【正文】 與地面距離之和 則由三點著地，有 A39。 ( 1 , 1 , 1 , 1 ) ( 1 , 1 , 0 , 1 )( 1 , 1 , 1 , 0 )( 1 , 0 , 1 , 1 )( 1 , 0 , 1 , 0 )( 0 , 0 , 0 , 0 )( 0 , 0 , 1 , 0 )( 0 , 0 , 0 , 1 )( 0 , 1 , 0 , 0 )( 0 , 1 , 0 , 1 )( 1 , 1 , 1 , 1 )( 1 , 1 , 0 , 1 )( 1 , 1 , 1 , 0 )( 1 , 0 , 1 , 1 )( 1 , 0 , 1 , 0 )( 0 , 0 , 0 , 0 )( 0 , 0 , 1 , 0 )( 0 , 0 , 0 , 1 )( 0 , 1 , 0 , 0 )( 0 , 1 , 0 , 1 )90 O x y A B C D ?f(?) 表示 A39。 另外，人、狗、雞、米問題還可以用圖論的方法求解。 86 根據上述假設，人、狗、雞、米過河問題轉化為：從狀態(tài) (1, 1, 1, 1) 經過奇數次運算變?yōu)闋顟B(tài) (0, 0, 0, 0) 的系統(tǒng)轉移過程。 這些向量稱為 運算向量 或 決策向量 。 凡系統(tǒng)可以允許存在的狀態(tài)稱為可取狀態(tài)。 試設計一個安全渡河方案，并使渡河次數盡量地少。問開往甲乙兩站的電車經過丙站的時刻表是如何安排的。某乙說，甲必在兩天中的同一時刻經過路徑中的同一地點。 將問題設想成甲、乙兩人在同一天分別從 A、 B 兩地相向而行，兩人必在途中某處相遇，則結論的正確性就十分明顯了。這就是“妻子”，而“妻子”每天從家到火車站的時刻表是不變的，這就找到了一個“參照系”，轉而站在“妻子”的角度觀察問題。有一天此人提前半小時下班，乘火車 5:00 到達 T 市，然后步行回家。 黑箱模型 其內在機理（數量關系）很不清楚的現象， 如生理、醫(yī)學、生命科學、社會科學等。 72 數學模型的特點和分類 模型的逼真性和可行性 費用與效率的折衷 模型的合理性與漸進性 推陳出新 模型的強健性（穩(wěn)定性） 微小改變無大變化 模型的可轉移性 轉移到其他領域 模型的非預制性 Openend problem 模型的條理性 分析更全面、深入 模型的技藝性 技術與藝術 模型的局限性 近似的通用性與精確性 數學模型的特點 73 數學模型的分類 應用領域 人口、交通、經濟、生態(tài)、 … 數學方法 初等數學、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計、 … 表現特性 描述、優(yōu)化、預報、決策、 … 建模目的 了解程度 白箱 灰箱 黑箱 確定和隨機 靜態(tài)和動態(tài) 線性和非線性 離散和連續(xù) 74 白箱模型 其內在機理相當清楚的學科問題， 包括力學、熱學、電學等。 71 ? 模型結構的轉換，需要在對問題透徹理解和想像的基礎上，實現視角的轉換，即從不同的角度觀察問題，進而采用不同的數學工具來描述同一問題。 70 ? 改變約束關系 ? 如增加一些約束，或去掉一些約束，對約束進行一些修改等。 常用簡化模型的方法 69 ? 改變變量的性質 ? 常用的方法是，將某些非主要的或暫時的變量看作常量，將連續(xù)變量看作離散變量，或把離散變量看作連續(xù)變量。 ? 進一步對上述建模的一般步驟分析，可以將數學建模的全過程分為 表述、求解、解釋、驗證 四個階段，并且通過這些階段完成從現實對象到數學模型，再從數學模型回到現實對象的循環(huán)，如下圖所示。 簡明性原則： 所給出的假設條件要簡單、準確，有利于構造模型。 ? 依據要充分 ，即要依據科學規(guī)律、經濟規(guī)律等來建立公式和圖表。 53 指數增長模型 兩個基本模型 kk rxx )1(0 ??x(t) ： 時刻 t 的 人口 基本假設 ：人口（相對）增長率 r 是常數 trtx txttx ???? )( )()(今年人口 x0，年增長率 r（保持不變 ）， k 年后人口 0)0(, xxrxdtdx ?? rtextx0)( ?trextx )()( 0? trx )1(0 ??隨著時間增加，人口按指數規(guī)律無限增長（ r 0） — 最簡單的人 口 增長模型 — 指數增長模型 — 馬爾薩斯 (Malthus)提出 (1798) 54 指數增長模型的應用及局限性 ?與 19 世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數據吻合 ?適用于 19 世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代 ?可用于短期人口增長預測 ?不符合 19 世紀后多數地區(qū)人口增長規(guī)律 ?不能預測較長期的人口增長過程 ?19 世紀后人口數據，人口增長率 r 不是常數（逐漸下降） 55 阻滯增長模型（ Logistic模型 ） 人口增長到一定數量后，增長率下降的原因： ? 自然資源、環(huán)境條件等因素對人口增長的阻滯作用 ? 阻滯作用隨人口數量增加而變大 假設 r(x) 為 x 的線性函數： r(x) = r – sx (r, s 0) r — 固有增長率 （ x 很小時 ） xm — 人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數量） )1()(mxxrxr ?r 是 x 的減函數 mxrs ?0)( ?mxr56 rxdtdx ? )1()(mxxrxxxrdtdx ??dx/dt x 0 xm xm/2 xm x txxxemm rt( )( )?? 1 10t x 0 x(t) — S 形曲線 , x 增加先快后慢 x0 xm/2 57 參數估計 用指數增長模型或阻滯增長模型作人口 預報，必須先 估計模型參數 r 或 r, xm 利用統(tǒng)計數據采用最小二乘法作擬合 例：美國人口數據（單位：百萬） 1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 …… 專家估計 r = , xm = 58 模型檢驗 用模型計算 2020 年美國人口，與實際數據比較 ]/)1990(1)[1990()1990()1990()2020( mxxrxxxxx ?????實際為 (百萬 ) )2020( ?x模型應用 加入 2020 年人口數據后重新估計模型參數 r = , xm = x(2020) = — 預報美國 2020年的人口 Logistic 模型在經濟領域中的應用 (如耐用消費品的售量 ) 59 數學建模的基本方法 機理分析 測試分析 根據對客觀事物特性的認識， 找出反映內部機理的數量規(guī)律 將對象看作“黑箱”，通過對量測數據的 統(tǒng)計分析，找出與數據擬合最好的模型 機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究 (Case Studies)來學習。 如何預報人口的增長 51 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口 (億 ) 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增長概況 中國人口增長概況 研究人口變化規(guī)律 控制人口過快增長 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2020 人口 (億 ) 52 影響人口的因素很多： 人口的多少，出生率、死亡率的高低，人口男女比例大