒng)計(jì)采樣誤差 從前面可見用時(shí)間平均法計(jì)算隨機(jī)信號(hào)特征參數(shù)，需要進(jìn)行 T趨向無窮大的極限運(yùn)算，它意味著要使用樣本函數(shù) (觀測(cè)時(shí)間無限長(zhǎng)的樣本記錄 )。不同的隨機(jī)信號(hào)有不同的概率密度函數(shù)圖形，可以借此來識(shí)別信號(hào)的性質(zhì)。 隨機(jī)過程分類：平穩(wěn)隨機(jī)過程和非平穩(wěn)隨機(jī)過程。 隨機(jī)過程 —— 在同一試驗(yàn)條件下，全部樣本函數(shù)的集合（總體）就是隨機(jī)過程。因?yàn)榇撕瘮?shù)是周期函數(shù)，所以可以把它表示為傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)形式 式中 fs=1／ Ts，系數(shù) Ck為 ( , ) ( ) ( 1 5 8 )ssnc o m b t T t n T??? ? ?? ? ??2( , ) ( 1 5 9 )sj k f tskkc o m b t T C e ??? ? ????2221 ( , )sssTj k f tTkssC c o m b t T e d tT???? ?因?yàn)樵?(Ts/2， Ts/2)區(qū)間內(nèi)，式 (250)只有一個(gè) δ 函數(shù) δ ，而當(dāng) t=0時(shí)， ，所以 2 0 1sj f tee?? ??22211()s ssTj k f tTkssC t e d tTT ?? ?????因?yàn)? 這樣，式 (159)可寫成 于是 b(t,Ts)的頻譜 (圖 2— 19)， b(f,fs)，也是梳狀函數(shù) 21( , ) sj k f tsksc o m b t T eT ??? ? ?? ?2 ()sj k f t se f k f? ???11( , ) ( ) ( ) ( 1 6 0 )ssnns s skc o m b f f f k f fT T T????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???由圖 120可見，時(shí)域周期單位脈沖序列的頻譜也是周期脈沖序列。 根據(jù)歐拉公式正、余弦函數(shù)可以寫成 可認(rèn)為正、余弦函數(shù)是把頻域中的兩個(gè) δ 函數(shù)向不同方向頻移后之差或和的傅里葉逆變換。 (3)δ 函數(shù)與其他函數(shù)的卷積 任何函數(shù)和 δ 函數(shù)卷積是一種最簡(jiǎn)單的卷積積分。其中 f(0)δ(t) 是一個(gè)強(qiáng)度為 f(0)的 δ 函數(shù)；也就是說，從函數(shù)值來看，該乘積趨于無限大，從面積 (強(qiáng)度 )來看，則為 f(0)。 ? 則，頻域?qū)挾茸儗?，幅值降低，能量往高頻段分散； ? 對(duì)后續(xù)設(shè)備、儀器的頻帶要求高，但效率高； ? 例如：磁帶慢錄快放； ? ５、時(shí)移和頻移特性 101012020( ) ( )( ) ( )( ) ( )FFFj ftFFj f tFx t X fx t t X f ex t e X f f??????????? ??????? ?????? ??如則和? ６、卷積特性 11111 1 2 21 2 1 21 2 1 2212212212( ) ( ) , ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) * ( )[ ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ]( ) ( )FFFFFFFFj ftj ftjx t X f x t X fx t x t X f X fx t x t X f X fx x t d e dtx x t dt e dx X f e??? ? ?? ? ??????????? ??????? ?????? ???? ?? ? ??????? ?????? ??????????如則現(xiàn) 以 時(shí) 域 卷 積 為 例 證 明 如 下 ：12( ) ( )tdX f X f???????