【正文】 ?????? ????????????? ????? xxxxxxxxxyy 數(shù) 一、高階導(dǎo)數(shù)定義 一般地，函數(shù) )(xfy? 的導(dǎo)數(shù)仍是 x 的可導(dǎo)函數(shù)時 , 則稱的導(dǎo)數(shù))(xfy ??? )( ??y 為函數(shù) )(xfy? 的二階 y??導(dǎo)數(shù)，記作 或 22dxyd 等． 類似地，有 .,...。lns i n39。sin ),0( yxxy x 求?? ． 解：將 xxy sin? 兩 邊同時取對數(shù)，得 xxy lnsinln ? 將上式兩邊分別對 x 求導(dǎo)，注意到 y 是 x 的函數(shù)，得 ,1s inlnco s1 39。 2222 ?????? xxxxx)39。 2 ???????? xxxxxxxwvu1c o t2)1(1c o s1s i n21s i n1)1(c o s21222 2 ????????????， 如果不寫中間變量，可簡寫成 xxxx xxxxxxy )39。39。1()39。 情感目標 ：通過實際案例培養(yǎng)學(xué)生勤奮鉆研，積極學(xué)習的精神。 xx ?? （ 16）、 .1 1)c o t(239。 xx ?? （ 14）、 。 xxx ? （ 12） 。 xx ? （ 10）、 。 xx ? （ 8）、 。 axxa ? （ 6）、 。 aaa xx ? （ 4）、 。 ?C （ 2）、 。39。39。)39。( 39。)39。 任務(wù)描述 任務(wù)一： 學(xué)會利用導(dǎo) 數(shù) 的四則運算法則求導(dǎo) 教學(xué)方法 多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動，提問，啟發(fā)，探討。 任務(wù)描述 任務(wù)一： 如何計算變速直線運動 的瞬時速度？ 任務(wù)二：怎樣求平面曲線的切線斜率？ 教學(xué)方法 多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動，提問，啟發(fā)，探討。 作業(yè) 習題 2： 10 （ 1） （ 2） 《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計 8 課 題 《極限》習題課 授課班級 略 上課時間 2學(xué)時 課型 理論課 教學(xué)目標 知識目標： 掌握本模塊的知識要點 能力目標： 能利用求函數(shù)極限的各種方法求極限 情感目標： 通過求函數(shù)極限 的 練習，培養(yǎng)學(xué)生的鉆研精神，強化邏輯思維的能力 任務(wù)描述 任務(wù)一： 掌握本模塊的知識要點 任務(wù)二： 能利用求函數(shù)極限的各種方法求極 教學(xué)方法 多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動，提問，啟發(fā)，探討。 （ 2） 函數(shù)在某點連續(xù)必須同時滿足三個條件：① 函數(shù)在該點的某個鄰域內(nèi)有定義； ② 函數(shù)在該點的極限存在； ③ 極限值等于該點的函數(shù)值． （ 3）用“點連續(xù)性的兩個定義”可證明初等函數(shù)的點連續(xù)性；用“左連續(xù)和右連續(xù)” 可證明分段函數(shù)在其分段點處 的連續(xù)性。 識小結(jié) 1. 掌握 兩個重要極限 2. 兩個重要極限計算函數(shù)極限的方法 業(yè) 習題 2： 6， 7， 8 《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計 6 課 題 函數(shù)的連續(xù)性 授課班級 略 上課時間 2學(xué)時 課型 理論課 教學(xué)目標 知識目標 ：理解函數(shù)在一點連續(xù)的概念， 能力目標 ：能用連續(xù)的定義描述電流等專業(yè)現(xiàn)象的特征 情感目標 ：通過實際案例引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)思想融入實際生活中 任務(wù)描述 任務(wù) ： 會判斷函數(shù)在一點是否連續(xù) 教學(xué)方法 多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動，提問，啟發(fā)，探討。 3. 對于此極限要求掌握它的結(jié)構(gòu)特點和應(yīng)用。 【例 2】 1s inlim)s in (lims inlim0 ????? ??? ????? t tx xx x txtxx ??? ???。 第二個月后儲戶本息共計： 2)(1000 ? ， ?? ，依此，一年后該儲戶本息共計： 12)(1000 ? . 若該儲戶每天結(jié)算一次，假設(shè)一年 365天，則每天利率為： 故第一天后儲戶本息共計： )(1000 ? 。 法 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué)》，侯風波主編，高等教育出版社， 2020. 教學(xué)過程設(shè)計 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 1導(dǎo)入 任務(wù)一： 連續(xù)利率問題 儲戶在銀行存錢銀行要給儲戶利息。 