掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡(jiǎn)單性質(zhì)-wenkub.com
2024-09-25 00:45 本頁(yè)面
【正文】 的直 ? 線交拋物線于 A， B兩點(diǎn) ， 若線段 AB的長(zhǎng)為 8， 則 p＝ ________. ? 分析： 根據(jù)條件寫出直線方程 ， 與拋物線方程聯(lián)立 ， 消元后根據(jù)直線被曲線所截得的弦長(zhǎng)公式求解 ． 【 高考真題 】 ?規(guī)范解答： 設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由題意可知過(guò)焦點(diǎn)的直線方程為 y＝ x ?－ ， 與 拋 物 線 方 程 聯(lián) 立 ，得 ， 消元后得 x2－ 3px＋ ＝ 0. ?又 AB＝ 洛陽(yáng)市高三測(cè)試 )若 拋物線 y2＝2px的焦點(diǎn)與橢圓 ＝ 1的右焦 ? 點(diǎn)重合 ， 則 p的值為 ________． ? 解析： 拋物線的焦點(diǎn)為 ， 橢圓的右焦點(diǎn)為 (2,0)， 由題知 ， ＝ 2， ? ∴ p＝ 4. ? 答案： 4 ? 2． 已知點(diǎn) (－ 2,3)與拋物線 y2＝ 2px(p0)的焦點(diǎn)的距離是 5， 則 p的值為 ? ________． ? 解析： 拋物線的焦點(diǎn)為 .由 ＝ 5， 得 p＝ 4. ? 答案： 4 ? 3． 設(shè)拋物線 y2＝ mx的準(zhǔn)線與直線 x＝ 1的距離為 3， 則拋物線的方程為 ________． ? 解析： 拋物線的準(zhǔn)線方程為 x＝－ ， 則 |1＋ |＝ 3， ∴ m＝ 8或 m＝－ 16， ? 故拋物線方程為 y2＝ 8x或 y2＝－ 16x. ? 答案： y2＝ 8x或 y2＝－ 16x ? 4． 若點(diǎn) P到點(diǎn) F(0,2)的距離比它到直線 y＋ 4＝ 0 的距離小 2 ， 則 P 的 軌 跡 方 程 為________． ? 解析： 由題意知 P到 F(0,2)的距離比它到y(tǒng)＋ 4＝ 0的距離小 2， 因此 P到 F(0,2) 的距離與到直線 y＋ 2＝ 0的距離相等 ， 故 P的軌跡是以 F為焦點(diǎn) ， y＝－ 2為準(zhǔn)線的拋物線 ， 所以 P的軌跡方程為 x2＝ 8y. ? 答案： x2＝ 8y ? 5． 拋物線 y＝ x2(a≠0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________． ? 答案： (0， ) ? 1． 拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離 ， 因此涉及拋物線的焦半徑 、 焦點(diǎn)弦問題 ， 可優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線之間的距離 ， 這樣就可以使問題簡(jiǎn)單化 ． ? 2． 利用拋物線的定義可以求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 ． ? 【 例 1】 過(guò) 拋物線 y2＝ 2px(p0)的焦點(diǎn) F任作一條直線 m， 交拋物線于 P P2 ? 兩點(diǎn) ， 求證：以 P1P2為直徑的圓和該拋物線的準(zhǔn)線相切 ． ? 思路點(diǎn)撥： 利用拋物線的定義證明圓的圓心到拋物線的準(zhǔn)線的距離等于圓 ? 的半徑 ． ?證明 ：設(shè) P1P2的中點(diǎn)為 P0， 過(guò) P P P0分別向準(zhǔn)線 l引垂線 ， 垂足分別為 Q Q Q0， 根據(jù)拋物線的定義 ， 得 P1F=P1Q1， P2F=P2Q2， ∴ P1P2=P1F+P2F=P1Q1+P2Q2. ?∵ P1Q1∥ P0Q0∥ P2Q2， P1P0=P0P2， ?∴ P0Q0= (P1Q1+P2Q2)=
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