【正文】 有限長序列 也可以通過周期延拓得到周期序列。 78 數(shù)字信號處理多媒體教學(xué)系統(tǒng) 版權(quán)所有： yuning 2021。 解：（ 1 ）對系統(tǒng)差分方程的兩邊作 Z 變換得： )()()()( 121 zXzzYzzYzzY ??? ??? 所以))((1)()()(21211zzzzzzzzzXzYzH?????????? 系統(tǒng)另點(diǎn)為 0?z ，極點(diǎn)為 ???z， ???z 因?yàn)橄到y(tǒng)為因果系統(tǒng)，所以收斂域是: ?zR OC 系統(tǒng)單位沖擊響應(yīng)：)]([)( 1 zHZnh ?? 77 部分分式：))(()(212211zzzzzzzzczzzczH??????? 求得：11211?????zzc， ??c )(])()[()( nunh nn ??? 由于系統(tǒng)函數(shù)的收斂域不包括單位圓，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 相位特性： 當(dāng) 變化從 ?? 20 ? ，所有在單位圓內(nèi)的另、極點(diǎn)的矢量角 )( ?? k 和 )( ?? i都變化 ?2 。 在另點(diǎn)kc附近， ||kj ce ? 最小， |)(| ?jeH 將出現(xiàn)谷點(diǎn)。 ???????????????NiiMkkNiijMkkjjNMdeceAeH1111)()()()( | | || |)(| ????????? 其中，)( ?? k和)( ?? i分別是另點(diǎn)和極點(diǎn)到單位圓的矢量角。 73 系統(tǒng)函數(shù)的另、極點(diǎn)位置對系統(tǒng)特性的影響 把系統(tǒng)函數(shù)表示為： ?????????????????????????NiiMkkNMNiiMkkNMNiiiMkkkzdzcAzdzczAzzbzazH11)(11)(11)()()()()( 其中：kc是系統(tǒng)另點(diǎn)；id是系統(tǒng)極點(diǎn)。 系統(tǒng)函數(shù)與差分方程 對差分方程： ???????MiiNkk inxbknya00)()(兩邊作 Z 變換。 70 ????? ??? n nTtnTxnx )()()( ? 離散信號 ????????nnznTxzX )()(Z域表示 ????????nnjj enTxeX ?? )()(頻域表示 ????????ns T nenTxsX )()(S域表示 ?? jezj zXeX?? |)()()l n ( zjez j ??? ?? sTezzXsX?? |)()()l n (s T1 zez sT ?? 幾種變換之間的關(guān)系 71 用 Z變換分析 LTI系統(tǒng) 系統(tǒng)函數(shù)的 Z域形式 定義： ???????0 )()]([)( nnznhnhZzH 為離散 L TI 系統(tǒng)的 Z 域系統(tǒng)函數(shù)。所以可以用單 Z變換來解給定初始條件的 LTI因果系統(tǒng)問題。 1)(1386])([sRe])([sRe])([sRe)0( ??????? ?????? zzz zzXzzXzzXx )(1382])([sRe])([sRe])([sRe)1( ??????? ??? zzz zzXzzXzzXx 所以，)2(])(138[)1()(1)( ?????? nunnnx n?? 69 單變 Z變換： 定義 單邊 Z 變換定義為：??????0)()(nnI znxzX。 則： )(])([sRe01 0 zzzX zzn ???? 68 例。 （ 1 ）1: ?zR O C 得右邊因果序列：)()()()( 312121 nununx n?? （ 2 ）311: ?? zR O C 得雙邊序列：)()()1()( 312121 nununx n????? （ 3 ）31: ?zR O C 得左邊序列：)1()()1()( 312121 ??????? nununx n 67 反演公式法： ? ??? c nj dzzzXnx 12 1 )()( ? c 為收斂域內(nèi)圍繞原點(diǎn)的閉曲線。 例。對于工程上使用的離散信號序列（因果序列），為了保證在 ??z 處收斂，多項(xiàng)式 )( zQ的階次 N 應(yīng)高于 )( zP 的階次 M 。 當(dāng) )()()( zQzPzX ? 的有理分式形式，冪級數(shù)的系數(shù)可以用 多項(xiàng)式 )( zP 除以 多項(xiàng)式 )( zQ 得到。 若 R:R O C )(( n ) zXx ? 則： R:RO C )( dz zdXzx (n)n ?? 的導(dǎo)數(shù)： )(zX帕斯瓦爾定理： 若 )()( zXnx ? 則： d)X (e d)X( |)(|2j21c2212 ?????? ??? ??????zznx jn物理意義：序列能量 = 頻譜能量 63 Z反變換 根據(jù) X(z)和 ROC 求 x(n)。 討論：把序列分解成兩序列之和，)1()()( ???? ? nubnubnx nn 對 bnub n ?? z:RO C bzzX (z ) )( 對 bnub n 1z:RO C bz1bzX (z ) )1( ????? 所以對于 x （ n ） ， 當(dāng) 0 | b | 1 時：||1|||:| bzbR OC ??。 結(jié)論：雙邊序列的 Z變換收斂域一般是 Z平面上的圓環(huán)。 則當(dāng) 01 ?n時： R O C ：??? ||0 zz 某圓外除無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 當(dāng) 01 ?n時： R O C ：??? ||0 zz 某圓外包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn) （ 3）左邊序列： 1nn ?