當 1?x 時， 1~)1s in( 22 ?? xx ，且 0)(lim 21 ???? baxxx 1 0 , = ( 1 )a b b a? ? ? ? ? 222 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x a x b x a x a x x ax x x x x? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? 2212lim 3124 , 5xx a x b axab??? ? ????? ? ? 【例 9】設(shè) nmba ,0,0 00 ?? 為自然數(shù)，則 ????????????????????????時當時當時當mnmnmnbabxbxbaxaxammmnnnx0l i m00110110????。 解：當 13,11,13 ???? xxx全沒有極限，故不能直接用定理 3，但當 1??x 時， 12)1)(1( )2)(1(1311 223 ??????? ?????? xx xxxx xxxx，所以 11)1()1( 2112l i m)1311(l i m 22131 ?????? ?????????? ???? xx xxx xx 。 注：若 0)( 0 ?xQ ，則不能用推論 2來求極限，需采 用其它手段。 推論 1：設(shè) nnnn axaxaxaxf ????? ?? 1110)( ??為一多項式，當 )()(l i m 001101000 xfaxaxaxaxf nnnnxx ?????? ??? ??。 定理 3：設(shè) 0)(lim,)(lim ??? BxgAxf ，則)(lim )(lim)( )(lim xg xfBAxg xf ??。 注：本定理可推廣到有限個函數(shù)的情形。 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué)》，侯風波主編，高等教育出版社， 2020. 教學(xué)過程設(shè)計 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 設(shè)計意圖 1數(shù)列極限 1 引例：公元前 3 世紀，道家代表莊子《天下篇》：一尺之棰，日取其半，萬世不竭． 由我國古代數(shù)學(xué)案例引入概念 , 培養(yǎng)學(xué)生的 的學(xué)習興趣 和民族自豪感 2函數(shù)的極限 1. 0xx? 時函數(shù) ()fx的極限 2. 0xx?? ( 0xx?? )時函數(shù) ()fx的極限 定理 .)(lim)(lim)(lim000 AxfxfAxf xxxxxx ???? ?? ??? 3. ??x 時函數(shù)的極限 講清概念的內(nèi)涵和外延，感受數(shù)學(xué)知識的高度嚴謹與抽象性 ,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和語言表達能力， 定理 2 AxfxfAxfxxx ???? ???????? )(lim)(lim)(lim 3極限的性質(zhì) 1．唯一性 2．有界性 3．保號性 注：逆命題不成立 講清定理的條件和結(jié)論 ，感受數(shù)學(xué)知識的高度嚴謹與抽象性 ,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和語言表達能力 量 2．極限與無窮小之間的關(guān)系 性質(zhì) 定理 ． 定理 3. 有限個無窮小量的乘積是無窮小量． 推論 1. 無窮小量與有界量的乘積是無窮小量． 推論 2. 常數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量． 注意 : 兩個無窮小之商未必是無窮小， 對于這部分知識只是通過例子和圖象講清性質(zhì)、定理的內(nèi)涵和外延，重點是對性質(zhì)的運用 ，從而培養(yǎng)學(xué)生的解題技巧和邏輯推力能力 . 量 （ 1）無窮大的定義 在自變量的某個變化過程中，絕對值可以無限增大的變量稱為這個變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大． 應(yīng)該注意的是：無窮大量是極限不存在的一 種情形，我們借用極限的記號 ??? )(lim0 xfxx，表示“當0xx? 時 , )(xf 是無窮大量” ． （ 2）無窮小量與無窮大量的關(guān)系 定理 4.（在無窮小量與無窮大量的關(guān)系）自變量的某個變化過程中，無窮大量的倒數(shù)是無窮小量，非零無窮小量的倒數(shù)是無窮大量． 例 ，下列函數(shù)是無窮大量 1. xyxyxyxy 2)4(,ln)3(,12)2(,11 ?????? 結(jié)合例題講清概念的內(nèi)涵和外延，重點是對復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)的分 析 6練習鞏固 課本習題 2： 1（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）， 2（ 1）（ 2），3（ 1）（ 2） 鞏固知識 ,形成技能 ,反饋矯正 . 7課堂小結(jié) 主要知識點： 1. 極限的概念與方法， 0xx? 及 ??x 時函數(shù))(xf 極限定義及數(shù)列極限的定義； 2. 函數(shù)極限和數(shù)列極限的幾何意義； 3. 無窮小量、無窮大量的定義； 4. 