山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室-wenkub.com
2024-10-07 18:40 本頁(yè)面
【正文】 連續(xù)是函數(shù)的一種重要性態(tài)，連續(xù)函數(shù)具有許多優(yōu)良的性質(zhì)，比如閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定有界，一定存在最大值與最小值，連續(xù)函數(shù)一定可積等，它是反映現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的一種最常見(jiàn)，最簡(jiǎn)單的函數(shù)。 （若函數(shù) y=f(x)在閉區(qū)間 [a,b]上連續(xù)，則它在該區(qū)間上有界） 若 y=f(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在區(qū)間 [a,b]內(nèi)能取得介于最大值與最小值之間的任何數(shù)。它的圖形是一條連續(xù)不間斷的曲線。 例 1：當(dāng)正方形的邊長(zhǎng) x產(chǎn)生一個(gè)改變量 △ x時(shí)，問(wèn)面積 y改變多少？ 2222)(2)(,:xxxxxxyxxxxyx????????????面積改變量時(shí)變到當(dāng)自變量從則正方形的面積為設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為解二、函數(shù)的連續(xù)性 )()(lim 00xfAxfxx ???A )( 0xU0x)( 0xf0x函數(shù)在一點(diǎn) 的連續(xù)性 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)需滿足 三個(gè)條件： （ 1）函數(shù)在 x0處有定義 （ 2）函數(shù)在 x0處有極限 （ 3）極限值等于該點(diǎn)函數(shù)值。 g(x)]= limf(x) 178。 )(1xf)(1xf如若 f(x)－ 5是 x→ 3時(shí)的無(wú)窮小，則 ；反 之， ，則 f(x)－ 5一定 是 x→ 3時(shí)的無(wú)窮小 5)(lim 3 ?? xfx5)(lim 3 ?? xfx?等價(jià)無(wú)窮小可替換定理 三、漸近線 五、無(wú)窮小階的比較 )()(lim)()(lim,)()(lim,)()(lim)(~)(),(~)(111111xxxxxxxxxxxx?????????????并且也存在或?yàn)闊o(wú)窮大則存在或?yàn)闊o(wú)窮大且若第五節(jié) 極限的運(yùn)算 一、四則運(yùn)算法則 二、兩個(gè)重要極限 一、四則運(yùn)算法則 設(shè) limf(x)=A， limg(x)=B，則 (1) lim[f(x)177。 注：如果將性質(zhì)中的有限個(gè)無(wú)窮小換為無(wú)限個(gè)無(wú)窮小，則結(jié)論不一定成立。 （ 2）說(shuō)一個(gè)變量是無(wú)窮大，必須指明自變量的變化趨勢(shì)。常函數(shù)中只有 y=0可以看作無(wú)窮小量。 ?幾何解釋： 的意義是對(duì)任意給定正數(shù) ε0，總存在正數(shù) X，當(dāng) |x|X時(shí)，函數(shù) f(x)的圖形位于直線 y=A－ ε和y=A+ε 所夾的橫條區(qū)域內(nèi)。” 例 4 1， 2， 3， … n， … 例 5 （二）數(shù)列極限的描述定義 定義 1：當(dāng) n無(wú)限增大時(shí)，一個(gè)數(shù)列無(wú)限接近于某一個(gè)常數(shù) a，則稱此數(shù)列以 a為極限，或稱此數(shù)列收斂于 a。 例 13 已知水渠的橫斷面為等腰梯形，傾斜角 φ =40176。 例 10 y=cos2x+ln5x 例 11 y=ln(arctan(5+x))3x2 五、建立函數(shù)關(guān)系式舉例 例 12 有一個(gè)底半徑為，高為的圓錐形量杯，為了在它的側(cè)面刻上表示容積的刻度，需要找出溶液的容積與其對(duì)應(yīng)高度之間的函數(shù)關(guān)系，試寫(xiě)出表達(dá)式，并指明定義域。稱這個(gè)函數(shù)為由 y=f(u) ， u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)。 ?注意 ： （ 1） u=g(x)的值域與 y=f(u)的定義域的交集要非空，這是兩個(gè)函數(shù)能夠復(fù)合的前提條件。 （ 2）按照習(xí)慣 x是自變量， y是函數(shù)。 （ 2）有界函數(shù)圖形總能被平行于 y軸的兩條直線所夾。 （ 2）奇函數(shù)圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)圖形關(guān)于 y軸對(duì)稱。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室 應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 第一章 函數(shù)與極限 第一節(jié) 函數(shù) 第二節(jié) 反函數(shù)與初等函數(shù) 第三節(jié) 極限的定義 第四節(jié) 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量 第五節(jié) 極限的運(yùn)算 第六節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 第七節(jié) 初等函數(shù)的連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì) 第一節(jié) 函數(shù) 區(qū)間、鄰域 函數(shù)概念 函數(shù)的幾種特性 ? 單調(diào)性 ? 奇偶性 ? 周期性 ? 有界性 區(qū)間 定義：區(qū)間是用得較多的一類(lèi)數(shù)集，它是介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)。 )1(l o g)( 2 ??? xxxf a例 5 證明 為奇函數(shù)。 第二節(jié) 反函數(shù)與初等函數(shù) 一、 反函數(shù) 二、 基本初等函數(shù) 三、 復(fù)合函數(shù) 四、 初等函數(shù) 五、 建立函數(shù)關(guān)系式舉例 ?定義：設(shè)函數(shù) y=f(x)，如果把 y當(dāng)作自變量， x當(dāng)作函數(shù)，那么由關(guān)系式 y=f(x)所確定的函數(shù) x=g(y)稱為 y=f(x)的反函數(shù)。因而通常將 x=g(y)中 x與 y互換，得到反函數(shù)為 y=g(x)，這個(gè)函數(shù)與 y=f(x)的圖形關(guān)于直線 y=x對(duì)稱。稱為外函數(shù)， u=g(x)為內(nèi)函數(shù)。其中 u是中間變量。 例 14 建筑一個(gè)容積為 8000m3，深為 6m的長(zhǎng)方體蓄水池，池壁每平方米的造價(jià)為 15元，池底每平方米的造價(jià)為 30元，把總造價(jià) y（元）表示為水池的長(zhǎng) x(m)的函數(shù)，并求出函數(shù)的定義域。 ，如圖 ABC
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