=? ７、微積分特性 1111( ) ( )()( 2 ) ( )()2 ) ( )1( ) ( )2FFFnnFnFnnFtFFx t X fxtj f X fdtd X fj t x tdfx t d t X fjf????????????? ?????? ??????? ?????? ???n如d則和（同 樣 ：? 三、幾種典型信號(hào)的頻譜 ? １、矩形窗函數(shù) δ 函數(shù)及其頻譜 (1)δ 函數(shù)的定義 在 ε 時(shí)間內(nèi)激發(fā)一個(gè)矩形脈沖 Sε(t) (或三角形脈沖、雙邊指數(shù)脈沖、鐘形脈沖等 )，其面積為 1(圖 1—— 16)。 各頻率分量的譜線的高度表示該諧波的幅值。 在這里我們定義了一個(gè)函數(shù) sincθ=sinθ/θ ，該信號(hào)在信號(hào)分析中很有用，它有很多名稱，采樣函數(shù)、抽樣函數(shù)、濾波函數(shù)、內(nèi)插函數(shù)等。 解：函數(shù) w(t)(圖 212)的表達(dá)式為 12()02TtwtTt???常稱為矩形窗函數(shù)，其頻譜為 2222( ) ( )1()2j ftTj ftTj T f j T fW f w t e d te d teejf???????????????????將 代入上式得 1s in ( ) ( )2j fT j fTfT e ej??? ?? ? ?s in( ) s in ( ) ( 2 3 7 )fTW f T T c fTfT? ??? ? ?式中 T稱為窗寬。 ()x t d t??????二）瞬變非周期信號(hào)的描述 1）時(shí)域描述 2）頻域描述 幅頻譜 —— 是指非周期信號(hào)頻率分量的幅值密度與頻率之間的關(guān)系。由于當(dāng)周期無限增長(zhǎng)時(shí)，各頻率分量的幅度也都趨近于無窮小，因此 ┃ X(f)┃ 不是頻率為 f的分量的幅值，而是 f分量鄰近單位頻寬上的幅值，量綱是單位頻率的幅值。 ? 周期信號(hào)頻譜譜線的頻率間隔為 ，當(dāng)周期趨于無窮大時(shí)，其頻率間隔趨于無窮小，譜線無限靠近，變量 連續(xù)取值以致離散譜線的頂點(diǎn)最后演變成一條連續(xù)曲線。工程上常見的周期信號(hào)，其諧波幅值總的趨勢(shì)是隨諧波次數(shù)的增高而減少 —— 收斂性 ? 有了收斂性在譜分析中就沒有必要取那些階次過高的諧波分量。 ? ? ? ? 解 在的一個(gè)周期信號(hào)可表示為 00002,02()2,02TAA t tTxtTAA t tT?? ? ? ???? ?? ? ? ???例１ 1 求圖 26中周期性三角波的傅立葉級(jí)數(shù)。這時(shí)應(yīng)根據(jù)檢波電路和波形來修正有效值讀數(shù)。不同檢波電路的電壓表上的有效值刻度，都是依照單一簡(jiǎn)諧信號(hào)來刻度的。 ? 因?yàn)樾盘?hào)是周期交變的，如果交流頻率較高，交流成分只影響表針的微小晃動(dòng)，不影響均值讀數(shù)。均值和絕對(duì)均值 000 00 01()1()TxTxu x t dtTu x t dtT????? 信號(hào)的常值分量和周期信號(hào)全波整流后的均值 ? 3。 根據(jù)歐拉公式 傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)展開式 ? ?? ?111111c os si n1c os21sin2jtjn t jn tjn t jn te t j tn t e en t j e e??????????????????? 式（ 17）改寫為 0 0 0 0000 0 010101( ) ( c os si n )1[ ( ) ( ) ]2211[ ( ) ( ) ) ]22nnnjn t jn t jn t jn tnnnjn t jn tn n n nnx t a a n t b n tja a e e b e ea a j b e a j b e? ? ? ??????????????? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ????? 令 001()21()2n n nn n nc a jbc a jbca??????上式可化為： 000011()( ) 0 , 1 , 2 , )jn t jn tnnnnjn tnnx t c c e c ex t c e n???????