，其 Z 變換為： ???????1)()(nnnznxzX 如果 X ( z ) 在 z = z 1 處收斂，則它在 | z | | z 1 | 處處收斂。 56 收斂 域定義及特性 ： 不同特點(diǎn)的序列和其收斂域的關(guān)系： （ 1）有限長序列： 序列范圍 當(dāng)21 nnn ?? ?????21)()(nnnnznxzX，則： 當(dāng)0,0 21 ?? nn時： ( 雙邊有限序列 ) R O C ：??? ||0 z 當(dāng) 012 ?? nn 時： ( 右邊有限序列 ) R O C ：??? ||0 z 當(dāng) 120 nn ?? 時： ( 左邊有限序列 ) R O C ：??? ||0 z 定義：使序列 x(n) 的 Z變換 X(z) 收斂的復(fù)平面上所有 Z的集合，稱為該 Z 變換的收斂域。 Z變換的定義及其收斂域 1 、定義： ???????nnznxzX )()( 其中 ?jrejyxz ??? 記為： )]([)( nxZzX ? 例如：)()( nuanx n? a 為常數(shù)（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)）求 X ( z ) ??????????????????0)()(nnnnnzaznuazX aazzzXza????? z 11)( 55 上例說明序列的 Z變換可能在某個區(qū)域內(nèi)收斂，在收斂域中其 Z變換可以表示成一個解析函數(shù)。 53 離散 LTI系統(tǒng)的頻域表示： 對于 L TI 系統(tǒng)的頻域表示 )()()()()()( ??? jjj eHeXeYnhnxny ????? 如果輸入信號為正弦序列（復(fù)數(shù)形式）： ????????? ??????knkneeeXenxkkjnjjnj 1 0)()( ???? 則相應(yīng)的輸出信號 )()( ?? jj eHeY ? 為系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)。 50 離散序列的傅氏 (Fourier)變換的性質(zhì) 1 、 序列的卷積特性： )()()]()([2121 ?? jj eXeXnxnxF ??? 時域的卷積關(guān)系變換到頻域內(nèi)為相乘關(guān)系?？梢赃M(jìn)行付氏變換。與微分方程類似，要唯一確定一個系統(tǒng)的輸入信號與輸出信號的關(guān)系，還必須有附加約束條件（如系統(tǒng)初始狀態(tài)）。 （ 3）差分方程中輸出信號的有效時延 N稱為此方程的階數(shù)， N階差分方程。所以，離散差分運(yùn)算可以分解成有限長序列的代數(shù)運(yùn)算。 差分運(yùn)算： 一個離散時序信號的變化可以用差分運(yùn)算來描述。 離散 LTI系統(tǒng)因果性的充要條件是： 0 0)( ?? nnh證明： L T I 系統(tǒng)的輸入)( nx， 輸出 ???????kknhkxny )()()(， 因?yàn)橐蚬到y(tǒng)中輸出信號變化不會超前于輸入，所以對于任意 n 。 LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性： 一個離散系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號有界，其輸出信號也有界，則此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 )()( 21 nhnh ?)(nx )(ny?)(1 nh)(2 nh)(nx )(ny41 卷積運(yùn)算的說明： 在 LTI系統(tǒng)中，單位沖擊響應(yīng) h(n)唯一地確定了一個系統(tǒng)特性。 LTI系統(tǒng)對任意輸入信號的響應(yīng)： 38 離散序列的線性卷積： 設(shè) )(1 nx和 )(2 nx為任意兩個離散信號序列。 因?yàn)?)]([)()()]([)(0)(000 0 nnxCnnynnxCnnxTny nnn ???????? ? 所以系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。 36 系統(tǒng)的時不變特性： 設(shè)系統(tǒng) )]([)( nxTny ? 滿足： )()]([ 00 nnynnxT ??? 則此系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)。 記為： )( )]([)( nyx ( n )nxTny T? ??? 或如：某離散系統(tǒng) )]()1([)( 21 nxnxny ??? （平均值系統(tǒng)） 運(yùn)算流程圖： x(n) Z1 y(n) 1/2 35 線性非時變離散系統(tǒng) 系統(tǒng)的線性特性 例如：設(shè)系統(tǒng)為 DnCxny ?? )()(，判斷它是不是線性系統(tǒng)。從物理意義上來說，復(fù)指數(shù)序列也可以看作是正弦信號的采樣序列。 思考題： 正弦序列不一定是周期序列。 加減 )()()( nwnynx ??x(n) w(n) y(n) )()()( nwnynx ??積 x(n) w(n) y(n) )()( nwnxA ?? 標(biāo)乘 x(n) w(n) A )()( 0 nwnnx ??延時 x(n) w(n) Z1 )()( )()(21nwnxnwnx??分支 x(n) w2(n) w1(n) 31 幾種常用序列 單位沖擊序列 ： ??????0 00 1)(nnn?單位階躍序列： ??????0 00 1)(nnnu矩形序列： ?????????NnnNnnRN ,0 010 1)(32 正弦序列： )s i n ()( 0?nnx ?（ 1） 它是正弦信號的采樣序列： TnTnt