無窮小量與無窮大量的關(guān)系。 3理解 復(fù)合函數(shù)的概念 函數(shù)的定義 : 若函數(shù) )(ufy? 的定義域為 1D ，函數(shù) )(xu ?? 在 2D 上有定義 ，其值域為 }),({ 22 DxxuuW ??? ? 且 12 DW? ，則對于任一 2Dx? ，通過函數(shù) )(xu ?? 有確定的 2Wu? 與之對應(yīng)，通過函數(shù) )(ufy? 有確定的 y 值與之對應(yīng)．這樣對于任一 2Dx? ，通過函數(shù) u 有確定的 y 值與之對應(yīng)，從而得到一個以 x 為自變量， y 為因變量的函數(shù)，稱其為由函數(shù) )(ufy? 和 )(xu ?? 復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記為 )]([ xfy ?? ，其定義域為 2D ， u 稱為中間變量 2. 判定函數(shù)是否是復(fù)合函數(shù) 講清概念的內(nèi)涵和外延，感受數(shù)學(xué)知識的高度嚴謹與抽象性 ,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和語言表達能力， 4復(fù)合 函數(shù)的 拆分 \復(fù)合 \ 1. 將基本初等函數(shù)合成復(fù)合函數(shù) 2. 將復(fù)合函數(shù)拆成簡單函數(shù) 通過練習鍛煉學(xué)生思維 ,結(jié)合例題講清概念的內(nèi)涵和外延，重點是對復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)的分析 . 數(shù) 初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復(fù)合運算而得到的，且用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。 3理解函數(shù)的概念 2. 函 數(shù)的兩要素 3． 函數(shù)的記號 4． 函數(shù)的三種表示方法 , （ 1）圖像法 （ 2）表格法 （ 3）公式法 講清概念的內(nèi)涵和外延，感受數(shù)學(xué)知識的高度嚴謹與抽象性 ,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和語言表達能力， 4函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)的有界性、周期性、單調(diào)性、奇偶性 對于這部分知識只是通過例子和圖象講清性質(zhì)、定理的內(nèi)涵和外延，重點是對性質(zhì)的運用 ，從而培養(yǎng)學(xué)生的解題技巧和邏輯推力能力 .這也體現(xiàn)了高職數(shù)學(xué)必須遵循的“以應(yīng)用為目的，以必需、夠用”為度的原則 5練習鞏固 ，每臺 售價為 300元，當年產(chǎn)量超過 600臺時， 鞏固知識 ,形成技能 ,反饋矯正 . 超過部分只能打 8 折出售，這樣可出售200 臺，如果再多生產(chǎn)，則本年就銷售不出去了，試寫出本年的收益函數(shù)模型 . 2. 一下水道的截面是矩形加半圓形 (如圖 )，截面積為 A ， A 是一常量。 《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計 課 題 函數(shù) 授課班級 上課時間 2學(xué)時 課型 理論課 教學(xué)目標 知識目標 ：理解函數(shù)、分段函數(shù)掌握基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì) 能力目標 ：能熟練建立簡單問題的函數(shù)關(guān)系式，感知數(shù)學(xué)知識的邏輯性 情感目標 ：通過實際案例激發(fā)學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的積極性 教學(xué)重點與難點 重點 理解函數(shù)的概念，掌握基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì) 難點 就實際問題形成函數(shù) ,建立實際問題的數(shù)學(xué)模型 任務(wù)描述 任務(wù)一： 了解 學(xué)習 高等數(shù)學(xué)的意義、方法、內(nèi)容，學(xué)習的要求 任務(wù)二： 通過案例分析，學(xué)會建立簡單問題的函數(shù)關(guān)系式。這常量取決于預(yù)定的排水量 .設(shè)截面的周長為 s ，底寬為 x ，試建立 s 與 x 的函數(shù)模型 . 結(jié) 主要知識點： 1. 學(xué)習高等數(shù)學(xué)的意義、方法、內(nèi)容 、要求 、分段函數(shù)、基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法，基本初等函數(shù)的圖形，初等函數(shù)的函數(shù)值、定義域、值域的確定，復(fù)合函數(shù)的分解。 讓學(xué)生學(xué)會運用概念 ,分析問題解答問題 . 題 例題 1分析下列復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)： (1) y =2cotx； (2) y = 1sin 2?xe . 例 2 有一個